数学建模设备更新问题Word文件下载.docx
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12
13
14
机器役龄
0—1
1—2
2—3
3—4
4—5
维修费
5
6
8
18
残值
4
3
2
1
二、模型假设:
1、机器在购买N年之后维修费用是固定不变的,不存在人为的破坏因素使之不能正常运行;
2、公司有足够的资金支付设备;
3、公司该设备只使用一台,不存在公司同时用多台机器的现象
4、从第一年开始一定要购置一台设备
三、符号说明:
1、vi表示第i年年初购进一台新设备,虚设一个点v6,表示第五年年底;
2、边(vi,vj)表示第i年初购进的设备一直使用到第j年初(即第j-1年底);
3、边(vi,vj)上的数字表示第i年初购进设备,一直使用到第j年初所需支付的购买、维修的全部费用
四、问题的分析:
为了使问题简化,我们将求最小总支出转化为求最小路径问题,这样,设备更新问题可简化为求从v1到v6的最短路问题,可由上表得下图
对于边(v1,v2)有第一年购买的费用11加上一年的维修费用5减去一年役龄机器的残值4得到12;
同理:
(v1,v3)11+5+6-3=19
(v1,v4)11+5+6+8-2=28
(v1,v5)11+5+6+8+11-1=40
(v1,v6)11+5+6+8+11+18-0=59
(v2,v3)12+5-4=13
(v2,v4)12+5+6-3=20
(v2,v5)12+5+6+8-2=29
(v2,v6)12+5+6+8+11-1=41
(v3,v4)13+5-4=14
(v3,v5)13+5+6-3=21
(v3,v6)13+5+6+8-2=30
(v4,v5)14+5-4=15
(v4,v6)14+5+6-3=22
(v5,v6)14+5-4=15
由上图,我们就可用Dijkstra算法将设备更新的问题算出最小总支出
五、模型的建立与求解:
由上述分析可知Dijkstra算法中所对应的结点跟路径,下面给出其基本步骤:
采用标号法,用两种标号:
T标号和P标号,T标号为试探性标号,P标号为永久性标号,给vi一个P标号时表示从vi到vj的最短路权,vi的标号不再改变。
给vi一个T标号是表示从vi到vj的最短路权的上界,是一种临时标号,凡没有得到P标号的点都有T标号。
(1)首先给v1以P(v1)=0,给其余所有点T标号,
T(v1)=+∞(i=2,…,8)
(2)由于(v1,v2),(v1,v3),(v1,v4),(v1,v5),(v1,v6)边属于E,且v1,v2为T标号,所以修改这两个点的标号:
T(v2)=min[T(v2),P(v1)+l12]=min[+∞,0+12]=12
T(v3)=min[T(v1),P(v3)+l13]=min[+∞,0+19]=19
T(v4)=min[T(v1),P(v4)+l14]=min[+∞,0+28]=28
T(v5)=min[T(v1),P(v3)+l15]=min[+∞,0+50]=50
T(v6)=min[T(v1),P(v3)+l16]=min[+∞,0+59]=59
(3)比较所有T标号,T(v2)最小,所以令P(v2)=12.并记录路径(v1,v2)。
(4)v2为刚得到P标号的点,考察边(v2,v3),(v2,v3),(v2,v4),(v2,v5),(v2,v6)的端点v1,v2。
T(v3)=min[T(v3),P(v2)+l23]=min[19,12+13]=19
T(v4)=min[T(v4),P(v2)+l24]=min[28,12+20]=28
T(v5)=min[T(v5),P(v2)+l25]=min[40,12+29]=40
T(v6)=min[T(v6),P(v2)+l26]=min[59,12+41]=53
(5)比较所有T标号,T(v3)最小,所以令P(v3)=19.并记录路径(v1,v3)。
(6)考虑点v3,有
T(v4)=min[T(v3),P(v3)+l34]=min[28,19+14]=28
T(v5)=min[T(v3),P(v3)+l35]=min[40,19+21]=40
T(v6)=min[T(v3),P(v3)+l36]=min[53,19+30]=53
(7)比较所有T标号,T(v4)最小,所以令P(v4)=28.并记录路径(v1,v4)。
(8)考虑点v4,有
T(v5)=min[T(v4),P(v4)+l45]=min[40,28+15]=40
T(v1)=min[T(v6),P(v4)+l46]=min[49,28+22]=49
(9)比较所有T标号,T(v5)最小,所以令P(v5)=40.并记录路径(v1,v5)。
(10)考虑点v6,有
T(v6)=min[T(v6),P(v5)+l56]=min[49,40+15]=49
(11)因只有一个T标号T(v6),令P(v6)=49,记录路径
(v3,v6),计算结束。
由计算结果可知:
v1v3v6为最短路,路长为49,即在第一年,第三年初各购买一台新设备为最优决策,这时5年的总费用为49.
全部计算结果如下图所示,同时可得到v1到其他点的最短路径,如下图中的粗线所示:
Matlab的编程语言如下:
关于求最小路径的M函数
function[S,D]=minRoute(i,m,W,opt)
%图与网络论中秋最短路径的Dijkstra算法M函数
%格式[S,D]=minroute(I,m,W,opt)
%i为最短路径的起始点,m为图定点数,W为图的带权邻接矩阵,不构成边的两顶点之间的权用inf表示.S的每一列从上到下记录了从始点到终点的最短路径所经顶点的序号.opt(缺省值)时,S按最短路径值从小到大显示结果.
%D是一行向量,对应记录了S各列所示路径的大小
ifnargin<
4,opt=0;
end
dd=[];
tt=[];
ss=[];
ss(1,1)=i;
V=1:
m;
V(i)=[];
dd=[0;
i];
kk=2;
[mdd,ndd]=size(dd);
while~isempty(V)
[tmpd,j]=min(W(i,V));
tmpj=V(j);
fork=2:
ndd
[tmp1,jj]=min(dd(1,k)+W(dd(2,k),V));
tmp2=V(jj);
tt(k-1,:
)=[tmp1,tmp2,jj];
end
tmp=[tmpd,tmpj,j;
tt];
[tmp3,tmp4]=min(tmp(:
1));
iftmp3==tmpd
ss(1:
2,kk)=[i;
tmp(tmp4,2)];
elsetmp5=find(ss(:
tmp4)~=0);
tmp6=length(tmp5);
ifdd(2,tmp4)==ss(tmp6,tmp4)
tmp6+1,kk)=[ss(tmp5,tmp4);
elsess(1:
3,kk)=[i;
dd(2,tmp4);
dd=[dd,[tmp3;
tmp(tmp4,2)]];
V(tmp(tmp4,3))=[];
[mdd,ndd]=size(dd);
kk=kk+1;
ifopt==1
[tmp,t]=sort(dd(2,:
));
S=ss(:
t);
D=dd(1,t);
elseS=ss;
D=dd(1,:
);
利用此函数的求解过程
>
n=6;
w=inf*ones(6);
w(1,[2,3,4,5,6])=[12,19,28,40,59];
w(2,[3,4,5,6])=[13,20,29,41];
w(3,[4,5,6])=[14,21,30];
w(4,[5,6])=[15,22];
w(5,6)=15;
[s,d]=minroute(1,n,w)
求解所得结果:
s=
111111
023453
000006
d=
01219284049
六、模型的检验
利用常规数学方法求解此题如下:
由题意可知,五年下来最多能每一年用五台,最少要用一台机器,设总共所用的支出为y,
(1)只用一台设备时:
y=11+5+6+8+11+18=59
(2)用两台设备时:
a.第一台使用一年:
y=(11+13)+(5+6+5+6+8+11)-(3+2)=53
b.第一台使用两年:
y=(11+13)+(5+6+5+6+8)-(3+2)=49
c.第一台使用三年:
y=(11+14)+(5+6+8+5+6)-(2+3)=50
d.第一台使用四年:
y=(11+14)+(5+6+8+11+5)-(1+4)=55
(3)用三台设备时:
a.第一台用一年,第二台用一年:
y=(11+12+13)+(5+5+5+6+8)-(4+4+4+2)=55
b.第一台用一年,第二台用两年:
y=(11+12+14)+(5+5+6+5+6)-(4+3+3)=54
c.第一台用一年,第二台用三年:
y=(11+12+14)+(5+5+6+8+5)-(4+2+4)=56
d.第一台用两年,第二台用一年:
y=(11+13+14)+(5+6+5+5+6)-(3+4+3)=55
e.第一台用两年,第二台用两年:
y=(11+13+14)+(5+6+5+6+5)-(3+3+4)=55
f.第一台用三年,第二台用一年:
y=(11+14+14)+(5+6+8+5+5)-(4+3+3)=58
(4)用四台设备时:
a.第一台用一年,第二台用一年,第三台用一年:
y=(11+12+13+14)+(5+5+5+5+6)-(4+4+4+3)=61
b.第一台用一年,第二台用一年,第三台用两年:
y=(11+12+13+14)+(5+5+5+6+5)-(4+4+3+4)=61
c.第一台用一年,第二台用两年,第三台用一年:
y=(11+12+14+14)+(5+5+6+5+5)-(4+4+3+4)=62
d.第一台用一年,第二台用一年,第三台用一年:
y=(11+12+14+14)+(5+6+5+5+5)-(3+4+4+4)=63
(5)用五台设备时:
此时只有一种情况:
y=(11+12+13+14+14)+(5+5+5+5+5)-(4+4+4+4+4)=69
由以上结果可看出,当y=49时取得最小值,即最小的总支出为第一台使用两年,在第三年初购买新的设备能使总支出最小,且最小总支出费用为49万元,这与计算结果完全吻合,充分说明了我们所建立的模型的合理性,可行性以及正确性!
七、模型的评价及改进:
本模型理论上可以用于解决任意有关设备更新的任何问题,成功的运用Dijkstra算法,该算法简洁明了,适用于无需遍布网络中所有点只要求得两定点的最短路径,对解决最小总支出是很方便而且优越,目前被认为是求无负权网络的最好方法;
我们用计算机软件matlab可以成功地求出最小总支出,容易操作,具有实用性。
我们还可以采用其它数学软件通过程序的编写运行来求得最优解,如Qsb,C++等,此外,这种算法还可以求从一个城市到另一个城市的最短路径问题,资金周转问题,聘请员工实现最优化等问题,值得进行社会推广。
但是,在本问题的建立过程中,我们舍弃了某些影响因素的结果,尽管这些因素的影响很小,但会使所求结果与实际生活中实际结果产生偏差,又由于Dijkstra算法对程序的要求很高,尽管经过了检验,但结果依然比较粗糙,有待进行进一步的改进,此外,由于利用Dijkstra算法是求无负权网络的方法,当权为负数时无法利用,此时,我们可以用floyd算法得到实现。
参考文献:
[2]胡良剑,孙晓君,数学实验,高等教育出版社,北京,2006
[3]胡运权,郭耀煌,运筹学教程,清华大学出版社,北京,2007
[4]梁炼,数学建模,华南理工大学出版社,广东,2003
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