江西省重点中学协作体届高三第二次联考数学理试题及答案.docx
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江西省重点中学协作体届高三第二次联考数学理试题及答案
江西省重点中学协作体2015届高三第二次联考
数学试卷(理)
第I卷
一、选择题:
本题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,若,则()
A.B.C.D.
2.设是虚数单位,则()
A.B.C.D.
3.已知等比数列的各项都是正数,且成等差数列,则()
A.B.C.D.
4.给出下列结论:
①命题“”的否定是“”;
②命题“”是“”的充分不必要条件;
③数列满足“”是“数列为等比数列”的充分必要条件.
其中正确的是()
A.①②B.①③C.②③D.①②③
5.已知函数,数列是公差为的等差数列,若,,则的通项公式为()
A.B.C.D.
6.若实数满足,则的最小值为()
A.B.C.D.
7.已知直角中,斜边,为线段的中点,为线段上任意一点,则的最小值为()
A.B.C.D.
8.甲、乙、丙三人投掷飞镖,他们的成绩(环数)如下面的频数条形统计图所示,则甲、乙、丙三人训练成绩的方差、、的大小关系是()
A.B.
CD.
9.如图所示程序框图,则满足的输出的有序实数对的概率为()
A.B.C.D.
10.已知圆,点,动点在圆上运动,为坐标原点,则的最大值为()
A.B.C.D.
11.已知点,曲线恒过定点,为曲线上的动点且的最小值为,则()
A.B.-1C.2D.1
12.已知圆及圆,动圆与两圆都相切.动圆的圆心的轨迹是两个椭圆,这两个椭圆的离心率分别为,则的最小值为()
A.B.C.D.
二、填空题:
本题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.多项式的展开式中常数项是.
14.已知数列满足,若,则.
15.已知某几何体的三视图如图所示,则它的外接球的表面积为.
16.若集合,且下列四个关系:
①;②;③;④有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组的个数是.
第II卷
三、解答题:
本题共6小题,共70分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.(本小题满分12分)已知函数.
(1)求的单调递增区间;
(2)角为的三个内角,且,求的值.
18.(本小题满分12分)如图,在三棱锥中,平面平面,且,.
(1)求三棱锥的体积;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19.(本小题满分12分)4月15日,亚投行意向创始成员国已经截止,意向创始成员国敲定57个,其中,亚洲国家34个,欧洲国家18个,非洲和大洋洲各2个;南美洲1个.18个欧洲国家中G8国家有5个(英法德意俄).亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管理架构.假设理事会由9人组成,其中3人由欧洲国家等可能产生.
(1)这3人中恰有2人来自于G8国家的概率;
(2)设X表示这3人来自于G8国家的人数,求X的分布列和期望.
20.(本小题满分12分)已知点,圆:
,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线和半径相交于.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)若直线与圆:
相切,并与
(1)中轨迹交于不同的两点.当,且满足时,求面积的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知函数(为实常数).
(1)若函数在的切线与轴平行,求的值;
(2)若有两个零点,求证:
.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题,并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致.
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,已知与圆相切于点,半径,交于点.
(1)求证:
;
(2)若圆的半径为,,求线段的长度.
23.(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为.在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为.
(1)求圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线交于点,若点的坐标为,求.
24.(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲
已知函数
(1)求不等式的解集;
(2)若关于的不等式的解集非空,求实数的取值范围.
江西省重点中学协作体2015届高三第二次联考
数学(理)答案
一、选择题:
1-5:
CDDAB6-10:
BACDC11-12:
DA
二、填空题:
13.14.15.16.6
三、解答题:
17.解:
由题意可得
(1)
所以增区间为:
.………………………………………6分
(2)由得;………………………………………7分
得;………………………………………8分
由于则……………………………10分
所以.……………………………………………………12分
18.解:
(1)取中点,连结,,,,
又平面平面,………2分,
,,
即,得,则,,………4分
.
.……………………6分
(2)方法一:
分别以为轴,建立空间直角坐标系.
得,………8分
,,设平面的法向量.
由得方程组,取,得.10分
,.
故直线与平面所成角的正弦值为.……………………12分
方法二:
设点到平面的距离为,作,
则,
直线与平面所成角的正弦值为.
19.解:
(1)…………………………5分
(2)可能的取值为、、、
………10分
……………………………………………………12分
20.解:
(1)连接,∵|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=|EF|=,
∴动点的轨迹是以、为焦点,长轴长的椭圆,
即动点Q的轨迹方程为:
;…………………4分
(2)依题结合图形知直线的斜率不为零,所以设直线的方程为().
∵直线即与圆O:
相切,∴得.(5分)
又∵点的坐标满足:
,
消去整理得,
由韦达定理得,.…………………6分
又,点到直线的距离,
∴
………8分
∵
.
∵,令,则
∴,…………………10分
∵∴,∴的取值范围为:
.…………………12分
21.解:
(1),由题意知.…………3分
(2)由题意知:
①②不妨设
①-②得③…………5分
又,欲证只需证④
联立③④得…………7分
即,令()
则上式等价于,即⑤…………9分
令(),
在上单调递减,从而
在上单调递增,从而
即⑤式成立,……………………………………………………12分
22.解:
(1)证明:
连接,,.与圆相切于点,..,
..
又,..…………………5分
(2)假设与圆相交于点,延长交圆于点.
与圆相切于点,是圆的割线,
.
,,..
由
(1)知..在中,.
.
.…………………10分
23.解:
(1)由得,即.…………4分
(2)将的参数方程代入圆的直角坐标方程,得.
即,…………6分
由于,可设是上述方程的两个实根.
所以,又直线过点,
可得:
.…………10分
24.解:
(1)原不等式等价于
或
解得或或
即不等式的解集为…………………5分
(2)
或…………………10分
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