湖南省长郡中学届高三月考试题五数学文试题Word版含答案.docx
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湖南省长郡中学届高三月考试题五数学文试题Word版含答案
炎德·英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷(五)
数学(文科)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.每题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.)
1.已知为实数集,集合,则()
A.B.C.D.
2.若的平均数为3,标准差为4,且,,则新数据的平均数和标准差分别为()
A.-912B.-936C.336D.-312
3.已知直角梯形中,,,,,,点在梯形内,那么为钝角的概率为()
A.B.C.D.
4.已知复数(为虚数单位)为纯虚数,则实数()
A.1B.-1C.2D.-2
5.已知圆上有且只有两个点到直线的距离等于1,则半径的范围是()
A.B.C.D.
6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()
A.B.C.D.5
7.变量满足约束条件,则目标函数的取值范围是()
A.B.C.D.
8.函数的大致图象是()
A.B.C.D.
9.已知定义在上的函数,其导函数为,若,,则不等式的解集是()
A.B.C.D.
10.执行如图所示的程序框图,则输出的值为()
A.B.C.0D.
11.在中,角的对边分别为,且,则角的最大值是()
A.B.C.D.
12.设点,,点在双曲线上,则使的面积为3的点的个数为()
A.4B.3C.2D.1
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.)
13.已知,,则与的夹角的余弦值为.
14.是长、宽、高分别为12,3,4的长方体外接球表面上一动点,则到长方体各个面所在平面的距离的最大值是.
15.设函数的定义域为,如果,,使(为常数)成立,则称函数在上的均值为.给出下列四个函数:
①;②;③;④.则其中满足在其定义域上均值为2的函数是.
16.已知椭圆的左、右焦点分别为,,过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点,直线与椭圆的另一个交点为,若,则椭圆的离心率为.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知函数的图象过点,且点在函数的图象上.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令,若数列的前项和为,求证:
.
18.如图,已知是直角梯形,,,,,平面.
(Ⅰ)上是否存在点使平面,若存在,指出的位置并证明,若不存在,请说明理由;(Ⅱ)证明:
;
(Ⅲ)若,求点到平面的距离.
19.博鳌亚洲论坛2015年会员大会于3月27日在海南博鳌举办,大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后,组织一次知识竞赛,将所得成绩制成如下频率分布直方图(假定每个分数段内的成绩均匀分布),组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励.
(Ⅰ)试求受奖励的分数线;
(Ⅱ)从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人,再从抽取的5人中随机抽取2人在主会场服务,试求2人成绩都在90分以上(含90分)的概率.
20.已知为坐标原点,,是椭圆上的点,且,设动点满足.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)若直线与曲线交于两点,求三角形面积的最大值.
21.已知函数.
(Ⅰ)若为的极值点,求的值;
(Ⅱ)若在单调递增,求的取值范围.
(Ⅲ)当时,方程有实数根,求的最大值.
请考生在(22)~(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆,圆.
(Ⅰ)在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆的极坐标方程,并求出圆的交点坐标(用极坐标表示);
(Ⅱ)求出与的公共弦的参数方程.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数,
(Ⅰ)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若关于的一次二次方程有实根,求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:
ADABA6-10:
BDBDA11、12:
AA
二、填空题
13.14.15.③16.
三、解答题
17.【解析】(Ⅰ)∵函数的图象过点,
∴,.
又点在函数的图象上,
从而,
即.
(Ⅱ)证明:
由,,得,
,
则,
两式相减得:
,
∴,
∴,
∵,∴.
18.【解析】证明:
当为中点时满足题意
(Ⅰ)取的中点为,连结.
∵,,
∴,且,
∴四边形是平行四边形,
即.
∵平面,
∴平面.
∵分别是的中点,∴,
∵平面,
∴平面.
∵,
∴平面平面.
∵平面,
∴平面.
(Ⅱ)由已知易得,.
∵,
∴,即.
又∵平面,平面,
∴.
∵,
∴平面
∵平面,
∴.
(Ⅲ)由已知得,所以.
又,则,由得,
∵,
∴到平面的距离为.
19.【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图知,竞赛成绩在分的人数为,竞赛成绩在的人数为,故受奖励分数线在之间,设受奖励分数线为,则,解得,故受奖励分数线为86.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,受奖励的20人中,分数在的人数为8,分数在的人数为12,利用分层抽样,可知分数在的抽取2人,分数在的抽取3人,设分数在的2人分别为,分数在的3人分别为,所有的可能情况有,,,,,,,,,,满足条件的情况有,,,所求的概率为.
20.【解析】(Ⅰ)设点,,,
则由,得,
即,,因为点在椭圆上,
所以,,
故
,
因为,
所以动点的轨迹的方程为.
(Ⅱ)将曲线与直线联立:
,消得:
,
∵直线与曲线交于两点,设,,
∴,又∵,得,
,,
∴,
∵点到直线的距离,
∴
,当时等号成立,满足(*)
∴三角形面积的最大值为.
21.【解析】(Ⅰ),求导,,
由为的极值点,则,即,解得:
,
当时,,
从而为函数的极值点,成立,
∴的值为0;
(Ⅱ)在单调递增,则,
则在区间上恒成立,
①当时,在区间上恒成立,
∴在区间上单调递增,故符合题意;
②当时,由的定义域可知:
,
若,则不满足条件在区间上恒成立,
则,
则,对区间上恒成立,
令,其对称轴为,
由,则,
从而在区间上恒成立,
只需要即可,
由,解得:
,
由,则,
综上所述,的取值范围为;
(Ⅲ)当时,方程,转化成,
即,令,
则在上有解,
令,,
求导,
当时,,故在上单调递增;
当时,,故在上单调递减;
在上的最大值为,
此时,,
当时,方程有实数根,则的最大值为0.
22.【解析】(Ⅰ)由,,
得圆的极坐标方程为,
圆,即的极坐标方程为,
解,得:
,,
故圆的交点坐标为,.
注:
极坐标系下,点的表示不唯一.
(Ⅱ)由,得圆的交点的直角坐标,,
故的公共弦的参数方程为,.
23.【解析】(Ⅰ)因为,
所以,即,
所以实数的取值范围为;
(Ⅱ),
即,
所以不等式等价于
或或,
所以,或,或,
所以实数的取值范围是.
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