高三数学第一轮复习单元讲座 第12讲 空间中的夹角和距离教案 新人教版Word文件下载.docx

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]和[0°

，180°

]。

（1）两条异面直线所成的角

先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；

通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。

（2）直线和平面所成的角

“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”。

（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的

解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。

通常的作法有：

（Ⅰ）定义法；

（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；

（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos＝，其中S为斜面面积，S′为射影面积，为斜面与射影面所成的二面角。

3．等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

推论：

如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

四．典例解析

题型1：

直线间的距离问题

例1．已知正方体的棱长为1，求直线DA'

与AC的距离。

解法1：

如图1连结A'

C'

，则AC∥面A'

D'

，

连结DA'

、DC'

、DO'

，过O作OE⊥DO'

于E

因为A'

⊥面BB'

D，所以A'

⊥OE。

又O'

D⊥OE，所以OE⊥面A'

D。

因此OE为直线DA'

在Rt△OO'

D中，，可求得

点评：

此题是异面直线的距离问题：

可作出异面直线的公垂线。

解法2：

如图2连接A'

、B'

C、AB'

A'

，得到分别包含DA'

和AC的两个平面A'

D和平面AB'

C，

又因为A'

∥AC，A'

D∥B'

C，所以面A'

D∥面AB'

C。

故DA'

与AC的距离就是平面A'

C的距离，连BD'

分别交两平面于两点，易证是两平行平面距离。

不难算出，所以，所以异面直线BD与之间的距离为。

若考虑到异面直线的公垂线不易做出，可分别过两异面直线作两平面互相平行，则异面直线的距离就是两平面的距离。

题型2：

线线夹角

例2．如图1，在三棱锥S—ABC中，

，，，，求异面直线SC与AB所成角的余弦值。

图1

用公式

当直线平面，AB与所成的角为，l是内的一条直线，l与AB在内的射影所成的角为，则异面直线l与AB所成的角满足。

以此为据求解。

由题意，知平面ABC，，由三垂线定理，知，所以平面SAC。

因为

，由勾股定理，得

。

在中，，在中，。

设SC与AB所成角为，则，

平移

过点C作CD//BA，过点A作BC的平行线交CD于D，连结SD，则是异面直线SC与AB所成的角，如图2。

又四边形ABCD是平行四边形。

由勾股定理，得：

图2

在中，由余弦定理，得：

若不垂直，可经过如下几个步骤求解：

（1）恰当选点，作两条异面直线的平行线，构造平面角；

（2）证明这个角（或其补角）就是异面直线所成角；

（3）解三角形（常用余弦定理），求出所构造角的度数。

题型3：

点线距离

例3．（xx京皖春，15）正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图所示）.M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为。

解析：

过M作MO⊥EF，交EF于O，则MO⊥平面BCFE.

如图所示，作ON⊥BC，设OM=x，

又tanMBO=，∴BO=2x

又S△MBE=BE·

MB·

sinMBE=BE·

ME

S△MBC=BC·

sinMBC=BC·

MN

∴ME=MN，而ME=，MN=，解得x=。

该题较典型的反映了解决空间几何问题的解题策略：

化空间问题为平面问题来处理。

题型4：

点面距离

例4．（xx福建理，18）如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2。

（Ⅰ）求证：

AO⊥平面BCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；

（Ⅲ）求点E到平面的距离。

（1）证明：

连结OC。

∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD。

∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD。

在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=。

而AC=2，∴AO2+CO2=AC2,

∴∠AOC=90°

即AO⊥OC。

∴AB平面BCD。

（Ⅱ）解：

取AC的中点M,连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC。

∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。

在△OME中，

是直角△AOC斜边AC上的中线，∴

∴

∴异面直线AB与CD所成角的大小为

（Ⅲ）解：

设点E到平面ACD的距离为h.

∴·

S△ACD=·

AO·

S△CDE.

在△ACD中，CA=CD=2,AD=,

∴S△ACD=

而AO=1,S△CDE=

∴h=

∴点E到平面ACD的距离为。

本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

题型5：

线面距离

例5．斜三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为4cm的正三角形，侧棱AA1与底面两边AB、AC均成600的角，AA1=7。

（1）求证：

AA1⊥BC；

（2）求斜三棱柱ABC—A1B1C1的全面积；

（3）求斜三棱柱ABC—A1B1C1的体积；

（4）求AA1到侧面BB1C1C的距离。

设A1在平面ABC上的射影为0。

∵∠A1AB=∠A1AC，∴O在∠BAC的平行线AM上。

∵△ABC为正三角形，∴AM⊥BC。

又AM为A1A在平面ABC上的射影，∴A1A⊥BC

（2）

∵B1B∥A1A，∴B1B⊥BC，即侧面BB1C1C为矩形。

∴

又

，∴S全=

（3）∵cos∠A1AB=cos∠A1AO·

cos∠OAB，∴cos∠A1AO=

∴sin∠A1AO=，∴A1O=A1Asin∠A1AO=

（4）把线A1A到侧面BB1C1C的距离转化为点A或A1到平面BB1C1C的距离

为了找到A1在侧面BB1C1C上的射影，首先要找到侧面BB1C1C的垂面

设平面AA1M交侧面BB1C1C于MM1

∵BC⊥AM，BC⊥A1A

∴BC⊥平面AA1M1M

∴平面AA1M1M⊥侧面BCC1B1

在平行四边形AA1M1M中

过A1作A1H⊥M1M，H为垂足

则A1H⊥侧面BB1C1C

∴线段A1H长度就是A1A到侧面BB1C1C的距离

线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得，体积法不用得到垂线。

题型6：

线面夹角

例6．（xx浙江理，17）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC,∠BAD=90°

PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点。

PB⊥DM;

（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值。

（

）因为是的中点，，所以。

因为平面，所以，

从而平面.

因为平面，所以.

）取的中点，连结、，则，

所以与平面所成的角和与平面所成的角相等。

因为平面，所以是与平面所成的角。

在中，。

本题主要考查几何体的概念、线面夹角、两平面垂直等。

能力方面主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

题型7：

面面距离

例7．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：

平面A1BC1∥平面ACD1；

（2）求

（1）中两个平行平面间的距离；

（3）求点B1到平面A1BC1的距离。

由于BC1∥AD1，则BC1∥平面ACD1，

同理，A1B∥平面ACD1，则平面A1BC1∥平面ACD1。

（2）解：

设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离。

易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，则cosA1BC1=，则sinA1BC1=，则S=。

由于，则S·

d=·

BB1，代入求得d=，即两平行平面间的距离为。

（3）解：

由于线段B1D1被平面A1BC1所平分，则B1、D1到平面A1BC1的距离相等，则由

（2）知点B1到平面A1BC1的距离等于。

立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来。

在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面。

这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了。

题型8：

面面角

例8．（xx四川理，19）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，。

面；

（Ⅱ）求二面角的大小。

（Ⅲ）求三棱锥的体积。

（Ⅰ）证明：

取的中点，连结

∵分别为的中点，

∵，∴面，面

∴面面∴面

（Ⅱ）设为的中点

∵为的中点∴∴面

作，交于，连结，则由三垂线定理得。

从而为二面角的平面角。

在中，

，从而

，故二面角的正切值为。

（Ⅲ）

作，交于，由面得，

∴面，

∴在中，

求角和距离的基本步骤是作、证、算。

此外还要特别注意融合在运算中的推理过程，推理是运算的基础，运算只是推理过程的延续。

如求二面角，只有根据推理过程找到二面角后，进行简单的运算，才能求出。

因此，求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系的论证。

五．思维总结

空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．

1．空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈（0，），直线与平面所成的角θ∈，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈（0，π）。

对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．

（1）求异面直线所成的角，一般是平移转化法。

方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；

或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角θ，构造一个含θ的三角形，解三角形即可。

方法二是补形法：

将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ。

（2）求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。

（3）求二面角，一般有直接法和间接法两种。

所谓直接法求二面角，就是作出二面角的平面角来解。

其中有棱二面角作平面角的方法通常有：

①根据定义作二面角的平面角；

②垂面法作二面角的平面角；

③利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；

无棱二面角先作出棱后同上进行。

间接法主要是投影法：

即在一个平面α上的图形面积为S，它在另一个平面β上的投影面积为S′，这两个平面的夹角为θ，则S′=Scosθ。

如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；

求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；

而求二面角α－l－β的平面角（记作θ）通常有以下几种方法：

（1）根据定义；

（2）过棱l上任一点O作棱l的垂面γ，设γ∩α＝OA，γ∩β＝OB，则∠AOB＝θ（图1）；

（3）利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面α内一点A，分别作另一个平面β的垂线AB（垂足为B）,或棱l的垂线AC（垂足为C），连结AC，则∠ACB＝θ或∠ACB＝π－θ（图2）；

（4）设A为平面α外任一点，AB⊥α，垂足为B，AC⊥β，垂足为C，则∠BAC＝θ或∠BAC＝π－θ（图3）；

（5）利用面积射影定理，设平面α内的平面图形F的面积为S，F在平面β内的射影图形的面积为S'

，则cosθ＝.

图1图2图3

2．空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．

求距离的一般方法和步骤是：

一作——作出表示距离的线段；

二证——证明它就是所要求的距离；

三算——计算其值．此外，我们还常用体积法求点到平面的距离．

求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：

①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置.

②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；

求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理.

③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：

根据定义或图形特征作；

根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线.解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；

作棱的垂面。

作二面角的平面角应把握先找后作的原则.此外在解答题中一般不用公式“cosθ＝”求二面角否则要适当扣分。

④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质.而间接法中常用的是等积法及转移法.

⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离

求距离的关键是化归。

即空间距离与角向平面距离与角化归，各种具体方法如下：

（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形。

（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；

或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法。

2019-2020年高三数学第一轮复习单元讲座第13讲直线圆的方程教案新人教版

1．直线与方程

（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；

（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

（3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；

2．圆与方程

回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。

直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；

圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。

预测xx年对本讲的考察是：

（1）2道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向；

（2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程。

1．倾斜角：

一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为。

2．斜率：

当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan;

当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。

过两点p1（x1,y1）,p2（x2,y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式:

k=tan（若x1＝x2，则直线p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。

4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。

确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。

名称

方程

说明

适用条件

斜截式

y=kx+b

k——斜率

b——纵截距

倾斜角为90°

的直线不能用此式

点斜式

y-y0=k（x-x0）

（x0，y0）——直线上

已知点，k——斜率

两点式

=

（x1，y1），（x2，y2）是直线上两个已知点

与两坐标轴平行的直线不能用此式

截距式

+=1

a——直线的横截距

b——直线的纵截距

过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式

一般式

Ax+By+C=0

，，分别为斜率、横截距和纵截距

A、B不能同时为零

直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x轴）的直线；

两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；

截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。

5．圆的方程

圆心为，半径为r的圆的标准方程为：

特殊地，当时，圆心在原点的圆的方程为：

圆的一般方程

，圆心为点，半径，其中。

二元二次方程

，表示圆的方程的充要条件是：

①、项项的系数相同且不为0，即；

②、没有xy项，即B=0；

③、。

直线的倾斜角

例1．（1995全国，5）图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）

A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2

C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2

答案：

D

直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k2＞k3＞0，因此k2＞k3＞k1，故应选D。

本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力。

例2．过点P（2，1）作直线分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，求的值最小时直线的方程。

解析：

依题意作图，设∠BAO＝，

则

当，即时的值最小，此时直线的倾斜角为135°

∴斜率。

故直线的方程为，即。

求直线方程是解析几何的基础，也是重要的题型。

解这类题除用到有关概念和直线方程的五种形式外，还要用到一些技巧。

斜率公式及应用

例3．

（1）（05年江西高考）设实数x，y满足

，则的最大值是___________。

（2）（1997全国文，24）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C、D两点。

（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上。

（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标。

（1）如图，实数x，y满足的区域为图中阴影部分（包括边界），而表示点（x，y）与原点连线的斜率，则直线AO的斜率最大，其中A点坐标为，此时，所以的最大值是。

点评：

本题还可以设，则，斜率k的最大值即为的最大值，但求解颇费周折。

（2）证明：

设A、B的横坐标分别为x1，x2，由题设知x1＞1，x2＞1，点A（x1，log8x1），B（x2，log8x2）.

因为A、B在过点O的直线上，所以，

又点C、D的坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）

由于log2x1＝＝3log8x1，log2x2＝＝3log8x2，

所以OC的斜率和OD的斜率分别为

由此得kOC＝kOD，即O、C、D在同一条直线上。

由BC平行于x轴，有log2x1＝log8x2，解得x2＝x13

将其代入，得x13log8x1＝3x1log8x1.

由于x1＞1，知log8x1≠0，故x13＝3x1，x1＝，于是点A的坐标为（，log8）.

本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力。

例4．（05年全国高考）当时，函数

的最小值是（）

A．2B．

C．4D．

原式化简为

，则y看作点A（0，5）与点的连线的斜率。

因为点B的轨迹是

即

过A作直线，代入上式，由相切（△＝0）可求出，由图象知k的最小值是4，故选C。

也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。

但将问题转化为直线与椭圆的位置关系使问题解