中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案docWord文档下载推荐.docx
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5、图G屮,与顶点v关联的边数称为点v的度数,记作deg(v)0
6、在实数集上,普通加法和普通乘法不是可结合运算。
7、对于任何一命题公式,都存在与其等价的析取范式和合取范式。
8、设(A,*)是代数系统,aeA,如果a*a=a,则称a为(A,*)的等幕元。
9、设f:
A-B,g:
B->
Co若f,g都是双射,则gf不是双射。
10、无向图的邻接矩阵是对称阵。
11、一个集合不可以是另一个集合的元素。
12、映射也可以称为函数,是一种特殊的二元关系。
13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。
14、<
{0,l,2,3,4},MAX,MIN>
是格。
15、树一定是连通图。
16、单位元不是可逆的。
17、一个命题可赋予一个值,称为真值。
18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。
19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。
20、设f:
B-C。
若f,g都是满射,则gof不是满射。
21、集合{1,2,3,3}和{1,2,3}是同一集合。
22、零元是不可逆的。
23、一般的,把与n个个体相关联的谓词叫做一元谓词。
24、“我正在说谎。
”不是命题。
25、用A表示“是个大学生”,c表示“张三”,则A(c):
张三是个大学生。
26、设F={<
3,3>
<
6,2>
},则F1={<
6,3>
2,6>
}。
27、欧拉图是有欧拉冋路的图。
28、设f:
B-Co若f,g都是单射,则gof也是单射。
三、计算题(每题10分,共40分)
1、设A={c,d},B={0,l,2},则计算AXB,BXA。
2、A={a,b,c},B={1,2},计算AXB。
A={a,b,c},计算AXAo
4、符号化命题“如果2大于3,则2大于4。
”o
5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。
6、符号化命题“2是素数且是偶数”。
7、设A={a,b,c,d},R是A的二元关系,定义为:
R={<
a,a>
a,b>
b,a>
?
c,b>
<
c,a>
d,c>
d,b>
d,a>
},写出A上二元关系R的关系矩阵。
8、设A={1,2,3,4},R是A的二元关系,定义为:
R={<
1,1>
1,2>
2,1>
3,2>
3,1>
4,3>
4,2>
4,1>
},写111AJt二兀关系R的关系矩阵。
9、设有向图G如下所示,求各个结点的出度、入度和度数。
VI
OV2
V4
10、设有向图G如下所示,求各个结点的出度.入度和度数。
v4
v5
11、
设无向图G如下所示,求它的邻接矩阵。
12、
求命题公式=(pAqq)的真值表。
13、
设<
2x+y,5>
=<
10,x—3y>
求x,y°
14、R1、R2是从{1,2,3,4,5}到{2,4,6}的关系,若R1={<
3,4>
5,6>
},R2={<
1,4>
},计算domRl,ranRl,fldRl,domR2,ranR2,fldR2o
15、例:
设A={1,2,3,4,5},B={3,4,5},C={1,2,3},A到B的关系R={<
x,y>
|x+y=6},B到C的关系S={<
y,z>
|y—z=2},求RoS。
16、集合A={a,b,c},B={1,2,3,4,5},R是A上的关系,S是A到B的关系。
a,a>
a,c>
b,b>
vc,b>
c,c>
},S={<
a,1>
a,4>
b,2>
c,4>
c,5>
},求R°
S>
S~loR_117、A={1,2,3,4,5,6},D是整除关系,画出哈斯图并求出最小元.最大元.极小元和极
大元。
设集合A={a,b,c},A上的关系R={<
b,c>
},求R的自反、对称、传递闭包。
19、求下图屮顶点vO与v5Z间的最短路径。
20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图屮二叉树点的访问次序。
四、证明题(每题10分,共20分)
1、若R和S都是非空集A上的等价关系,证明RCS是A上的等价关系。
2、证明苏格拉底论证:
凡人要死。
苏格拉底是人,苏格拉底要死。
3、P->
Q,-|QVR,nR,qSvs
4、在群<
G,*>
中,除单位元e夕卜,不可能有别的幕等元。
5、设R和S是二元关系,证明:
(RCS)—RSs"
6、证明:
((QAS)->
R)A(S-*(PVR))=(SA(P->
Q))^R.
7^设I是整数集合,k是正整数,I上的关系R={<
|x,yeI,且x—y可被k整除},证明R是等价关系。
8、证明((pfq)-*r)o((-]qAp)Vr)
9、证明(PVQ)A(P-*R)A(Q->
S)=>
SVR
10>
证明nQ,QV-]R,RAnS=>
-]P
11、证(Vx)(P(x)VQ(x))=>
-|(Vx)P(x)->
(3x)Q(x)
12、证明定理:
G,。
>
是群,对于任意a,bWG,则方程c^x-b与丫。
°
"
在群内有唯一解。
《离散数学》复习题参考答案
一、填空题(每空1分,共20分)
1、集合A上的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传递性。
2、一个集合的幕集是指该集合所有了集的集合。
3、集合A={b,c},B={a,b,c,d,c},则AUB={a,b,c,d,c}o
4、集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9},则ACIB斗1,3人
5、若A是2元集合,则2人有土个元素。
6、集合A={1,2,3},A上的二元运算定义为:
a*b=a和b两者的最大值,则2*3=丄。
7、设A={a,b,c,d},则丨A丨=4。
8、对实数的普通加法和乘法,是加法的幕等元,是乘法的幕等元。
9、设a,b,c是阿贝尔群<G,+>的元素,则・(a+b+c)=(・a)+(・b)+(・c)。
10、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路。
11、不能再分解的命题称为原子命题,至少包含一个联结词的命题称为复合命题。
12、命题是能够表达判断(分辩其真假)的陈述语句。
13、如果p表示王强是一名大学生,则「D表示上强不是一名人学生。
14、与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。
15、量词分两种:
全称量词和存在量词。
16、设A、B为集合,如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集。
17、集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元。
18、设A={a,b},则p(A)的四个元素分别是:
空集,la},血,仏bh
19、代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统。
20、设<L,*i,*2>是代数系统,其中是笃上二元运算符,如果都满足交换律、结合律,并且*1和笃满足吸收律,贝I」称<L,*|,*2>是格。
21、集合A={a,b,c,d},B={b},则A\a,c,d
22、设A={1,2},则丨AI=2_o
23在有向图屮,结点v的出度deg+(v)表示以v为起点的边的条数,入度deg-(v)表示以丫为终点的边的条数。
24、一个图的欧拉回路是一条通过图屮所有边一次且恰好一次的回路。
25、不含回路的连通图是植。
26、不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。
27、推理理论中的四个推理规则是全称指定规则(US规则)、全称推广规则(UG规则)、#在指定规则(ES规则)、存在推广规则(EG规则)。
I、Vo2、Vo3、X。
4、Vo5、Vo6、Xo7、V。
8、J。
9、X。
10、V。
II、Xo12、Vo13、Xo14、Vo15、Vo16、Xo17、J。
18、V。
19、Xo
20、X。
21、V。
22、Vo23>X。
24、人25、J。
26、X。
27、J。
28、J。
4、集合{1,2,3,3}和{1,2,2,3}是同一集合。
5、图G屮,与顶点v关联的边数称为点v的度数,记作deg(v)o
B-Co若f,g都是双射,则gf不是双射。
14、<{0,1,2,3,4},MAX,MIN>是格。
19>任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。
20、设f:
B->Co若f,g都是满射,则gof不是满射。
21、集合{1,2,3,3}和{1,2,3}是同一集合。
25、用A表示“是个大学生”,c表示“张三”,则A(c):
26、设F={<
},则F1={<
}。
27、欧拉图是有欧拉回路的图。
B-*Co若f,g都是单射,则gof也是单射。
1、设A={c,d},B={0,l,2},则AXB={<
c,0>
c,1>
c,2>
d,0>
d,1>
d,2>
},BXA={<
0,c>
0,d>
l,c>
1,d>
2,c>
2,d>
2、A={a,b,c},B={1,2},AXB={a,b,c}X{1,2}={<
a,l>
b,l>
c,l>
a,2>
b,2>
}o
3、A={a,b,c},AXA={a,b,c}X{a,b,c}={<
a,c>
b,b>
c,a,>
c,c>
设L(x,y):
x大于y,a:
2,b:
3,c:
4,则命题符号化为L(a,b)—L(a,c)。
设F(x):
x是兔子。
G(x):
x是乌龟。
H(x,y):
x比y跑得快。
该命题符号化为:
-'
\/x\/y(F(x)
AG(y)->
H(x,y))0
x是素数。
x是偶数。
a:
2,则命题符号化为F(a)AG(a)o
7、设A={a,b,c,d},R是A的二元关系,定义为:
解:
R的关系矩阵为:
(1100)
1000
1100
11110丿
8、设A={1,2,3,4},R是A的二元关系,定义为:
deg(vl)=3,deg+(vl)=1,deg・(vl)=2;
deg(v2)=deg+(v4)=deg-(v2)=0;
deg(v3)=3,deg+(v3)=2,deg-(v3)=l;
dcg(v4)=2,dcg+(v4)=1,dcg-(v4)=1;
10、设有向图G如下所示,求各个结点的出度、入度和度数。
答:
dcg(vl)=3,dcg+(vl)=2,deg-(vl)=1;
deg(v2)=3,deg+(v2)=2,deg-(v2)=1;
deg(v3)=5,deg+(v3)=2,deg-(v3)=3;
deg(v4)=deg+(v4)=deg-(v4)=0;
dcg(v5)=l,dcg+(v5)=0,dcg-(v5)=1;
V1
v3
lk设无向图G如下所示,求它的邻接矩阵。
1
n
A(G)=
丿
12、求命题公式q)的真值表。
P
q
iq
pAnq
1(pA-1q)
i
13、设<
2x+y,5>
10,x—3y>
求x,y。
rti定理列出如下方程组:
]2x+y=10
[x-3y=5
求解得x=5,y=0o
14、R1、R2是从{1,2,3,4,5}到{2,4,6}的关系,若R1={<
3,4>
2,6>
},计算domRl,ranR1,fldRl,domR2,ranR2,fldR2。
domRl={l,3,5},ranRl={2,4,6},fldRl=domR1UranR1={1,2,3,4,5,6};
domR2={l,2},ranR2={4,6},fldR2=domR2UranR2={1,2,4,6}o
|y—z=2},求R°
S0
解:
1,5>
2,4>
3,3>
3,1>
5,3>
},从而R°
S={<
1,3>
2,2>
}或者因vl,5>
WR,<
es,所以<
l,3>
eR°
S;
S<
2,4>
eR,<
4,2>
eRoS;
因v3,3>
GR,<
3,l>
eRoS;
从而R<
1,3>
}
16、集合A={a,b,c},B={1,2,3,4,5},R是A上的关系,S是A到B的关系。
a,
c>
c,b>
S,S_,oR1
R°
a,5>
c,2>
(R°
S)'
1={<
1,a>
4,a>
5,a>
2,b>
2,c>
4,c>
5,c>
R1={<
c,a>
b,c>
},
S~1={<
S_I°
R_1={<
17、A={1,2,3,4,5,6},D是整除关系,画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极1是A的最小元,没有最大元,1是极小元,4、5、6都是A的极大元。
人兀。
18、设集合A={a,b,c},A上的关系R={<
r(R)={<
s(R)={<
}t(R)={<
19、求下图中顶点vO与v5之间的最短路径。
V17v3
如下图所示vO与v5之间的最短路径为:
vO,vl,v2,v4,v3,v5
最短路径值为1+2+1+3+2=9
20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。
先根遍历:
ABDEHCFIJGK中根遍历:
DBHEAIFJCGK后根遍历:
DHEBIJFKGCA
4.证明题(每题10分,共20分)
1.若R和S都是非空集A上的等价关系,证明RCS是A上的等价关系。
证明:
VaWA,因为R和S都是A上的等价关系,所以xRx且xSx。
故xRCSx。
从而
RCS是自反的。
Va,beA,aR^Sb,即aRb且aSb。
因为R和S都是A上的等价关系,所以bRa且bSa。
故bRCSa。
从而RCS是对称的。
Va,b,ceA,aRCSb且bRCSc,即aRb,aSb,bRc且bSc。
因为R和S都是A上的等价关系,所以aRc且aSc。
故aR^Sco从而RCS是传递的。
故RCS是A上的等价关系。
2、证明苏格拉底论证:
设:
H(x):
x是人oM(x):
x是要死的。
s:
苏格拉底。
本题要证明:
(Vx)(H(x)fM(x))/\H⑸=>M(s)
(1)
(Vx)(H(x)->
M(x))
(2)
H(s)fM(s)
US
(1)
(3)
H(s)
(4)
M(s)
(2)、(3)
3、
P-Q,iQV
R,-jR,
-]Svp=>
-
⑴
iR
前提
⑵
1QVR
⑶
iQ
(1),
⑷
P->
Q
(5)
(3),
⑹qSVp
⑺
1s
(5),
(6)
4、在群<G,*>中,除单位元e夕卜,不可能有别的幕等元。
因为e*e=e,所以e是幕等元。
设awG且a*a=a,则有a=e*a=(a"
*a)*a=a»
*(a*a)=a"
*a=e,即a=e0
(RCS)・1=R“CS-1
snbMSL
(pecans)-1=Ux)e(*nS)=((y.»
)Gfi)A(OM)eS)
=wS」)=fc^e^n/r1
所以
((Q/\S)->
R)/\(St(PVR))=(S/\(P->
Q))->
R.
左边:
R)A(S->
(PVR))
=(-](QAS)VR)A(qSV(PVR))
=(1QV-]SVR)A(nSVPVR)
=(-]QV-]SVR)A(-|SVPVR)
右边:
(SA(P->
R
=1(SA(-1PVQ))VR
=(-|SV(PAnQ))VR
=(-1QV-]SVR)A(-]SVPVR)
所以((QAS)->
R)A(S->
(PVR))=(SA(P->
7、设I是整数集合,k是正整数,I上的关系R={<
|x,yeI,且x—y可被k整除},证明R是等价关系。
(1)对任意的xeA,有x—x=0可被k整除。
所以<
x,x>
eR,即R具有自反性。
⑵对任意的x,yWA,<
丘R,即x—y可被k整除,设x—y=km,则y—x=—km,显然y—x可被k整除。
y,x>
eR,即R具有对称性。
(3)设x,y,z丘A,若<
WR,<
ER,即x—y可被k整除,y—z可被k整除,设x—y=km,y—z=kn,贝!
jx—z=k(m+n),即x—z可被k整除。
x,z>
丘R,即R具有传递性。
综上所述,R具有自反性、对称性和传递性,故R是等价关系。
8、证明:
(1)((pfq)fr)o((1qAp)Vr)
(2)p->
(q-*r)<
^>
n
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