完整版线性代数复习计算或应用题.docx
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完整版线性代数复习计算或应用题
一
21.设
线性无关,证明
,
,
也线性无关。
22.计算行列式
。
23.利用逆矩阵解矩阵方程
。
24.已知
,求a的值,使得
2。
25.求向量组
,
,
,
的秩和一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。
26.求矩阵A=
的特征值与特征向量。
27.讨论当取何值时,齐次线性方程组
有非零解,并在有非零解时求其通解。
参考答案:
21.如果
,
,
于是
,
由
线性无关知
此方程组只有零解
,因此
线性无关。
22.
=
=
=
=-
=-3
23.
故
24.
当a=0时,
2。
25.记
,
向量组的秩
.所以
是向量组的一个极大线性无关组,且
=
+
,
=
-
。
26.由特征方程
=0
得A的特征值
。
对于特征值
,解方程组
,
求得一个基础解系
,故A的属于
的全部特征向量为
,
为任意非零数。
对于特征值
,解方程组
,即
,
求得一个基础解系
,故A的属于
的全部特征向量为
,
为任意非零
数。
27.对增广矩阵作初等行变换得
当3时r(A)23方程组有非零解。
此时对应方程组为
,基础解系为
=(111)T,所求通解为
,k为任意常数。
二
21.设12为n阶方阵A的两个互不相等的特征值与之对应的特征向量分别为X1X2证明X1X2不是矩阵A的特征向量。
22.设函数
求方程f(x)=0的根。
23.解矩阵方程
。
24.若向量组
1(111)T
2(123)T
3(13t)T线性相关求
(1)t的值;
(2)将
3表示为
1和
2的线性组合。
25.求方程组
的一个基础解系和通解。
26.已知二次型f=2x1x2+2x2x3+2x3x1.
(1)求出二次型f的矩阵A的特征值;
(2)写出二次型f的标准形。
27.当取何值时方程组
有唯一解,并求解。
参考答案:
21.假设X1X2是矩阵A的属于特征向量,即A(X1X2)(X1X2)
因为AX1=1X1,AX22X2,
所以A(X1X2)AX1AX21X12X2,
消减(-1)X1(-2)X2=O
因为属于不同特征值的特征向量线性无关,所以X1,X2线性无关,
得-1=-2=0既=1=2,矛盾。
22.
,
得方程f(x)=0的根为x=±1,x=±2。
23.因为
所以
=
24.
(1)记
,因为
因为向量组
线性相关充分必要条件是
,所以当t5时向量组
线性相关)
(2)由x1
1x2
2
3因为增广矩阵
=
得方程组的解为x11x22从而
3
12
2。
25.
方程组的一个基础解系为X1(-7/21/21)T
方程组的通解XkX1(k为任意常数)。
26.
(1)二次型f的矩阵为
因为
所以A的特征值为λ1=λ2=-1,λ3=2。
(2)二次型f化为标准形为
27.对增广矩阵进行初等行变换得
当3或1时r(Ab)r(A)3方程组有唯一解;
当3时,解为
;当1时,解为
。
三
21.若Ak=O(k是正整数),求证:
(E-A)-1=E+A+A2+++++Ak-1。
22.计算行列式
。
23.
。
24.已知(123)
设AT求A及An
25.求向量组
,
,
,
的秩和一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。
26.求解线性方程组
的通解。
27.判断矩阵
是否可对角化?
若可对角化,求可逆矩阵使之对角化。
参考答案:
21.由Ak=O,得E-Ak=E-O=E,
而E-Ak=(E-A)(E+A+A2+++++Ak-1),
所以(E-A)(E+A+A2+++++Ak-1)=E,
因此(E-A)可逆,且(E-A)-1=E+A+A2+++++Ak-1
22.
=
=
=
=-
23.
=
=
24.T3(T是个数)
An(T)(T)(T)T(T)(T)(T)T(T)n1
25.记
,
=C,
所以向量组的秩
;
因为
是列向量组
的一个极大线性无关组,所以
是向量组
的一个极大线性无关组,(2分)
并且
,
。
26.对增广矩阵作初等行变换得
对应的方程组为
取x30,得方程组的一个特解为
(81302)T
取x31,得导出组
的一个基础解系
(1110)T,
所求方程组的通解为
,其中
为任意常数。
27.由
=0,
得A的特征值
,
。
对
,解方程组
,得其一个基础解系
;
对
,解方程组
,得其一个基础解系
;
因为矩阵A有两个线性无关的特征向量,所以A可相似对角化.
取
,则
=
=
。
四
21.设方程组:
,
,
,
,
.
证明方程组有解的充分必要条件是
。
22.计算行列式
。
23.设
满足AX=2X+B求X。
24.设
,
,
,
,
(1)验证
线性无关;
(2)将
用
线性表示。
26.求矩阵
的特征值和特征向量。
27.设
试讨论k为何值时,
(1))r(A)=1;
(2)r(A)=2;(3)r(A)=3。
参考答案:
21.方程组的增广矩阵
因为方程组有解的充分必要条件是r(Ab)r(A)。
所以方程组有解的充分必要条件是
。
22.
=
=10
=10
=20
=20
=160
23.(A2E)XB,因为
所以X(A2E)1B
24.记
,
因为
,或者
只有零解,所以
线性无关。
或因为
,所以
线性无关。
由
,
即
=
,
得惟一解:
.故
2
。
25.
方程组的一个基础解系为X1(1/2,0,-1/2,1)T
方程组的通解XkX1(k为任意常数)。
26.由
=0,
得A的特征值
(二重),
。
对
,将方程组
化简为
,
它的一个基础解系为
,
。
A的属于
的全部特征向量为
+
(
不全为零)。
对
,解方程组
,即
它的一个基础解系为
。
A的属于
的全部特征向量为
(
)。
27.
=B。
(1)当k=1时,B=
1;
(2)当k=-2时,B=
2;
(3)当
时,
,
3。
五
21.如果方阵A满足
,则A的特征值只有0或者1。
22.计算行列式
。
23.已知
其中
求
,A11。
24.设3阶方阵ABC满足方程C(2AB)A求矩阵A其中
。
25.求向量组
1(114)T
2(215)T
3(4,210)T
4(101)T的一个极大无关组并把其余向量用极大无关组线性表示。
26.已知二次型
.
(1)求出二次型f的
矩阵A的特征值;
(2)写出二次型f的标准形。
27.讨论a、b为何值时非齐次线性方程组
有无穷多解并求其通解。
参考答案:
21.设
为A的任一特征值,
为A的属于
的特征向量,即
,
所以
,
,而
,故
,得
=0或1,因此A的特征值只有0或者.
2
23.
,A=
A2.=PΛ2P-1=
=
A11=
=
=
=
24.(2CE)ACBCB=
,(2CE)可逆并且(2CE)1=
得A(2CE)1(CB)=
25.因为
所以向量组的秩r(
)2.因为
线性无关所以
是一个极大无关组
并且
32
2,
4
1
2。
26.二次型的矩阵为
因为
所以A的特征值为λ1=2,λ2=5,λ3=-1.
(2)二次型f的标准形为
27.对增广矩阵进行初等行变换得
当a2且b1时r(A)r(Ab)23方程组有无穷多组解
此时
对应的方程组为
取x30,得方程组的一个特解为
(310)T
取x31,得导出组
的一个基础解系
(211)T,
所求方程组的通解为
,其中
为任意常数。
六
21.设方阵A满足A2-3A+E=O,证明(A-2E)可逆,并求(A-2E)-1。
22.计算n阶行列式
。
23.解矩阵方程AXBX其中
。
24.求一个非零向量
,使得
与向量
,
都正交。
25.确定
的值,使方程组
有无穷多个解,求出它的通解。
26.求矩阵
的特征值及特征向量。
27.设
,
,
,
,
能否用
线性表示?
若能,表示法是否惟一?
参考答案:
21.由A2-3A+E=O可知A2-3A+2E=E,
即(A-2E)(A-E)=E,所以(A-2E)可逆,且(A-2E)-1=A-E
22.把第二列加到第一列,再把第三列加到第一列一直到把第n列加到第一列,得
=
=
23.由AXBX得(EA)XB
因为
所以
24.设
=
,由题意
,
,
即
方程组的基础解系为
.(2分)取
即可。
25.
当a=1时,R(A)R(A,b)1<3方程组有无穷多解。
当a=1时,(A,b)
取x2x30,得方程组的一个特解为
(100)T分别取x21,x30,和x20,x31,得导出组的一个基础解系
(-110)T,
(-101)T.方程组的通解为
,其中
为任意常数。
26.由特征方程
=0
得A的特征值
.
对于特征值
,解方程组
,即-
求得一个基础解系
,故A的属于
的全部特征向量为
,
为任意非零数。
对于特征值
,解方程组
,即-2
,
求得一个基础解系
,故A的属于
的全部特征向量为
,
为任意非零数。
27.由
,
即
=
,
得惟一解:
.
故
2
,(1分)且表示法惟一。
七
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- 完整版 线性代数 复习 计算 应用题