弧长和扇形面积讲义学生版.docx
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弧长和扇形面积讲义学生版
教学目标
掌握弧长、扇形面积公式,理解圆锥侧面展开图,并准确计算。
重点难点
弧长、扇形面积
教学容
目录Contents
上节课回顾:
作业检查+知识点复习
新课:
一、导入
二、知识梳理+经典例题
三、随堂检测
四、归纳总结
五、课后作业
上节课回顾:
一、作业检查情况完成未完成
二、知识点回顾
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新课:
一、导入
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二、知识梳理+经典例题
1.弧长公式
圆的面积C与半径R之间存在关系,即360°的圆心角所对的弧长,因此,1°的圆心角所对的弧长就是。
n°的圆心角所对的弧长是
*这里的180、n在弧长计算公式中表示倍分关系,没有单位。
2.扇形面积
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。
发现:
扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形面积也就越大。
在半径是R的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积,所以圆心角为n°的扇形面积是:
(n也是1°的倍数,无单位)
3.圆锥的概念
观察模型可以发现:
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。
其中底面是一个圆,侧面是一个曲面,如果把这个侧面展开在一个平面上,展开图是一个扇形。
如图,从点S向底面引垂线,垂足是底面的圆心O,垂线段SO的长叫做圆锥的高,点S叫做圆锥的顶点。
锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。
也就是说,把直角三角形SOA绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。
其中旋转轴SO叫做圆锥的轴,圆锥的轴通过底面圆的圆心,并且垂直于底面。
另外,连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA1、SA2、……都叫做圆锥的母线,显然,圆锥的母线长都相等。
母线定义:
连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
P122
4.圆锥的性质
由图可得
(1)圆锥的高所在的直线是圆锥的轴,它垂直于底面,经过底面的圆心;
(2)圆锥的母线长都相等
5.圆锥的侧面展开图与侧面积计算
圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。
圆锥侧面积是扇形面积。
如果设扇形的半径为l,弧长为c,圆心角为n(如图),则它们之间有如下关系:
同时,如果设圆锥底面半径为r,周长为c,侧面母线长为l,那么它的侧面积是:
圆锥的全面积为:
圆柱侧面积:
。
例题赏析
1.在⊙中,120°的圆心角所对的弧长为,那么⊙O的半径为___________cm。
2.若扇形的圆心角为120°,弧长为,则扇形半径为_____________,扇形面积为____________________。
3.如果一个扇形的面积和一个圆面积相等,且扇形的半径为圆半径的2倍,这个扇形的中心角为____________。
4.已知扇形的周长为28cm,面积为49cm2,则它的半径为____________cm。
5.两个同心圆被两条半径截得的,,又AC=12,求阴影部分面积。
6.例:
如图,已知正方形的边长为a,求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。
7.已知AB、CD为⊙O的两条弦,如果AB=8,CD=6,的度数与的度数的和为180°,那么圆中的阴影部分的总面积为?
8.在△AOB中,∠O=90°,OA=OB=4cm,以O为圆心,OA为半径画,以AB为直径作半圆,求阴影部分的面积。
9.①、②……是边长均大于2的三角形,四边形、……、凸n边形,分别以它们的各顶点为圆心,以1为半径画弧与两邻边相交,得到3条弧,4条弧,……
(1)图①中3条弧的弧长的和为_________________
图②中4条弧的弧长的和为_________________
(2)求图中n条弧的弧长的和(用n表示)
10.如图,在Rt△ABC中,已知∠BCA=90°,∠BAC=30°,AC=6m,把△ABC以点B为中心逆时针旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的点C'处,那么AC边扫过的图形(阴影部分)的面积为?
11.如图,已知Rt△ABC的斜边AB=13cm,一条直角边AC=5cm,以直线AC为轴旋转一周得一个圆锥。
求这个圆锥的表面积。
如果以直线AB为轴旋转一周,能得到一个什么样的图形?
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三、随堂检测
1.已知扇形的弧长为6πcm,圆心角为60°,则扇形的面积为____________
2.已知弓形的弧所对的圆心角为60°,弓形弦长为a,则这个弓形的面积是__________。
3.如图,在平行四边形ABCD中,,,BD⊥AD,以BD为直径的⊙O交AB于E,交CD于F,则图中阴影部分的面积为___________。
4.如图,AB是⊙O1的直径,AO1是⊙O2的直径,弦MN//AB,且MN与⊙O2相切于C点,若⊙O1的半径为2,则O1B、、CN、所围成的阴影部分的面积是_____________。
5.如图,△ABC为某一住宅区的平面示意图,其周长为800m,为了美化环境,计划在住宅区周围5m,(虚线以,△ABC之外)作绿化带,则此绿化带的面积为___________。
6.如图,两个同心圆被两条半径截得的,,⊙O'与,都相切,则图中阴影部分的面积为____________。
7.如图,OA是⊙O的半径,AB是以OA为直径的⊙O’的弦,O’B的延长线交⊙O于点C,且OA=4,∠OAB=45°,则由,和线段BC所围成的图形面积是______。
8.如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB,AC的夹角为120°,AB长为30cm,贴纸部分BD长为20cm,贴纸部分的面积为()
A.B.C.D.
9.如图,在同心圆中,两圆半径分别为2、4,∠AOB=120°,则阴影部分的面积为()
A.B.C.D.
10.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平翻滚(如图),那么,B点从开始至结束所走过的路径长度为()
A.B.C.4D.
11.(2004·黄冈)如图,要在直径为50cm的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面,问怎样才能截出直径最大的凳面,最大直径是多少厘米?
.
12.在相距40km的两个城镇A、B之间,有一个近似圆形的湖泊,其半径为10km,圆心恰好位于A、B连线的中点处,现要绕过湖泊从A城到B城,假设除湖泊外,所有的地方均可行走,有如图所示两种行走路线,请你通过推理计算,说明哪条路线较短。
(1)的路线:
线段线段DB
(2)的路线:
线段线段FB(其中E、F为切点)
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四、归纳总结
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五、课后作业
1.一个圆锥的模型,这个模型的侧面是用一个半径为9cm,圆心角为240°的扇形铁皮制作,再用一块圆形铁皮做底,则这块图形铁皮的半径为______________。
2.若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形,则这个圆锥的侧面积是_______。
3.例:
已知圆锥的底面半径为40cm,母线长为90cm,则它的侧面展开图的圆心角为______。
4.例:
若圆锥的侧面积是底面积的2倍,则侧面展开图的圆心角是__________。
5.例:
如图,圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm,母线长50cm。
(1)画出它的展开图;
(2)计算这个展开图的圆心角及面积。
6.例:
一个圆锥的高是10cm,侧面展开图是半圆,求圆锥的侧面积。
7.例:
蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成,如果想用毛毡搭建20个底面积为,高为3.5m,外围高4m的蒙古包,至少要多少平方米的毛毡?
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- 扇形 面积 讲义 学生