吉林省吉化一中学年高一上学期期末考试数学试题.docx
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吉林省吉化一中学年高一上学期期末考试数学试题
吉化一中高一年级上学期期末考试数学试卷
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,,,则为()
A.B.C.D.
2.函数的定义域为()
A.B.C.D.
3.函数的零点所在的一个区间是()
A.B.C.D.
4.如图所示,直观图四边形是一个底角为,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是()
A.B.C.D.
5.将长方体截去一个四棱锥得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为()
A.B.
C.D.
6.圆台上、下底面面积分别是、,侧面积是,则这个圆台的体积是()
A.B.C.D.
7.正方体中,的中点为,的中点为,则异面直线与所成的角是()
A.B.C.D.
8.我国古代数学名著《数学九章》中有云:
“今有木长二丈四尺,围之五尺.葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何?
”其意思为“圆木长2丈4尺,圆周为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺”(注:
1丈等于10尺)()
A.29尺B.24尺C.26尺D.30尺
9.过点,且与原点距离最大的直线方程是()
A.B.C.D.
10.与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是()
A.B.
C.D.
11.若动点到点和直线的距离相等,则点的轨迹方程为()
A.B.C.D.
12.若直线与圆有两个不同交点,则点与圆的位置关系是()
A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知直线与圆相切,则的值为.
14.已知奇函数,,,则不等式的解集是.
15.如图,在等腰梯形中,,,是的中点,将,分别沿,向上折起,使重合于点,若三棱锥的各个顶点在同一球面上,则该球的体积为.
16.已知圆和两点,,若圆上存在点使得,则的取值范围为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知函数,.
(1)求的定义域;
(2)判断并证明的奇偶性.
18.的边上的高所在直线方程分别为,,顶点,求边所在的直线方程.
19.如图,在三棱柱中,底面,且为等边三角形,,为的中点.
(1)求证:
直线平面;
(2)求三棱锥的体积.
20.如图,在五面体中,四边形是边长为2的正方形,平面,,,,.
(1)求证:
平面;
(2)求直线与平面所成角的正切值.
21.如图,已知是上、下底边长分别为2和6,高为的等腰梯形,将它沿对称轴折叠,使二面角为直二面角.
(1)证明:
;
(2)求二面角的正弦值.
22.已知点及圆.
(1)设过点的直线与圆交于两点,当时,求以线段为直径的圆的方程;
(2)设直线与圆交于两点,是否存在实数,使得过点的直线垂直平分弦?
若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
试卷答案
1.答案:
A解析:
是不包括0,2的整数集,所以 .综上所述,答案选择A.
2.答案:
C
3、答案:
C解析:
,
∵是单调增函数,是单调增函数,∴在上是增函数,
∴在区间存在一个零点.
4、答案:
A解析:
由题可得,所以原平面图形中,根据梯形的面积计算公式可得.
5、答案:
C解析:
试题分析:
根据几何体各个顶点的射影位置确定其侧视图的形状,显然侧视图中长方体的体对角线是一条虚线,故选C.
6答案:
D解析:
由题知上底面半径,下底面半径,∵,设母线长为,则,,高,
.故选D.
7、答案:
D解析:
取的中点,连接,则,易得,所以.因为,所以,所以,故与所成的角为.
8.答案:
C.解析:
由题意,圆柱的侧面展开图是矩形,一条直角边(即木棍的高)长24尺,另一条直角边长5×2=10(尺),因此葛藤长=26(尺).
9、答案:
A解析:
由分析可知当直线过点且与垂直时原点到直线的距离最大.因为,所以,所以所求直线方程为,即..
10.答案:
C解析:
圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1),半径为,过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,所求的圆的圆心在此直线上,排除A、B,圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为=3,则所求的圆的半径为,故选C.
11.B点在直线上,则过点且垂直于已知直线的直线为所求
12.C解析:
直线l:
ax+by=1与圆C:
x2+y2=1有两个不同交点,则<1,a2+b2>1,点P(a,b)在圆C外部,.
13.-18或8.提示:
用点到直线的距离公式,注意去绝对值符号时的两种可能情况.
14、答案:
解析:
∵,,不等式化为,解得.当时,∵函数是奇函数,∴,由得,于是,∴.故结果为
15、答案:
解析:
根据题意,折叠后的三棱锥的各棱长都相等,且等于1,根据此三棱锥构造相应正方体(如图),则该正方体的棱长为,故正方体的体对角线长为.∵正方体的体对角线也是所求球的直径,∴球的半径为,∴.
16、答案:
6解析:
若圆上存在点,使得,即存在点在圆,即圆与有公共点,则,解得,即的最大值为6
17、
解:
1) 解得:
原函数的定义域为
(2)原函数的定义域为,定义域关于原点对称。
在上为奇函数.
18.解:
因为边上的高所在直线方程为,所以直线的斜率为;
所以直线的方程为,即,
同理可求得直线的方程为.
下面求直线的方程:
由得顶点,
由得顶点.
所以直线的斜率为,
所以直线的方程为,即.
19、
(1).证明:
如图所示,
连接交于,连接,
因为四边形是平行四边形,所以点为的中点,
又因为为的中点的中点,
所以为的中位线,所以,
又平面,平面,
所以平面.
2.证明:
因为是等边三角形,为的中点,
所以,
∴,
∴
20.
(1)证明:
取的中点,连接,则,
∵∥平面,平面,平面平面,
∴∥,即∥.
∵
∴四边形是平行四边形.
∴∥,.
在Rt△中,,又,得.
∴.
在△中,,,,
∴,
∴.
∴,即.
∵四边形是正方形,
∴.
∵,平面,平面,
∴平面.
(2)连接,与相交于点,则点是的中点,
取的中点,连接,,
则∥,.
由
(1)知∥,且,
∴∥,且.
∴四边形是平行四边形.
∴∥,且
由
(1)知平面,又平面,
∴.
∵,平面,平面,
∴平面.
∴平面.
∵平面,
∴.
∵,平面,平面,
∴平面.
∴是直线与平面所成的角.
在Rt△中,.
∴直线与平面所成角的正切值为.
21
(1).证明:
由题已知,所以是所折成的直二面角的平面角,
即,从而平面.
因为
所以从而平面.
可得.
(2).设,由
(1)知平面.
过点作于,连结,则是在平面内的射影,
由平面可得。
所以是二面角的平面角。
由题设知。
所以,
从而,又。
所以。
即二面角的正弦值
22(Ⅰ)解:
由于,而弦心距,所以.
所以为的中点.故以为直径的圆的方程为.
(Ⅱ)解:
把直线即.代入圆的方程,消去,整理得.
由于直线交圆于两点,故,即-4a>0,解得.则实数的取值范围是.
设符合条件的实数存在,由于垂直平分弦,故圆心必在上.所以的斜率,而,所以.
由于,
故不存在实数,使得过点的直线垂直平分弦
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