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f(x)=(x∈R且x≠0)
练习3:
2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x).
f(x)=
lg(x+1)+lg(1-x)
(-1
例2.已知f(x)是一次函数,并且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x).
f(x)=2x+7.
练习4:
已知f(x)是二次函数,满足f(0)=1且f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)
f(x)=
x2-x+1
例3.设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y
有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)
f(x)=x2+x+1
练习5:
函数f(x)对任何x∈R恒有f(xx)=f(x1)+f(x2),已知f(8)=3,
则f()=
例4.已知函数y=f(x)的图像如图所示,求f(x)
练习6:
已知函数f(x)的图像是由两条射线和开口向下的抛物线组成,
求f(x)解析式
例5.已知定义在R上的函数y=f(x)关于直线x=2对称并且x∈[0,2]上的解析式为y=2x-1,则f(x)在x∈[2,4]上的解析式为
y=7-2x
练习7:
设函数y=f(x)关于直线x=1对称,若当x≤1时,y=x2+1,
则当x>
1时,f(x)=x2-4x+5
课堂小结:
求函数的解析式的方法较多,应根椐题意灵活选择,但不论是哪种方法都应注意自变量的取值范围,对于实际问题材,同样需注意这一点,应保证各种有关量均有意义。
布置作业:
1、若g(x)=1-2x,f[g(x)]=
(x≠0),求f()的值。
2、已知f(x-)=x+
求f(x-1)的表达式.
3、已知f(x)=9x+1,g(x)=x,则满足f[g(x)]=g[f(x)]的x的值为多少?
4、已知f(x)为一次函数且f[f(x)]=9x+4,求f(x).
教后反思:
教学目标
1.理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质.
(1)理解n次方根,n次根式的概念及其性质,能根据性质进行相应的根式计算.
(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广,了解它是根式的一种新的写法,能正确进行根式与分数指数幂的互化.
(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.
2.通过指数范围的扩大,使学生能理解运算的本质,认识到知识之间的联系和转化,认识到符号化思想的重要性,在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力.
3.通过对根式与分数指数幂的关系的认识,使学生能学会透过表面去认清事物的本质.
教学建议
教材分析
(1)本节的教学重点是分数指数幂的概念及其运算性质.教学难点是根式的概念和分数指数幂的概念.
(2)由于分数指数幂的概念是借助
次方根给出的,而
次根式,
次方根又是学生刚刚接触到的概念,也是比较陌生的.以此为基础去学习认识新知识自然是比较困难的.且
次方根,分数指数幂的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的,学生在接受理解上也是比较困难的.基于以上原因,根式和分数指数幂的概念成为本节应突破的难点.
(3)学习本节主要目的是将指数从整数指数推广到有理数指数,为指数函数的研究作好准备.且有理指数幂具备的运算性质还可以推广到无理指数幂,也就是说在运算上已将指数范围推广到了实数范围,为对数运算的出现作好了准备,而使这些成为可能的就是分数指数幂的引入.
教法建议
(1)根式概念的引入是本节教学的关键.为了让学生感到根式的学习是很自然也很必要的,不妨在设计时可以考虑以下几点:
①先以具体数字为例,复习正整数幂,介绍各部分的名称及运算的本质是乘方,让它与学生熟悉的运算联系起来,树立起转化的观点.
②当复习负指数幂时,由于与乘除共同有关,所以出现了分式,这样为分数指数幂的运算与根式相关作好准备.
③在引入根式时可先由学生知道的平方根和立方根入手,再大胆写出即谁的四次方根等于16.指出2和-2是它的四次方根后再把指数换成,写成即谁的次方等于,在语言描述的同时,也把数学的符号语言自然的给出.
(2)在次方根的定义中并没有将次方根符号化原因是结论的多样性,不能乱表示,所以需要先研究规律,再把它符号化.按这样的研究思路学生对次方根的认识逐层递进,直至找出运算上的规律.
教学设计示例
课题
根式
1.理解次方根和次根式的概念及其性质,能根据性质进行简单的根式计算.
2.通过对根式的学习,使学生能进一步认清各种运算间的联系,提高归纳,概括的能力.
3.通过对根式的化简,使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想.
教学重点难点:
重点是次方根的概念及其取值规律.
难点是次方根的概念及其运算根据的研究.
教学用具:
投影仪
教学方法:
启发探索式.
教学过程:
一.
复习引入
今天我们将学习新的一节指数.指数与其说它是一个概念,不如说它是一种重要的运算,且这种运算在初中曾经学习过,今天只不过把它进一步向前发展.
下面从我们熟悉的指数的复习开始.能举一个具体的指数运算的例子吗?
以为例,是指数运算要求学生指明各部分的名称,其中2称为底数,4为指数,称为幂.
教师还可引导学生回顾指数运算的由来,是从乘方而来,因此最初指数只能是正整数,同时引出正整数指数幂的定义..然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义,分别写出及,同时追问这里的由来.最后将三条放在一起,用投影仪打出整数指数幂的概念
2.5指数(板书)
1.
关于整数指数幂的复习
(1)
概念
既然是一种运算,除了定义之外,自然要给出它的运算规律,再来回顾一下关于整数指数幂的运算性质.可以找一个学生说出相应的运算性质,教师用投影仪依次打出:
(2)
运算性质:
;
.
复习后直接提出新课题,今天在此基础上把指数从整数范围推广到分数范围.在刚才的复习我们已经看到当指数在整数范围内时,运算最多也就是与分式有关,如果指数推广到分指数会与什么有关呢?
应与根式有关.初中时虽然也学过一点根式,但不够用,因此有必要先从根式说起.
2.
根式(板书)
我们知道根式来源于开方,开方是乘方的逆运算,所以谈根式还是先从大家熟悉的乘方说起.
如
如果给出了4和2进行运算,那就是乘方运算.如果是知道了16和2,求4即,求?
问题也就是:
谁的平方是16,大家都能回答是4和-4,这就是开方运算,且4和-4有个名字叫16的平方根.
再如
知3和8,问题就是谁的立方是8?
这就是开方运算,大家也知道结果为2,同时指出2叫做8的立方根.
(根据情况教师可再适当举几个例子,如,要求学生用语言描述式子的含义,I再说出结果分别为和-2,同时指出它们分别称为9的四次方根和-8的立方根)
在以上几个式子会解释的基础上,提出即一个数的次方等于,求这个数,即开次方,那么这个数叫做的次方根.
(1)次方根的定义:
如果一个数的次方等于(,那么这个数叫做的次方根.
(板书)
对定义理解的第一步就是能把上述语言用数学符号表示,请同学们试试看.
由学生翻译为:
若(,则叫做的次方根.(把它补在定义的后面)
翻译后教师在此基础上再次提出翻译的不够彻底,如结论中的的次方根就没有用符号表示,原因是什么?
(如果学生不知从何入手,可引导学生回到刚才的几个例子,在符号表示上存在的问题,并一起研究解决的办法)最终把问题引向对的次方根的取值规律的研究.
(2)的次方根的取值规律:
先让学生看到的次方根的个数是由的奇偶性决定的,所以应对分奇偶情况讨论
当为奇数时,再问学生的次方根是个什么样的数,与谁有关,再提出对的正负的讨论,从而明确分类讨论的标准,按的正负分为三种情况.
Ⅰ当为奇数时
,的次方根为一个正数;
,的次方根为一个负数;
,的次方根为零.
当奇数情况讨论完之后,再用几个具体例子辅助说明为偶数时的结论,再由学生总结归纳
Ⅱ当为偶数时
,的次方根为两个互为相反数的数;
,的次方根不存在;
,的次方根为零.
对于这个规律的总结,还可以先看的正负,再分的奇偶,换个角度加深理解.
有了这个规律之后,就可以用准确的数学符号去描述次方根了.
(3)
的次方根的符号表示(板书)
可由学生试说一说,若学生说不好,教师可与学生一起总结,当为奇数时,由于无论为何值,次方根都只有一个值,可用统一的符号表示,此时要求学生解释符号的含义:
为正数,则为一个确定的正数,为负数,则为一个确定的负数,为零,则为零.
当为偶数时,为正数时,有两个值,而只能表示其中一个且应表示是正的,另一个应与它互为相反数,故只需在前面放一个负号,写成,其含义为为偶数时,正数的次方根有两个分别为和.
为了加深对符号的认识,还可以提出这样的问题:
一定表示一个正数吗?
中的一定是正数或非负数吗?
让学生来回答,在回答中进一步认清符号的含义,再从另一个角度进行总结.对于符号,当为偶数是,它有意义的条件是;
当为奇数时,它有意义的条件时.
把称为根式,其中为根指数,叫做被开方数.(板书)
(4)
根式运算的依据(板书)
由于是个数值,数值自然要进行运算,运算就要有根据,因此下面有必要进一步研究根式运算的依据.但我们并不过分展开,只研究一些最基本的最简单的依据.
如应该得什么?
有学生讲出理由,根据次方根的定义,可得Ⅰ=.(板书)
再问:
应该得什么?
也得吗?
若学生想不清楚,可用具体例子提示学生,如吗?
吗?
让学生能发现结果与有关,从而得到Ⅱ=.(板书)
为进一步熟悉这个运算依据,下面通过练习来体会一下.
三.巩固练习
例1.求值
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).(
要求学生口答,并说出简要步骤.
四.小结
1.次方根与次根式的概念
2.二者的区别
3.运算依据
五.作业
略
六.板书设计
2.5指数
(2)取值规律
(4)运算依据
1.
复习
2.
根式
(3)符号表示
例1
(1)定义
高中新教村《数学》第一册(下)
§
4.8
正弦函数、余弦函数的图象和性质
(一)
正弦函数、余弦函数的图象
单位:
河南省济源市第一中学
作者:
石
明
秀
时间:
2000年9月9日
一、教材分析:
本节课是高中新教材《数学》第一册(下)§
4.8《正弦函数、余弦函数的图象和性质》的第一节,是学生在已掌握了一些基本函数的图象及其画法的基础上,进一步研究三角函数图象的画法.为今后学习正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础.因此,本节课的内容是至关重要的,它对知识的掌握起到了承上启下的作用.
二、学情分析:
在初中学生已经学习过三步作图法(列表,描点、连线)——“描点作图”法,对于函数y=sinx,当x取值时,y的值大都是近似值,加之作图上的误差,很难认识新函数y=sinx的图象的真实面貌。
因为在前面已经学习过三角函数线,这就为用几何法作图提供了基础。
动手作出函数y=sinx和y=cosx的图象,学生不会感到困难。
三、教学目标:
依据教学大纲的要求,制订如下三维教学目标:
知识目标是:
1.理解几何法作图原理(难点);
2.掌握五点法作图(重点);
3.了解三角函数图象的变换作图.
能力目标是:
通过识记正、余弦曲线的形状特征,培养学生分析问题、
解决问题的能力;
强化学生"数形结合"的数学思想.
发展目标是:
教给学生灵活的思维方法,培养学生的学习兴趣和勇于
探索、勇于创新的精神,提高综合素质.
四、设计理念:
教无定法,贵在得法.诱思探究学科教学论认为:
在教学思想上是启发式,在教学过程()上是探究式,在教学价值上是发展式。
德国教育学家第斯多惠也曾说过:
教学的艺术不在于传授的本领,而在于激励、唤醒、鼓舞.为了充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望,让他们既动脑又动手,充分让学生参与教学活动。
同时利用多媒体电教手段提高学生的学习兴趣.采用启发、引导和学生探究、实践、体验相结合的教学方法;
教给学生“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现、重体验、促发展”的学习方法.体现“教师是主导,学生是主体”的教学原则.使学生不但“学会”而且“会学”,并逐步感受到数学的美,产生成就感,从而极大地提高对数学的学习兴趣.也只有这样做,才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要.
五、教学程序:
本节课的教学过程()设计,主要是从“三性”即“课堂流程的可操作性,知识目标的可接受性,学生主动学习的积极性”考虑的,对整个教学过程()作如下安排:
教学程序图如下:
第一部分:
导入.先复习以前学过的函数图象的作法——描点法,再让学生观察波动图象演示仪,激起学生的兴趣.指出这种形状的曲线就是今天要研究的正、余弦函数的图象.如何作出该曲线呢?
以设问和探索的方式导入新课,创设情境,激发思维,让学生带着问题,有目的地参与下列教学活动.
第二部分:
几何法作图.引导学生在单位圆中作出特殊角的三角函数线,并进行平移,描点作图.先作出y=sinx(x∈[0,2π])和y=cosx(x∈[0,2π]的图象,再依据诱导公式一平移图象得出
y=sinx,x∈R的图象.同法得出y=cosx,x∈R的图象.
第三部分:
多媒体展示.教师利用多媒体展示用Flash动画制作的课件,规范作图过程和步骤,统一认识y=sinx(x∈[0,2π])和y=cosx(x∈[0,2π]的图象,在此提醒学生在直角坐标系中,横、纵坐标轴的长度单位必须一致。
否则画出的图象不是正弦函数的真实面貌。
第四部分:
“五点法”作图.曲线形成后,让学生观察图象的形状特征,分析讨论,提炼出五个关键点,归纳出“五点法”作图步骤.
第五部分:
总结.让学生自己总结本节课的重点、难点和学习目标,教师再补充.这样做,会检测出学生听课、分析、思考和掌握知识的情况,对本节课的教学起到画龙点睛的作用.
如此设计,联系了新旧知识,体现了从特殊到一般,再由一般到特殊的认知规律.在这种螺旋式上升的过程中,学生将通过自己的亲自动手实践,不仅学到本节课的知识,而且还将提高思维水平和认知能力.同时也体现了”教师为引导,学生为主体,体验为红线,探索得材料,研究获本质,思维促发展”的教学思想.同时在教学过程()中配以多媒体课件的展示,图文并茂,简洁明快,充分调动学生的各个感官,使学生学的生动,学的有趣,增大课堂容量,提高课堂效率.
为了突破几何法作图这个难点,制作了多媒体课件,将y=sinx,x∈R
和
y=cosx,x∈R图象的作法分解为三个问题来解决,降低了难度.通过展示课件,生动形象地再现三角函数线的平移和曲线形成过程.使原本枯燥地知识变得生动有趣,激发学生的兴趣,调动学生的积极性(通过教学也的确是这样的).及时让学生跟着演示作图,提高学生的动手能力、模仿能力、创造能力.直观的动画,不仅使学生愉快地接受新知识,而且将激发学生的创造性思维和想象力,使学生充分发挥其思维潜能,拓展思维空间.
用“三步曲”来突出“五点法”作图这个重点.第一步设疑:
“几何法作图.由于取点个越多,画出的图象也就比较精确,但也较为麻烦.在精确度要求不高的前提下,能否少定一些点,作出其简图呢?
”问题的提出可以立刻抓住学生的好奇心,激起学生强烈的求知欲.第二步引导:
让学生观察正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]和余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象,启发哪些点对决定图象的形状起着关键的作用呢?
引导学生寻找出五个关键点.体现教师的主导作用;
第三步小结:
让学生分组讨论,互相补充,归纳出五点法作图步骤.教师对学生讨论的情况作出评价并指出作图应注意的问题,然后小结:
“五点法”可以比较简捷地作出正弦、余弦函数的草图,对于以后研究正弦、余弦函数的性质将起到重要的作用.这样设计体现了“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现”的学习方法,使学生真正成为教学的主体.
应用:
画出下列函数的简图:
(1)y=1+sinx
x∈[0,2π];
(2)y=-cosx
x∈[0,2π].
解:
(1)按五个关键点列表:
利用正弦函数的性质描点画图(如下图).
(2)按五个关键点列表:
利用余弦函数的性质描点作图(如下图).
反馈练习:
1.在同一坐标系中用五点法分别画出函数y=sinx,x∈[0,2π]和y=cosx,x[-,]的简图.通过观察两条曲线,后者经过怎样平行移动就可以得到前者?
2.观察正弦函数和余弦函数,写出满足下列条件的x的区间:
(1)sinx>0
(2)sinx<0
(3)cosx>0
(4)cosx<0
(例题、练习都用课件展示)
本节例题仍选用教材上的例题,但解答除“五点法”之外,又引导学生利用函数图象的平移对称变换来作图.通过一题多解,可帮助学生加深对知识的认知程度,培养灵活的思维方式.学会遇到新问题时,善于调动所学过的旧知识,运用新旧知识间的联系,增强分析问题和解决问题的能力.
反馈练习设计层次分明:
练习1为巩固基础知识型,对课堂内容知识的再认识(五点作图及图象变换);
练习2为提高能力型,是对正(余)弦函数图象的灵活运用,由易到难,体现因材施教重效果,循序渐进促发展的教学理念.
最后师生共同总结,强化数形结合的数学思想,使学生的理论达到发展和升华,能力达到提高,并为相关学科的学习做好铺垫,提高综合素质.
六、板书设计:
(略)
七、布置作业:
(第二课时)一.教学目标
1.了解平面向量基本定理的证明.掌握平面向量基本定理及其应用;
2.能够在解题中适当地选择基底,使其它向量能够用选取的基底表示.
二.教学重点:
平面向量基本定理
教学难点:
理解平面向量基本定理.
三.教学具准备
直尺、投影仪.
四.教学过程
1.设置情境
上节课我们学习了共线向量的基本定理,通过它们判定两个向量是否平行,而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来.这个非零向量叫基向量.那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢?
如果是这样的话,对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了.
2.探索研究
师:
向量与非零向量共线的充要条件是什么?
生:
有且仅有一个实数,使得
如何作出向量?
在平面上任取一点,作,,则
对!
我们知道向量是向量与的合成,、也可以看做是由向量的分解,是不是每一个向量都可以分解两个不共线的向量呢?
平面向量基本定理:
如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使
我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
说明:
①实数,的确定是由平面几何作图得到的,同时也应用了上节课的共线向量基本定理.
②对该定理重在使用.
下面看例题
【例1】已知向量、,求作.
【例2】如图所示,的两条对角线相交于点,且,,用、表示、、和?
解:
在中
∵
∴
①这些表示方法很常用,要熟记
②用向量法讨论几何问题,关键是选取适当的基向量表示其他向量,本题的基底就是、,由它可以“生”成,,…….
【例3】如图所示,已知的两条对角线与交于,是任意一点,求证
证明:
∵是对角线和的交点
∴,.在△中,
同理:
相加可得:
注:
本题也可以取基本向量,,,,利用三角形中线公式(向量),得两种表示方式:
①
②
①+②得证毕.
【例4】如图所示、不共线,(),用,表示.
解
∵
∴
①本题是个重要题型:
设为平面上任一点.
则:
、、三点共线
或令,则、、三点共线(其中)
②当时,常称为△的中线公式(向量式).
3.演练反馈
(1)命题:
向量与共线;
命题:
有且只有一个实数,使;
则是的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.不充分不必要条件
(2)已知和不共线,若与共线,则实数的值等于____________.
(3)如图△中,点是的中点,点在边上,且,与相交于点,求的值.
参考答案:
(1)B
(2)
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