届高三数学理复习题模块七 选考模块 第22讲 不等式选讲.docx

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届高三数学理复习题模块七选考模块第22讲不等式选讲

2019年4月第22讲　不等式选讲

1.[2018·全国卷Ⅱ]设函数f（x）=5-|x+a|-|x-2|.

（1）当a=1时,求不等式f（x）≥0的解集;

（2）若f（x）≤1,求a的取值范围.

[试做] 

2.[2018·全国卷Ⅰ]已知f（x）=|x+1|-|ax-1|.

（1）当a=1时,求不等式f（x）>1的解集;

（2）若x∈（0,1）时不等式f（x）>x成立,求a的取值范围.

[试做] 

3.[2017·全国卷Ⅱ]已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:

（1）（a+b）（a5+b5）≥4;

（2）a+b≤2.

[试做] 

（1）形如|x-a|+|x-b|≥c（或≤c）的不等式主要有两种解法:

①分段讨论法:

利用绝对值内表达式对应方程的根,将数轴分为（-∞,a],（a,b],（b,+∞）（此处设a

②图像法:

作出函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图像,结合图像求解.

（2）不等式的恒成立问题一般有两种解法:

①利用函数思想转化为函数的最值问题求解;

②构造两个函数,作出函数图像,通过数形结合寻找临界状态得到参数的取值范围.

（3）利用基本不等式证明不等式是用综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已知不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后得到需证的结论.

解答1含绝对值不等式的解法

1已知函数f（x）=|x-a|-|3x+2|（a>0）.

（1）当a=1时,解不等式f（x）>x-1;

（2）若关于x的不等式f（x）>4有解,求a的取值范围.

[听课笔记] 

【考场点拨】

（1）对于形如|f（x）|≥|g（x）|的不等式,可利用不等式两边平方的技巧去掉绝对值;

（2）对于形如|f（x）|±|g（x）|≥a,|f（x）|±|g（x）|≤a的不等式,通常利用“零点”分区间法去掉绝对值.

【自我检测】

设函数f（x）=|2x-7|+1.

（1）求不等式f（x）≤x的解集;

（2）若存在x使不等式f（x）-2|x-1|≤a成立,求实数a的取值范围.

解答2不等式的证明

2已知a>0,b>0,且a2+b2=2.

（1）若+≥|2x-1|-|x-1|恒成立,求x的取值范围;

（2）证明:

（a5+b5）≥4.

[听课笔记] 

【考场点拨】

（1）证明不等式的基本方法有综合法、分析法,也常用到基本不等式进行证明;

（2）对于含有绝对值的不等式,在证明时常用到绝对值三角不等式;（3）对于含有根号的不等式,在证明时可用平方法（前提是不等式两边均为正数）;（4）如果所证命题是否定性命题或唯一性命题,或以“至少”“至多”等方式给出,可以考虑反证法.

【自我检测】

已知关于x的不等式≤|x+2|的解集为R.

（1）求实数m的值;

（2）若a,b,c>0,且a+b+c=m,求证:

++≤.

解答3含绝对值不等式的恒成立问题

3已知函数f（x）=|x-2|+2|x-1|.

（1）求不等式f（x）>4的解集;

（2）若不等式f（x）>2m2-7m+4对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.

[听课笔记] 

【考场点拨】

利用绝对值不等式恒成立求参数的值或取值范围常用以下结论:

①若f（x）>g（a）恒成立,则f（x）min>g（a）;②若f（x）

【自我检测】

已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|-m,m∈R.

（1）若m=5,求不等式f（x）>0的解集;

（2）若对于任意x∈R,不等式f（x）≥2恒成立,求m的取值范围.

第22讲　不等式选讲

典型真题研析

1.解:

（1）当a=1时,

f（x）=

可得f（x）≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.

（2）f（x）≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.

而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立,故f（x）≤1等价于|a+2|≥4.

由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2,

所以a的取值范围是（-∞,-6]∪[2,+∞）.

2.解:

（1）当a=1时,f（x）=|x+1|-|x-1|,即f（x）=

故不等式f（x）>1的解集为xx>.

（2）当x∈（0,1）时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈（0,1）时|ax-1|<1成立.

若a≤0,则当x∈（0,1）时|ax-1|≥1;

若a>0,|ax-1|<1的解集为x0

综上,a的取值范围为（0,2].

3.证明:

（1）（a+b）（a5+b5）=a6+ab5+a5b+b6=（a3+b3）2-2a3b3+ab（a4+b4）=4+ab（a2-b2）2≥4.

（2）因为（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab（a+b）≤2+（a+b）=2+,

所以（a+b）3≤8,因此a+b≤2.

考点考法探究

解答1

例1　解:

（1）当a=1时,不等式f（x）>x-1即为|x-1|-|3x+2|>x-1.

当x>1时,不等式可化为-2x-3>x-1,解得x<-,与x>1矛盾,此时不等式无解;

当-≤x≤1时,不等式可化为-4x-1>x-1,

解得x<0,所以-≤x<0;

当x<-时,不等式可化为2x+3>x-1,

解得x>-4,所以-4

综上所述,不等式的解集为{x|-4

（2）f（x）=

因为函数f（x）在上单调递增,在上单调递减,

所以当x=-时,f（x）max=+a.

不等式f（x）>4有解等价于f（x）max=+a>4,解得a>,

故a的取值范围为.

【自我检测】

解:

（1）由f（x）≤x,得|2x-7|+1≤x,即|2x-7|≤x-1.

当x≤1时,显然不成立.

当x>1时,两边平方得3x2-26x+48≤0,即（x-6）（3x-8）≤0,解得≤x≤6,

综上得,不等式的解集为x≤x≤6.

（2）因为存在x使不等式|2x-7|-2|x-1|+1≤a成立,所以|2x-7|-2|x-1|+1的最小值小于等于a.

又因为|2x-7|-2|x-1|+1=所以a≥-4.

解答2

例2　解:

（1）设f（x）=|2x-1|-|x-1|,则f（x）=

由a2+b2=2,得（a2+b2）=1,

所以+=（a2+b2）=≥=,

当且仅当a2=,b2=时等号成立,

所以≥|2x-1|-|x-1|.

当x≥1时,得x≤,所以1≤x≤;

当≤x<1时,得3x-2≤,解得x≤,所以≤x<1;

当x<时,得-x≤,解得x≥-,所以-≤x<.

综上可得-≤x≤.

（2）证明:

（a5+b5）=a4+b4++=（a2+b2）2++-2a2b2≥（a2+b2）2+2-2a2b2=（a2+b2）2=4,当且仅当=,即a=b=1时等号成立.

【自我检测】

解:

（1）∵≤|x+2|,

∴≤（x+2）2,

整理得3x2+（16-4m）x+16-4m2≥0.

由题意得Δ=（16-4m）2-4×3×（16-4m2）≤0,

整理得（m-1）2≤0,

∴m=1.

（2）证明:

∵a+b+c=1,a+b≥2,b+c≥2,c+a≥2,当且仅当a=b=c=时等号都成立,

∴++≤a+b+c=1.

又∵（++）2=a+b+c+2+2+2,

∴（++）2≤3,

∴++≤.

解答3

例3　解:

（1）依题意得f（x）=|x-2|+2|x-1|=

不等式f（x）>4等价于或或

解得x<0或x∈或x>,故所求解集为（-∞,0）∪.

（2）由

（1）可得,当x=1时,f（x）取得最小值1.

∵f（x）>2m2-7m+4对任意x∈R恒成立,

∴f（x）min>2m2-7m+4,即2m2-7m+4<1,

∴2m2-7m+3<0,解得

∴实数m的取值范围是.

【自我检测】

解:

（1）|x+1|+|x-2|=

当m=5时,f（x）>0等价于或或

解得x<-2或x∈或x>3,

∴不等式f（x）>0的解集为（-∞,-2）∪（3,+∞）.

（2）由题意知m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立,

又|x+1|+|x-2|-2≥|（x+1）-（x-2）|-2=1,

∴m≤1,即m的取值范围是（-∞,1].

[备选理由]例1考查含参绝对值不等式的求解,解题时要对参数进行分类讨论,有利于学生进一步掌握去掉绝对值的原则;例2考查不等式的证明,需要采用反证法证明,难度不大,但思维含量较高;例3考查绝对值不等式恒成立问题,需要分类讨论去掉绝对值,涉及分类与整合思想,分离参数法,利用基本不等式及导数求最值等知识与思想方法,综合性较大.

例1　[配例1使用]已知函数f（x）=|2x+1|+|x-a|,a∈R.

（1）当a=2时,解不等式f（x）≤4;

（2）若不等式f（x）<1的解集为非空集合,求a的取值范围.

解:

（1）当a=2时,原不等式即为|2x+1|+|x-2|≤4.

①当x≤-时,原不等式为-2x-1-x+2≤4,可得-1≤x≤-;

②当-

③当x>2时,原不等式为2x+1+x-2≤4,可得x∈.

综上可知,原不等式的解集是[-1,1].

（2）f（x）=|2x+1|+|x-a|,a∈R.

①当a=-时,f（x）=|2x+1|≥0,显然不等式f（x）<1的解集为非空集合.

②当a>-时,易知当x=-时,f（x）取得最小值a+,即f（x）=|2x+1|+|x-a|≥a+.欲使不等式f（x）<1的解集为非空集合,则需a+<1,

∴-

③当a<-时,易知当x=-时,f（x）取得最小值-a-,即f（x）=|2x+1|+|x-a|≥-a-.欲使不等式f（x）<1的解集为非空集合,则需-a-<1,∴-

综上可知,当-

例2　[配例2使用]已知函数f（x）=|x+1|+|x-1|.

（1）求函数f（x）的最小值a;

（2）根据

（1）中的结论,若m3+n3=a,且m>0,n>0,求证:

m+n≤2.

解:

（1）f（x）=|x+1|+|x-1|≥|x+1-（x-1）|=2,当且仅当-1≤x≤1时取等号,

所以f（x）min=2,即a=2.

（2）证明:

假设m+n>2,则m>2-n,则m3>（2-n）3,

所以m3+n3>（2-n）3+n3=2+6（1-n）2≥2.①

由

（1）知a=2,所以m3+n3=2.②

①②矛盾,所以假设不成立,即m+n≤2.

例3　[配例3使用]已知函数f（x）=|2x|+|2x+3|+m,m∈R.

（1）当m=-2时,求不等式f（x）≤3的解集;

（2）若对任意x∈（-∞,0）,都有f（x）≥x+恒成立,求m的取值范围.

解:

（1）当m=-2时,f（x）=|2x|+|2x+3|-2=

当x≥0时,得4x+1≤3,可得0≤x≤;当-

当x≤-时,得-4x-5≤3,可得-2≤x≤-.

综上可得,不等式f（x）≤3的解集为.

（2）当x∈（-∞,0）时,f（x）=|2x|+|2x+3|+m=

当-

∵x+=-≤-2=-2,当且仅当-x=-,即x=-时等号成立,

∴m+3≥-2,∴m≥-3-2.

当x≤-时,不等式化为-4x-3+m≥x+,

∴m≥5x++3.令y=5x++3,x∈,

则y'=5->0,

∴y=5x++3在上是增函数.

∴当x