高中数学概率复习Word格式.docx
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在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件;
(3)确定事件:
必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;
(4)随机事件:
在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件;
(5)频数与频率:
在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;
称事件A出现的比例fn(A)=
为事件A出现的概率:
对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率。
(6)频率与概率的区别与联系:
随机事件的频率,指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值
,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
例1判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件?
(1)“抛一石块,下落”.
(2)“在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化”;
(3)“某人射击一次,中靶”;
(4)“如果a>b,那么a-b>0”;
(5)“掷一枚硬币,出现正面”;
(6)“导体通电后,发热”;
(7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”;
(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”;
(9)“没有水份,种子能发芽”;
(10)“在常温下,焊锡熔化”.
例2某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率;
(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么?
解:
(1)表中依次填入的数据为:
0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是0.89。
课堂练习:
1.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是()
A.必然事件B.随机事件
C.不可能事件D.无法确定
2.下列说法正确的是()
A.任一事件的概率总在(0.1)内
B.不可能事件的概率不一定为0
C.必然事件的概率一定为1D.以上均不对
3.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答题。
每批粒数
2
5
70
130
700
1500
2000
3000
发芽的粒数
4
9
60
116
282
639
1339
2715
发芽的频率
二.概率的基本性质
1.概率的几个基本性质:
1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1;
2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:
P(A∪B)=P(A)+P(B);
3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)
2.例题分析:
例1一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?
哪些是对立事件?
事件A:
命中环数大于7环;
事件B:
命中环数为10环;
事件C:
命中环数小于6环;
事件D:
命中环数为6、7、8、9、10环.
分析:
要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生。
A与C互斥(不可能同时发生),B与C互斥,C与D互斥,C与D是对立事件(至少一个发生).
例2抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”,B为“出现偶数点”,已知P(A)=
,P(B)=
,求出“出现奇数点或偶数点”.
记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事件,所以P(C)=P(A)+P(B)=
+
=1
答:
出现奇数点或偶数点的概率为1
例3如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是
,取到方块(事件B)的概率是
,问:
(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少?
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?
(1)P(C)=P(A)+P(B)=
(2)P(D)=1—P(C)=
例4袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为
,得到黑球或黄球的概率是
,得到黄球或绿球的概率也是
,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少?
从袋中任取一球,记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、C、D,则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=
;
P(C∪D)=P(C)+P(D)=
P(B∪C∪D)=1-P(A)=1-
=
解的P(B)=
P(C)=
P(D)=
得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是
、
.
1.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件,观察正品件数与次品件数,判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件。
(1)恰好有1件次品恰好有2件次品;
(2)至少有1件次品和全是次品;
(3)至少有1件正品和至少有1件次品;
(4)至少有1件次品和全是正品;
2.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件A为出现奇数,事件B为出现2点,已知P(A)=
,求出现奇数点或2点的概率之和。
三、古典概型
1、基本概念
古典概型的概率计算公式:
P(A)=
2、正确理解古典概型的两大特点:
1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
2)每个基本事件出现的可能性相等;
3、例题分析:
例1掷一颗骰子,观察掷出的点数,求掷得奇数点的概率。
这个试验的基本事件共有6个,即(出现1点)、(出现2点)……、(出现6点)
所以基本事件数n=6,
事件A=(掷得奇数点)=(出现1点,出现3点,出现5点),
其包含的基本事件数m=3
所以,P(A)=
=0.5
例2从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有6个,即(a1,a2)和,(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b2,a2)。
其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中,恰好有一件次品”这一事件,则
A=[(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)]
事件A由4个基本事件组成,因而,P(A)=
例3现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品:
(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率;
(2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率.
(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x,y,z都有10种可能,所以试验结果有10×
10×
10=103种;
设事件A为“连续3次都取正品”,则包含的基本事件共有8×
8×
8=83种,因此,P(A)=
=0.512.
(2)解法1:
可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z),则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,所以试验的所有结果为10×
9×
8=720种.设事件B为“3件都是正品”,则事件B包含的基本事件总数为8×
7×
6=336,所以P(B)=
≈0.467.
解法2:
可以看作不放回3次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,但(x,y,z),(x,z,y),(y,x,z),(y,z,x),(z,x,y),(z,y,x),是相同的,所以试验的所有结果有10×
8÷
6=120,按同样的方法,事件B包含的基本事件个数为8×
6÷
6=56,因此P(B)=
4、课堂练习:
1.在40根纤维中,有12根的长度超过30mm,从中任取一根,取到长度超过30mm的纤维的概率是()
A.
B.
C.
D.以上都不对
2.盒中有10个铁钉,其中8个是合格的,2个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率是
D.
3.在大小相同的5个球中,2个是红球,3个是白球,若从中任取2个,则所取的2个球中至少有一个红球的概率是。
4.抛掷2颗质地均匀的骰子,求点数和为8的概率。
四、几何概型
1、基本概念:
(1)几何概率模型:
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;
(2)几何概型的概率公式:
(3)几何概型的特点:
1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;
2)每个基本事件出现的可能性相等.
2、例题分析:
例1判下列试验中事件A发生的概度是古典概型,
还是几何概型。
(1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;
本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性。
而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关。
(1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×
6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;
例2某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于10分钟的概率.
假设他在0~60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
解:
设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)=
,即此人等车时间不多于10分钟的概率为
小结:
在本例中,到站等车的时刻X是随机的,可以是0到60之间的任何一刻,并且是等可能的,我们称X服从[0,60]上的均匀分布,X为[0,60]上的均匀随机数.
例3在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?
石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的区域面积,有几何概型公式可以求得概率。
记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=
=0.004.
钻到油层面的概率是0.004.
例4在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少?
取出10毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为A,则
P(A)=
=0.01.
取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01.
例5取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大?
在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意数,并且每一个实数被取到都是等可能的。
因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3]上的均匀随机数,其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1,2]内,也就是剪得两段长都不小于1m。
这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内个数之比就是事件A发生的概率。
解法1:
(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND.
(2)经过伸缩变换,a=a1*3.
(3)统计出[1,2]内随机数的个数N1和[0,3]内随机数的个数N.
(4)计算频率fn(A)=
即为概率P(A)的近似值.
做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度[0,3](这里3和0重合).转动圆盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数N1及试验总次数N,则fn(A)=
用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。
解法2用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试验次数不可能很大;
解法1用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识.
例6在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,求这个正方形的面积介于36cm2
与81cm2之间的概率.
正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M,求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率.
(1)用计算机产生一组[0,1]内均匀随机数a1=RAND.
(2)经过伸缩变换,a=a1*12得到[0,12]内的均匀随机数.
(3)统计试验总次数N和[6,9]内随机数个数N1
(4)计算频率
记事件A={面积介于36cm2
与81cm2之间}={长度介于6cm与9cm之间},则P(A)的近似值为fn(A)=
1.在500ml的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是()
A.0.5B.0.4C.0.004D.不能确定
2.平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径r<
a的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.
3.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到
四个不同的岗位服务,每个岗位
至少有一名志愿者.
(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加
岗位服务的概率;
(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;
4.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为
,购买乙种商品的概率为
,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的。
(Ⅰ)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
(Ⅱ)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
5.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为
与
,且乙投球2次均未命中的概率为
(Ⅰ)求乙投球的命中率
(Ⅱ)求甲投球2次,至少命中1次的概率;
(Ⅲ)若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次的概率.
6.甲、乙两名篮球运动员,投篮的命中率分别为0.7与0.8.
(1)如果每人投篮一次,求甲、乙两人至少有一人进球的概率;
(2)如果每人投篮三次,求甲投进2球且乙投进1球的概率.
7.沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯,汽车在甲、乙、丙三个地方
通过(绿灯亮通过)的概率分别为
,
,对于在该大街上行驶的汽车,
求:
(1)在三个地方都不停车的概率;
(2)在三个地方都停车的概率;
(3)只在一个地方停车的概率.
8.口袋里装有红色和白色共36个不同的球,且红色球多于白色球.从袋子中取出2个球,
若是同色的概率为
,求:
(1)袋中红色、白色球各是多少?
(2)从袋中任取3个小球,至少有一个红色球的概率为多少?
9.袋中有大小相同的5个白球和3个黑球,从中任意摸出4个,求下列事件发生的概率.
(1)摸出2个或3个白球;
(2)至少摸出一个黑球.
家庭作业:
1.已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是
,从中取出2粒都是白子的概率是
,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少?
2.某班有45个,现要选出1人去检查其他班的卫生,若每个人被选到的机会均等,则恰好选中学生甲主机会有多大?
3.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min,求乘客到达站台立即乘上车的概率。
4.两根相距6m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2m的概率.
5.某射手在一次射击训练中,射中10环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算该射手在一次射击中:
(1)射中10环或9环的概率;
(2)少于7环的概率。
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