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我很赞同曹亮吉教授的一个观点:
学数学学什么?
从实用性来说,算术以及一点点几何与代数。
从考试角度来说,就是背诵套用公式,做各种计算。
但如果换个角度看,万事万物无不隐藏数与形,以及数与形的模式。
把学习数学的眼界,从纯粹的数与形以及狭义的规则与定律,提升到隐藏于万事万物中的数与形,以及广义的规则与定律——模式。
数学不再是枯燥抽象的,再是似乎很有用、但不知用在哪里的知识。
经过发现、转化、解题、沟通及评析等种种步骤,把数学与生活以及其他学习领域合在一起,数学才能变得具体而有用。
数学知识可能用得少,但数学素养时时影响着我们。
科学精神和数学核心素养概念学生发展核心素养,是指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力,综合表现为9大素养,具体为社会责任、国家认同、国际理解;
人文底蕴、科学精神、审美情趣;
身心健康、学会学习、实践创新。
其中科学精神是指个体在学习、理解、运用科学知识和技能等方面表现的价值标准、思维方式和行为规范,包括三个方面:
1.崇尚真知。
重点是学习科学技术知识和成果;
掌握基本的科学方法;
有真理面前人人平等的意识等。
2.理性思维。
重点是尊重事实和证据,有实证意识和严谨的求知态度;
理性务实,逻辑清晰,能运用科学的思维方式认识事物、解决问题、规范行为等。
3.勇于探究。
重点是有百折不挠的探索精神;
能够提出问题、形成假设,并通过科学方法检验求证、得出结论等。
具体到数学核心素养,也是三个方面,六个关键词:
1:
用数学的眼光观察世界,发展数学抽象,直观想象素养。
2:
用数学的思维分析世界,发展逻辑推理,数学运算素养。
3:
用数学的语言表达世界,发展数学建模,数据分析素养。
数学核心素养是数学课程目标的集中体现。
问题是,考试高压使得教学的绝大多数时间都花在应试上,对学生素养的培养关注较少。
笔者认为,只要教师加以重视,选取合适的教学案例,采用探究的眼光,无需另外增加课时专门培养学生素养,在日常教学中完全可以逐步渗透。
二、通过案例理解素养 例1、数学抽象:
龟兔赛跑 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程。
主要包括:
从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征。
龟兔赛跑的故事,是大家很熟悉的。
兔子本来跑在前面,但于骄傲,路上睡了一觉,结果输给了乌龟。
作为文学作品来说,当然要大力渲染兔子的骄傲自满,乌龟的坚持不懈。
而从数学角度来看,则可抽象为下面的行程图。
文字转成图象,显得更加简洁直观。
但从具体到抽象,难免会丢失一些信息。
仅从行程图来看,我们可以编出另一个故事。
兔子原本跑在前面,在路上捡到一个钱包,坐等失主,结果眼睁睁地看着乌龟跑到前面去了。
内心挣扎啊,可兔子还是坚持等失主,虽然输了比赛,但一点都不后悔。
从正版的龟兔赛跑故事中,有人总结出:
前进速度虽然慢,但只要坚持不懈,是可以超越那些走走停停、没有毅力的对手的。
另外,像水滴石穿、愚公移山这些故事也充分表达了努力坚持的重要性。
而从数学角度看来,这些故事都可以用阿基米德原理来表述:
对于任意正实数a(a≠0)、b,必有自然数n,使na>
b。
例2、直观想象:
烟囱也懂微积分——正多边形如何逼近圆?
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题的过程。
借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;
利用图形描述、分析数学问题;
建立形与数的联系;
构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路。
一个正n边形,当边数越来越大,多边形越来越像一个圆。
正如刘徽的“割圆术”所述:
“割之弥细,所失弥少。
割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣。
” 如何向初学者解释,使之更深刻地理解这一点呢?
方式一、画出多个正n边形。
下图是给出n=5,8,14时的情景。
方式二、利用动态几何软件,或Flash等工具,作出动态图形。
也就是将n从小到大的图像动态化演示。
动态演示,很形象,但需要依靠计算机,没计算机就不好办了。
方法1虽然可以手工完成,但画一个正14边形也挺繁琐。
还有其他办法么?
有一天,我想到了烟囱。
造纸厂的大烟囱,大家都见过吧。
每一块砖是一个长方体,但从大的格局来看,不妨将之看作是一条直线段。
我们用这些砖围成一圈,按道理来说,围成的是一个正多边形。
但总体看起来,却极像一个圆。
烟囱很大,砖块很小。
每块砖的长度就相当于正n边形的边长,其中n就是围一圈所需的砖块数。
“以直代曲”是微积分中基本思想之一。
很少有人想到烟囱也懂微积分吧!
真是生活处处皆数学。
同时,本案例也提醒我们,眼见未必为实。
烟囱看似是圆,实则是正多边形。
例3、逻辑推理:
荒唐的乘法 逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。
主要包括两类:
一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比;
一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎。
课堂上,学生开小差,老师批评了他,老师说:
“就是因为你一个人,耽误了一分钟,全班50个人,就耽误了大家50分钟,你不觉得愧疚吗?
” 我不止一次看到有老师这样算账,也没有去思考这样计算是否合理。
直到有一天看新闻联播,一位播音员略微卡了一下,停顿了秒,我就想,此时若有一千万人在看电视,则耽误了这一千万观众的时间有10_*/3600/24≈天。
这个播音员罪过不小啊。
新闻联播默认是30分钟,有时新闻少,最后十几秒就播放播音员整理稿子的场景。
这样算起来更加恐怖,耽误了这一千万观众的时间有10_*10/3600/24≈1157天≈年。
诚然,公共场合,特别是央视这种大平台,小差错也会造成大的影响。
但这种影响很难量化,更不能如此简单的量化。
通过逻辑推理,我们发现老师批评学生耽误大家时间的算法,是存在问题的。
例4、数学运算:
负数运算与六尺巷 数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程。
理解运算对象,掌握运算法则,探究运算方向,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等。
清康熙年间,张英的老家人与邻居吴家在宅基的问题上发生了争执,因两家宅地都是祖上基业,时间又久远,对于宅界谁也不肯相让。
双方将官司打到县衙,又因双方都是官位显赫、名门望族,县官也不敢轻易了断。
于是张家人千里传书到京城求救。
张英收书后批诗一首云:
\一纸书来只为墙,让他三尺又何妨。
长城万里今犹在,不见当年秦始皇。
\张家人豁然开朗,退让了三尺。
吴家见状深受感动,也让出三尺,形成了一个六尺宽的巷子。
此事传为佳话,至今不绝,告诉我们做人做事要忍让包容。
联系数学则是,A和B原来挨在一起,A往一方向走了3尺,记为+3,B往相反方向走了3尺,记为-3,此时A和B相隔多远?
+3-(-3)=6。
此案例对理解负数运算较有帮助。
例5、数学建模:
两对父子三个人?
数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。
在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,求解结论,验证结果并改进模型,最终解决实际问题。
有一个经典谜语:
古时候,两对父子去打猎,每人都猎得一只老虎,回家数一数,总共只有三只虎。
为何?
原来的谜底很简单,就是爷爷、爸爸、儿子祖孙三代,爷爷和爸爸是一对父子,爸爸和儿子是一对父子。
这样两对父子就是三个人。
这个看似是脑筋急转弯的问题,如何用数学语言表达,并构建模型加以解决呢?
于虎与人是一一对应的关系,三只虎对应着三个人。
一对父子是两个人,另一对父子也是两个人,并在一起,变成了三个人。
说明这两个父子集合有重合因素。
设两对父子为:
父1、子1、父2、子2。
父1和子1构成父子1这个集合,父2和子2构成父子2这个集合,两个集合合并,只有3个元素,说明这两个集合当中有公共元素。
设父1=父2,则可推出这两对父子是:
一个爸爸+两兄弟儿子。
设父1=子2,则可推出这两对父子是:
爷爷、爸爸、儿子祖孙三代。
设子1=父2,则可推出这两对父子是:
设子1=子2,这种情况一般不存在,因为一个人不可能有两个爸爸。
如果是养父、岳父之类,就另当别论。
这样分析发现传统解答漏解。
使用集合进行讨论,则不重不漏,所有情况都包含在内。
这一过程也是数学建模的过程:
将非数学问题转化成数学问题,将数学问题转化成解方程的问题。
这样一来,“两对父子三个人”这样的脑筋急转弯问题和下面这道考题本质是一样的:
设A?
{2,4,a3?
2a2?
a?
7},B?
{?
4,a?
3,a2?
2a?
2,a3?
a2?
3a?
7},若 A?
B?
{2,5},则a?
___,A?
___。
例6、数据分析:
天之道,损有余而补不足——从老子到高尔顿数据分析是指针对研究对象获得相关数据,运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断,形成知识的过程。
收集数据,整理数据,提取信息,构建模型对信息进行分析、推断,获得结论。
老子有一句名言:
天之道,损有余而补不足;
人之道,损不足而益有余。
我的理解是,自然界的法则是减损多余的,补充不足的,平均化。
社会法则则相反,有的让其更多,没有的让其更少,差距增大。
譬如自然界削平高山,填平低谷,促成均衡;
而社会则是强者愈强,弱者愈弱,形成马太效应。
老子这一名言与数学有何关联呢?
需要引出高尔顿这个人物。
高尔顿研究范围很广,涉及包括人类学、地理、数学、力学、气象学、心理学、统计学等方面,称之为百科全书式的人物一点都不过分。
八卦一句,他是达尔文的表弟,深受其进化论思想的影响,把该思想引入到人类研究。
高尔顿很喜欢调查统计,并分析原因,从中找出规律。
譬如调查了30家有艺术能力的家庭,发现子女也有艺术能力的占64%;
而150家无艺术能力的家庭,其子女中只有21%有艺术能力,因此断言艺术能力这种“特殊能力”是遗传的。
当然高尔顿还有其他很多类似的统计,并不只是单单这一个。
在这些统计结果的基础上,高尔顿从遗传的角度研究个别差异形成的原因,开创了优生学。
父母个子高的,子女一般个子也高;
父母个子不高的,子女个子也不高。
这是我们普遍认可的一种看法。
若仅停留于此,也不足为奇。
高尔顿收集分析了400名家长和他们的900多名成年子女的身高,发表论文《遗传中身高的均值回归》,得出了结论:
当父母的身高大于平均水平时,他们的子女往往会比他们矮;
当父母的身高小于平均水平时,他们的子女往往会比他们高。
这项研究表明,上一代人身高差异较大,遗传之后身高差异将减少,也就是事物经过时间推移,将变得更平均、更稳定。
高尔顿因此提出了“均值回归”这个概念。
现在知道回归分析是怎么来的了吧。
从老子的损有余而补不足,到高尔顿的均值回归,思想上有相通之处。
相对于老子的宏观叙述,高尔顿充分利用数据分析的方法,使得结论更加有理有据。
数学核心素养虽划分为三个方面,六个关键词,但实则是一个整体。
用数学的眼光观察世界,即人从外界输入信息;
用数学的思维分析世界,即人处理信息;
用数学的语言表达世界,即人输出信息。
以上案例充分说明了,数学绝不仅等同于解题,数学与我们的学习、生活、工作息息相关。
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