二次函数压轴题解题思路 含答案.docx
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二次函数压轴题解题思路 含答案.docx
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二次函数压轴题解题思路含答案
二次函数压轴题解题思路
一.基础知识
1会求解析式?
2.会利用函数性质和图像?
3.相关知识:
如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。
图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。
一些方法:
如相似、三角函数、解方程。
一些转换:
如轴对称、平移、旋转
二.典型例题
(一)面积类
1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长.
(3)在
(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?
若存在,求m的值;若不存在,说明理由.
考点:
二次函数综合题.
专题:
压轴题;数形结合.
分析:
(1)已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.
(2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式,已知点M的横坐标,代入直线BC、抛物线的解析式中,可得到M、N点的坐标,N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长.
(3)设MN交x轴于D,那么△BNC的面积可表示为:
S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?
OB,MN的表达式在
(2)中已求得,OB的长易知,由此列出关于S△BNC、m的函数关系式,根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值.
解答:
解:
(1)设抛物线的解析式为:
y=a(x+1)(x﹣3),则:
a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1;
∴抛物线的解析式:
y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3.
(2)设直线BC的解析式为:
y=kx+b,则有:
,
解得;
故直线BC的解析式:
y=﹣x+3.
已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3);
∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3).
(3)如图;
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?
OB,
∴S△BNC=(﹣m2+3m)?
3=﹣(m﹣)2+(0<m<3);
∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为.
2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标.
考点:
二次函数综合题..
专题:
压轴题;转化思想.
分析:
(1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可.
(2)首先根据抛物线的解析式确定A点坐标,然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置,由此确定圆心坐标.
(3)△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示,若要它的面积最大,需要使h取最大值,即点M到直线BC的距离最大,若设一条平行于BC的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点M.
解答:
解:
(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得:
0=16a﹣×4﹣2,即:
a=;
∴抛物线的解析式为:
y=x2﹣x﹣2.
(2)由
(1)的函数解析式可求得:
A(﹣1,0)、C(0,﹣2);
∴OA=1,OC=2,OB=4,
即:
OC2=OA?
OB,又:
OC⊥AB,
∴△OAC∽△OCB,得:
∠OCA=∠OBC;
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°,
∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径;
所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:
(,0).
(3)已求得:
B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:
y=x﹣2;
设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:
y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:
x+b=x2﹣x﹣2,即:
x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0;
∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4;
∴直线l:
y=x﹣4.
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有:
,解得:
即M(2,﹣3).
过M点作MN⊥x轴于N,
S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.
(二)周长类
3.如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(﹣3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;
(4)在
(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?
若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.
考点:
二次函数综合题..
专题:
压轴题.
分析:
(1)根据抛物线y=经过点B(0,4),以及顶点在直线x=上,得出b,c即可;
(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),利用图象上点的性质得出x=5或2时,y的值即可.
(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,求出解析式,当x=时,求出y即可;
(4)利用MN∥BD,得出△OMN∽△OBD,进而得出,得到ON=,进而表示出△PMN的面积,利用二次函数最值求出即可.
解答:
解:
(1)∵抛物线y=经过点B(0,4)∴c=4,
∵顶点在直线x=上,∴﹣=﹣=,∴b=﹣;
∴所求函数关系式为;
(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴AB=,
∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5,
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),
当x=5时,y=,
当x=2时,y=,
∴点C和点D都在所求抛物线上;
(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,
则,解得:
,∴,
当x=时,y=,∴P(),
(4)∵MN∥BD,
∴△OMN∽△OBD,
∴即得ON=,
设对称轴交x于点F,
则(PF+OM)?
OF=(+t)×,
∵,
S△PNF=×NF?
PF=×(﹣t)×=,
S=(﹣),
=﹣(0<t<4),
a=﹣<0∴抛物线开口向下,S存在最大值.
由S△PMN=﹣t2+t=﹣(t﹣)2+,
∴当t=时,S取最大值是,此时,点M的坐标为(0,).
(三)平行四边形类
4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)、B(0,﹣3),点P是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t.
(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.
(2)若点P在第四象限,连接AM、BM,当线段PM最长时,求△ABM的面积.
(3)是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
考点:
二次函数综合题;解一元二次方程-因式分解法;待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;三角形的面积;平行四边形的判定..
专题:
压轴题;存在型.
分析:
(1)分别利用待定系数法求两函数的解析式:
把A(3,0)B(0,﹣3)分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b,得到关于m、n的两个方程组,解方程组即可;
(2)设点P的坐标是(t,t﹣3),则M(t,t2﹣2t﹣3),用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长,即PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t,然后根据二次函数的最值得到
当t=﹣=时,PM最长为=,再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可;
(3)由PM∥OB,根据平行四边形的判定得到当PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,然后讨论:
当P在第四象限:
PM=OB=3,PM最长时只有,所以不可能;当P在第一象限:
PM=OB=3,(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3;当P在第三象限:
PM=OB=3,t2﹣3t=3,分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值.
解答:
解:
(1)把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=x2+mx+n,得
解得,所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3.
设直线AB的解析式是y=kx+b,
把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=kx+b,得,解得,
所以直线AB的解析式是y=x﹣3;
(2)设点P的坐标是(t,t﹣3),则M(t,t2﹣2t﹣3),
因为p在第四象限,
所以PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t,
当t=﹣=时,二次函数的最大值,即PM最长值为=,
则S△ABM=S△BPM+S△APM==.
(3)存在,理由如下:
∵PM∥OB,
∴当PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,
①当P在第四象限:
PM=OB=3,PM最长时只有,所以不可能有PM=3.
②当P在第一象限:
PM=OB=3,(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3,解得t1=,t2=(舍去),所以P点的横坐标是;
③当P在第三象限:
PM=OB=3,t2﹣3t=3,解得t1=(舍去),t2=,所以P点的横坐标是.
所以P点的横坐标是或.
5.如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到△A′B′O.
(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;
(2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍?
若存在,请求出P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在
(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?
并写出四边形PB′A′B的两条性质.
考点:
二次函数综合题..
专题:
压轴题.
分析:
(1)利用旋转的性质得出A′(﹣1,0),B′(0,2),再利用待定系数法求二次函数解析式即可;
(2)利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,得出一元二次方程,得出P点坐标即可;
(3)利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形,利用等腰梯形性质得出答案即可.
解答:
解:
(1)△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的,
又A(0,1),B(2,0),O(0,0),
∴A′(﹣1,0),B′(0,2).
方法一:
设抛物线的解析式为:
y=ax2+bx+c(a≠0),
∵抛物线经过点A′、B′、B,
∴,解得:
,∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2.
方法二:
∵A′(﹣1,0),B′(0,2),B(2,0),
设抛物线的解析式为:
y=a(x+1)(x﹣2)
将B′(0,2)代入得出:
2=a(0+1)(0﹣2),
解得:
a=﹣1,
故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣(x+1)(x﹣2)=﹣x2+x+2;
(2)∵P为第一象限内抛物线上的一动点,
设P(x,y),则x>0,y>0,P点坐标满足y=﹣x2+x+2.
连接PB,PO,PB′,
∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,
=×1×2+×2×x+×2×y,
=x+(﹣x2+x+2)+1,
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