高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程104直线与圆锥曲线的位置关系课时练理082901119.docx
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高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程104直线与圆锥曲线的位置关系课时练理082901119
2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系课时练理
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90分钟
基础组
1.[2016·衡水二中预测]抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是( )
A.4B.3
C.4D.8
答案 C
解析 ∵y2=4x,∴F(1,0),l:
x=-1,过焦点F且斜率为的直线l1:
y=(x-1),与y2=4x联立,解得A(3,2),∴AK=4,∴S△AKF=×4×2=4.故选C.
2.[2016·枣强中学月考]已知双曲线-=1(a>0,b>0)上一点C,过双曲线中心的直线交双曲线于A,B两点,记直线AC,BC的斜率分别为k1,k2,当+ln|k1|+ln|k2|最小时,双曲线离心率为( )
A.B.
C.+1D.2
答案 B
解析 设点A(x1,y1),C(x2,y2),由于点A,B为过原点的直线与双曲线的交点,所以根据双曲线的对称性可得A,B关于原点对称,即B(-x1,-y1).则
k1·k2=·=,
由于点A,C都在双曲线上,故有
-=1,-=1,两式相减,得-=0,所以k1k2==>0.则+ln|k1|+ln|k2|=+ln(k1k2),对于函数y=+lnx(x>0)利用导数法可以得到当x=2时,函数y=+lnx(x>0)取得最小值.故当+ln|k1|+ln|k2|取得最小值时,k1k2==2,所以e==,故选B.
3.[2016·衡水二中猜题]斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点,则|AB|的最大值为( )
A.2B.
C.D.
答案 C
解析 设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由消去y,
得5x2+8tx+4(t2-1)=0.
Δ=(2t)2-5(t2-1)>0,即t2<5.
则x1+x2=-t,x1x2=.
∴|AB|=|x1-x2|=·
=·
=,
当t=0时,|AB|max=.
4.[2016·衡水二中一轮检测]直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A、B两点,且AB中点的横坐标为2,则k的值是________.
答案 2
解析 设A(x1,y1)、B(x2,y2),由
消去y得k2x2-4(k+2)x+4=0,
由题意得
∴即k=2.
5.[2016·冀州中学周测]已知两定点M(-1,0),N(1,0),若直线上存在点P,使|PM|+|PN|=4,则该直线为“A型直线”.给出下列直线,其中是“A型直线”的是________(填序号).
①y=x+1;②y=2;③y=-x+3;④y=-2x+3.
答案 ①④
解析 由题意可知,点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,其方程是+=1,
①把y=x+1代入+=1并整理得,7x2+8x-8=0,
∵Δ=82-4×7×(-8)>0,直线与椭圆有两个交点,
∴y=x+1是“A型直线”.
②把y=2代入+=1,得=-不成立,直线与椭圆无交点,∴y=2不是“A型直线”.
③把y=-x+3代入+=1并整理得,7x2-24x+24=0,Δ=(-24)2-4×7×24<0,∴y=-x+3不是“A型直线”.
④把y=-2x+3代入+=1并整理得,19x2-48x+24=0,∵Δ=(-48)2-4×19×24>0,∴y=-2x+3是“A型直线”.
6.[2016·冀州中学热身]已知焦点在y轴上的椭圆C1:
+=1经过点A(1,0),且离心率为.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)过抛物线C2:
y=x2+h(h∈R)上点P的切线与椭圆C1交于两点M、N,记线段MN与PA的中点分别为G、H,当GH与y轴平行时,求h的最小值.
解
(1)由题意可得
解得a=2,b=1,
所以椭圆C1的方程为+x2=1.
(2)设P(t,t2+h),由y′=2x,
得抛物线C2在点P处的切线斜率为k=y′|x=t=2t,
所以MN的方程为y=2tx-t2+h,
代入椭圆方程得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,
化简得4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.
又MN与椭圆C1有两个交点,故
Δ=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0,①
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点的横坐标为x0,则
x0==,
设线段PA中点的横坐标为x3=,
由已知得x0=x3,即=,②
显然t≠0,所以h=-,③
当t>0时,t+≥2,当且仅当t=1时取等号,此时h≤-3,不满足①式,故舍去;
当t<0时,(-t)+≥2,当且仅当t=-1时取等号,此时h≥1,满足①式.
综上,h的最小值为1.
7.[2016·枣强中学周测]已知圆O:
x2+y2=,直线l:
y=kx+m与椭圆C:
+y2=1相交于P、Q两点,O为原点.
(1)若直线l过椭圆C的左焦点,与圆O交于A、B两点,且∠AOB=60°,求直线l的方程;
(2)若△POQ的重心恰好在圆上,求m的取值范围.
解
(1)左焦点坐标为F(-1,0),设直线l的方程为y=k(x+1),由∠AOB=60°,得圆心O到直线l的距离d=,又d=,∴=,解得k=±.
∴直线l的方程为y=±(x+1).
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由
得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
由Δ>0得1+2k2>m2①,且x1+x2=-.
∵△POQ的重心恰好在圆x2+y2=上,
∴(x1+x2)2+(y1+y2)2=4,
即(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4,
即(1+k2)(x1+x2)2+4km(x1+x2)+4m2=4.
∴-+4m2=4,
化简得m2=,
代入①式得2k2>0,∴k≠0,
又m2==1+=1+.
∵k≠0,∴m2>1,∴m>1或m<-1.
8.[2016·冀州中学预测]已知F1、F2是双曲线x2-=1的两个焦点,离心率等于的椭圆E与双曲线x2-=1的焦点相同,动点P(m,n)满足|PF1|+|PF2|=10,曲线M的方程为+=1.
(1)求椭圆E的方程;
(2)判断直线mx+ny=1与曲线M的公共点的个数,并说明理由;当直线mx+ny=1与曲线M相交时,求直线mx+ny=1截曲线M所得弦长的取值范围.
解
(1)∵F1、F2是双曲线x2-=1的两个焦点,
∴不妨设F1(-4,0),F2(4,0).
∵椭圆E与双曲线x2-=1的焦点相同,
∴设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),
根据已知得解方程组得
∴椭圆E的方程为+=1.
(2)∵动点P(m,n)满足|PF1|+|PF2|=10,
∴P(m,n)是椭圆E上的点.∴+=1.
∵+≤+=,∴m2+n2≥9.
∵曲线M是圆心为(0,0),半径r=的圆,
圆心(0,0)到直线mx+ny=1的距离d=≤<,∴直线mx+ny=1与曲线M有两个公共点.
设直线mx+ny=1截曲线M所得弦长为l,则l=2.
∵+≤+=1,
∴m2+n2≤25.∴9≤m2+n2≤25.
∴≤≤,∴≤2-≤.
∴≤≤.
∴≤l≤.
∴直线mx+ny=1截曲线M所得弦长的取值范围为.
9.[2016·衡水二中期中]如图所示,已知抛物线C:
y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A,B两点.
(1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;
(2)若线段|AB|=20,求直线l的方程.
解
(1)由已知得焦点坐标为F(1,0).因为线段AB的中点在直线y=2上,所以直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),
则由得
(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),所以2y0k=4.
又y0=2,所以k=1,故直线l的方程是y=x-1.
(2)设直线l的方程为x=my+1,与抛物线方程联立得消元得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,Δ=16(m2+1)>0.
|AB|=|y1-y2|
=·
=·=4(m2+1).
所以4(m2+1)=20,解得m=±2,
所以直线l的方程是x=±2y+1,
即x±2y-1=0.
10.[2016·枣强中学模拟]已知点A、B的坐标分别是(-1,0)、(1,0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-2.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C、D两点,且N为线段CD的中点,求直线l的方程.
解
(1)设M(x,y).
因为kAM·kBM=-2,所以·=-2(x≠±1),
化简得2x2+y2=2(x≠±1),即为动点M的轨迹方程.
(2)设C(x1,y1),D(x2,y2).
当直线l⊥x轴时,直线l的方程为x=,则C,D,此时线段CD的中点不是点N,不合题意.
故设直线l的方程为y-1=k.
将C(x1,y1),D(x2,y2)代入2x2+y2=2(x≠±1),得
2x+y=2,①
2x+y=2.②
①-②整理得k==-=-=-1.
所以直线l的方程为y-1=-,
即2x+2y-3=0.
11.[2016·衡水二中期末]已知定点G(-3,0),S是圆C:
(x-3)2+y2=72上的动点,SG的垂直平分线与SC交于点E,设点E的轨迹为M.
(1)求M的方程;
(2)是否存在斜率为1的直线l,使得l与曲线M相交于A,B两点,且以AB为直径的圆恰好经过原点?
若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
解
(1)由题意,知|EG|=|ES|,∴|EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6,
又|GC|=6<6,∴点E的轨迹是以G,C为焦点,长轴长为6的椭圆.
故动点E的轨迹M的方程为+=1.
(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆M相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其方程为y=x+m,
由消去y,化简得3x2+4mx+2m2-18=0.
∵直线l与椭圆M相交于A,B两点,
∴Δ=16m2-12(2m2-18)>0,
化简得m2<27,解得-3 ∴x1+x2=-,x1x2=. ∵以线段AB为直径的圆恰好经过原点, ∴·=0,∴x1x2+y1y2=0, 又y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2, ∴x1x2+y1y2=2x1x2+m(x1+x2)+m2=-+m2=0, 解得m=±2,由于±2∈(-3,3), ∴符合题意的直线l存在,所求的直线l的方程为 y=x+2或y=x-2. 12.[2016·武邑中学猜题]已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,F为椭圆在x轴正半轴上的焦点,M,N两点在椭圆C上,且=λ(λ>0),定点A(-4,0). (1)求证: 当λ=1时,⊥; (2)若当λ=1时有·=,求椭圆C的方程; (3)在 (2)的条件下,M,N两点在椭圆C上运动,当··tan∠MAN的值为6时,求出直线MN的方程. 解 (1)证明: 设M(x1,y1),N(x2,y2),F(c,0), 则=(c-x1,-y1),=(x2-c,y2), 当λ=1时,=,∴-y1=y2,x1+x2=2c, 由M,N两点在椭圆上, ∴x=a2,x=a2,∴x=x. 若x1=-x2,则x1+x2=0≠2c(舍去), ∴x1=x2, ∴=(0,2y2),=(c+4,0),·=0, ∴⊥. (2)当λ=1时,不妨设M,N, ∴·=(c+4)2-=,∵=. ∴a2=c2,b2=, ∴c2+8c+16=, ∴c=2,a2=6,b
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