届江苏省南通泰州扬州苏中三市高三第二次调研测.docx
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届江苏省南通泰州扬州苏中三市高三第二次调研测
2018江苏省南通、泰州、扬州苏中三市高三第二次调研测试题
数学Ⅰ
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合,,那么=▲.
2.已知(a∈R,为虚数单位),若复数z在复平面内对应的点在实轴上,则
a=▲.1
3.若抛物线上的点到焦点的距离为6,则p=▲.8
4.已知函数.在区间上随机取一,则使得的概率为▲.
5.若直线的倾斜角为钝角,则实数的取值范围是▲.
6.某市教师基本功大赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图
如图所示,则去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的
标准差为▲.(茎表示十位数字,叶表示个位数字)
7.若执行如图所示的程序框图,则输出的a的值为▲.
8.已知单位向量a,b的夹角为120°,那么的最小值是▲.
9.已知角的终边经过点,函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,则=▲.
10.各项均为正数的等比数列满足,若函数的导数为,则▲.
11.若动点P在直线l1:
上,动点Q在直线l2:
上,设线段PQ的中点为,且≤8,则的取值范围是▲.[8,16]
12.已知正方体C1的棱长为,以C1各个面的中心为顶点的凸多面体为C2,以C2各个面的中心为顶点的凸多面体为C3,以C3各个面的中心为顶点的凸多面体为C4,依次类推.记凸多面体Cn的棱长为an,则a6=▲.
13.若函数,则函数在(0,1)上不同的零点个数为▲.3
14.已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1,C为的中点,点D、E分别在半径OA、OB上.若,则的最大值是▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知函数的最大值为2.
(1)求函数在上的单调递减区间;
(2)△ABC中,,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且C=60°,,求△ABC的面积.
解:
(1)由题意,的最大值为,所以.……………………………2分
而,于是,.………………………………………4分
为递减函数,则满足,
即.……………………………………………………6分
所以在上的单调递减区间为.…………………………………7分
(2)设△ABC的外接圆半径为,由题意,得.
化简,得
.………………………………………………………9分
由正弦定理,得,.①
由余弦定理,得,即.②…………………11分
将①式代入②,得.
解得,或(舍去).…………………………………………………13分
.……………………………………………………………14分
16.(本小题满分14分)
如图,直三棱柱中,、分别是棱、的中点,点在棱上,已知,,.
(1)求证:
平面;
(2)设点在棱上,当为何值时,平面平面?
解:
(1)连接交于,连接.
因为CE,AD为△ABC中线,
所以O为△ABC的重心,.
从而OF//C1E.………………………………………………………………………………3分
OF面ADF,平面,
所以平面.……………………………………………………………………6分
(2)当BM=1时,平面平面.
在直三棱柱中,
由于平面ABC,BB1平面B1BCC1,所以平面B1BCC1平面ABC.
由于AB=AC,是中点,所以.又平面B1BCC1∩平面ABC=BC,
所以AD平面B1BCC1.
而CM平面B1BCC1,于是ADCM.…………………………………………………9分
因为BM=CD=1,BC=CF=2,所以≌,所以CMDF.………11分
DF与AD相交,所以CM平面.
CM平面CAM,所以平面平面.………………………………………13分
当BM=1时,平面平面.…………………………………………………14分
17.(本小题满分14分)
已知椭圆的右焦点为,离心率为.
(1)若,求椭圆的方程;
(2)设A,B为椭圆上关于原点对称的两点,的中点为M,的中点为N,若原点在以线段为直径的圆上.
①证明点A在定圆上;
②设直线AB的斜率为k,若,求的取值范围.
解:
(1)由,c=2,得a=,b=2.
所求椭圆方程为.…………………………………………………………4分
(2)设,则,
故,.………………………………………………6分
①由题意,得.
化简,得,所以点在以原点为圆心,2为半径的圆上.…………8分
②设,则.
将,,代入上式整理,得
.…………………………………………………………10分
因为,k2>0,所以,.…………………………12分
所以.化简,得
解之,得,.
故离心率的取值范围是.………………………………………………14分
(说明:
不讨论,得的扣2分)
18.(本小题满分16分)
如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=2,一质点从AB边上的点出发,沿与AB的夹角为θ的方向射到边BC上点后,依次反射(入射角与反射角相等)到边CD,DA和AB上的处.
(1)若P4与P0重合,求的值;
(2)若P4落在A、P0两点之间,且AP0=2.设=t,将五边形P0P1P2P3P4的面积S表示为t的函数,并求S的最大值.
解:
(1)设,则,.……………………………………2分
=,.…………………………4分
,,
.…………………………………………………………………6分
由于与重合,,所以,即.…………………8分
(2)由
(1),可知.
因为P4落在A、P0两点之间,所以,即.……………………10分
S=S四边形ABCD
.…………………………………………………………………………14分
由于,所以.
故S的最大值为.……………………………………………………………16分
19.(本小题满分16分)
已知函数,a∈R.
(1)若对任意,都有恒成立,求a的取值范围;
(2)设若P是曲线y=F(x)上异于原点O的任意一点,在曲线y=F(x)上总存在另一点Q,使得△POQ中的∠POQ为钝角,且PQ的中点在轴上,求a的取值范围.
解:
(1)由,得.
由于,,且等号不能同时取得,所以.
从而恒成立,.………………………………………4分
设.求导,得.………………6分
,,
从而,在上为增函数.
所以,所以.…………………………………………………8分
(2)设为曲线上的任意一点.
假设曲线上存在一点,使∠POQ为钝角,
则.…………………………………………………………………………10分
1若t≤-1,,,=.
由于恒成立,.
当t=-1时,恒成立.
当t<-1时,恒成立.由于,所以a≤0.………12分
2若,,,,
则=,
对,恒成立.……………………………………………14分
③当t≥1时,同①可得a≤0.
综上所述,a的取值范围是.………………………………………………16分
20.(本小题满分16分)
已知α,β是方程x2-x-1=0的两个根,且α<β.数列{an},{bn}满足a1=1,a2=β,
an+2=an+1+an,bn=an+1-αan(n∈N*).
(1)求b2-a2的值;
(2)证明:
数列{bn}是等比数列;
(3)设c1=1,c2=-1,cn+2+cn+1=cn(n∈N*),证明:
当n≥3时,an=(-1)n-1(αcn-2+βcn).
解:
因为α,β是方程x2-x-1=0的两个根,所以α+β=1,α·β=-1,β2=β+1.
(1)由b2=a3-αa2=a1+a2-αa2=1+a2-αβ=2+a2,得b2-a2=2.……………………4分
(2)因为==
====β,……………………………8分
又b1=a2-αa1=β-α≠0,所以{bn}是首项为β-α,公比为β的等比数列.……10分
(3)由
(2)可知an+1-αan=(β-α)βn-1.①
同理,an+1-βan=α(an-βan-1).又a2-βa1=0,于是an+1-βan=0.②
由①②,得an=βn-1.…………………………………………………………………13分
下面我们只要证明:
n≥3时,(-1)n-1(αcn-2+βcn)=βn-1.
因为=-=-=-
=-=-=β.
又c1=1,c2=-1,c3=2,则当n=3时,(-1)2(αc1+βc3)=(α+2β)=1+β=β2,
所以{(-1)n-1(αcn-2+βcn)}是以β2为首项,β为公比的等比数列.
(-1)n-1(αcn-2+βcn)是它的第n-2项,
所以(-1)n-1(αcn-2+βcn)=β2·βn-3=βn-1=an.…………………………………………16分
数学Ⅱ参考答案与评分建议
21.【选做题】本题包括A,B,C,D共4小题,请从这4题中选做2小题,每小题10分,共20分.请在答题卡上准确填涂题目标记,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:
几何证明选讲
(本小题满分10分)
如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,AE=AC,求证:
∠PDE=∠POC.
证明:
因AE=AC,AB为直径,
故∠OAC=∠OAE.…………………………………3分
所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC.
又∠EAC=∠PDE,所以,∠PDE=∠POC.……………………………………………10分
B.选修4-2:
矩阵与变换
(本小题满分10分)
已知,计算.
解:
矩阵M的特征多项式为.………………………………3分
令,从而求得对应的一个特征向量分别为
.………………………………………………………………………5分
令所以求得.………………………………………………7分
.…………………………………………………………10分
C.选修4-4:
坐标系与参数方程
(本小题满分10分)
在极坐标系中,圆的方程为,以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆的参数方程(是参数),若圆与圆相切,求实数的值.
解:
,圆心,半径,
,圆心,半径.………………………………………3分
圆心距,………………………………………………………………………………5分
两圆外切时,;………………………………………7分
两圆内切时,.
综上,或.……………………………………………………………………10分
D.选修4-5:
不等式选讲
(本小题满分10分)
已知x,y,z均为正数.求证:
.
证明:
因为x,y,z都是为正数,所以.……………………………3分
同理,可得.
将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得.………10分
22.【必做题】本题满分10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
某射击运动员向一目标射击,该目标分为3个不同部分,第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6.击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比.
(1)若射击4次,每次击中目标的概率为且相互独立.设表示目标被击中的次数,求的分布列和数学期望;
(2)若射击2次均击中目标,表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求事件发生的概率.
解:
(1)依题意知,的分布列
ξ
0
1
2
3
4
数学期望=(或=).
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- 江苏省 南通 泰州 扬州 苏中 三市高三 第二次 调研