哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一Word文件下载.docx
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(3)或;
(4);
(5)或;
3.一个工人生产了三件产品,以Ai(i1,2,3)表示第i件产品是正品,试用Ai表示下列事件:
(1)没有一件产品是次品;
(2)至少有一件产品是次品;
(3)恰有一件产品是次品;
(4)至少有两件产品不是次品。
解
(1)A
(2)(3)1A2A3A12A3A1A23;
1A2A3;
123;
(4)A1A2A1A3A2A3。
4.在电话号码中任取一个电话号码,求后面四个数字全不相同的概率。
解设A‘任取一电话号码后四个数字全不相同’,则
4P12610P(A)40.50410250
5.一批晶体管共40只,其中3只是坏的,今从中任取5只,求
(1)5只全是好的的概率;
(2)5只中有两只坏的的概率。
解
(1)设A‘5只全是好的’,则
5C37P(A)50.662;
C40
(2)设B‘5只中有两只坏的’,则
3C32C37P(B)0.0354.5C40
6.袋中有编号为1到10的10个球,今从袋中任取3个球,求
(1)3个球的最小号码为5的概率;
(2)3个球的最大号码为5的概率.
解
(1)设A‘最小号码为5’,则
C521P(A)3;
C1012
2·
(2)设B‘最大号码为5’,则
2C41P(B)3.C1020
7.
(1)教室里有r个学生,求他们的生日都不相同的概率;
(2)房间里有四个人,求至少两个人的生日在同一个月的概率.
解
(1)设A‘他们的生日都不相同’,则
rP365P(A);
r365
(2)设B‘至少有两个人的生日在同一个月’,则
21222321C4C12P4111C4C12C4P12C12P(B);
12496
或
4P4112P(B)1P()14.1296
8.设一个人的生日在星期几是等可能的,求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天,但不是都在同一天的概率.
解设A‘生日集中在一星期中的某两天,但不在同一天’,则
2C7(262)P(A)0.01107.76
9.将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机地排成一行,那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少?
解1设A‘恰好排成SCIENCE’
将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件,所有的排法:
2字母C在7个位置中占两个位置,共有C7种占法,字母E在余下的5个位
2置中占两个位置,共有C5种占法,字母I,N,C剩下的3个位置上全排列的方法
22共3!
种,故基本事件总数为C7C53!
1260,而A中的基本事件只有一个,
故
P(A)11;
2C7C523!
1260
解2七个字母中有两个E,两个C,把七个字母排成一排,称为不尽相异元素的全排列。
一般地,设有n个元素,其中第一种元素有n1个,第二种元素有n2个…,第k种元素有nk个(n1n2nkn),将这n个元素排成一排
3·
称为不尽相异元素的全排列。
不同的排列总数为
n!
,n1!
n2!
nk!
对于本题有
P(A)141.7!
7!
2!
10.从0,1,2,,9等10个数字中,任意选出不同的三个数字,试求下列事件的概率:
A1‘三个数字中不含0和5’,A2‘三个数字中不含0或5’,A3‘三个数字中含0但不含5’.
3C87解P(A1)3.C1015
333C9C9C814P(A2)333,C10C10C1015
1C814P(A2)1P
(2)13,C1015
C827P(A3)3.C1030
11.将n双大小各不相同的鞋子随机地分成n堆,每堆两只,求事件A‘每堆各成一双’的概率.
解n双鞋子随机地分成n堆属分组问题,不同的分法共
‘每堆各成一双’共有n!
种情况,故(2n)!
(2n)!
2!
(2!
)n
2nn!
P(A)(2n)!
12.设事件A与B互不相容,P(A)0.4,P(B)0.3,求P()与P(B)
解P()1P(AB)1P(A)P(B)0.3
因为A,B不相容,所以B,于是
P(B)P()0.6
13.若P(AB)P()且P(A)P,求P(B).
解P()1P(AB)1P(A)P(B)ABP()
4·
由P()P(AB)得
P(B)1P(A)1p
14.设事件A,B及AB的概率分别为p,q,r,求P(AB)及P(A)解P(AB)P(A)P(B)P(AB)pqr
P(A)P(A)P()P()P(A)1P(B)P(A)P(AB)1qpqr1pr.
15.设P(A)P(B)0.7,且A,B仅发生一个的概率为0.5,求A,B都发生的概率。
解1由题意有
0.5P()P()P()
P(A)P(AB)P(B)P(AB)
0.72P(AB),
所以
P(AB)0.1.
解2A,B仅发生一个可表示为ABAB,故
0.5P(AB)P(AB)P(A)P(B)2P(AB),
16.设P(A)0.7,P(AB)0.3,
P(AB)0.4,
P(AB)0.6;
0.2P(B)P(AB)P(B)0.4.
P(B)0.6
P()1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)0.1
17.设ABC,试证明P(A)P(B)P(C)1
[证]因为ABC,所以P(BA)0.2,求P(AB)与P().P(AB)P(A)P(AB)0.7P,A(B解0.3
P(C)P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)1
5·
P(A)P(B)P(C)1.证毕.
18.对任意三事件A,B,C,试证
P(AB)P(AC)P(BC)P(A).
[证]P(AB)P(AC)P(BC)P(AB)P(AC)P(ABC)
P(ABAC)P{A(BC)}P(A).证毕.
19.设A,B,C是三个事件,且P(A)P(B)P(C),P(AB)P(BC)0,1
4
1P(AC),求A,B,C至少有一个发生的概率。
8
解P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)B(PA)C(PB)C(PABC
)因为0P(ABCP(AB),所以0P(ABC)0,于是
315P(ABC)488
20
.随机地向半圆0y(a为正常数)P(A)122半园的面积a221.把长为a的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率.
解1设A‘三段可构成三角形’,又三段的长分别为x,y,axy,则0xa,0ya,0xya,不等式构成平面域S.
aaa,0y,xya222不等式确定S的子域A,所以A发生0xP(A)A的面积1S的面积4
解2设三段长分别为x,y,z,则0xa,0ya,0za且xyza,不等式确定了三维空间上的有界平面域S.
6·
A发生xyz
xzy
yzx不等式确定S的子域A,所以P(A).S的面积422.随机地取两个正数和,这两个数中的每一个都不超过1,试求x与A的面积1y之和不超过1,积不小于0.09的概率.
S.A‘xy1,xy0.09’则A发生的充要条件为0xy1,1xy0.09不等式确定了S的子域A,故
0.9A的面积0.9P(A)(1x)dx0.1S的面积x0.40.18ln30.2
23.(蒲丰投针问题)在平面上画出等距离a(a0)的一些平行线,向平面上随机地投掷一根长l(la)的针,求针与任一平行线相交的概率.
解设A‘针与某平行线相交’,针落在平面上的情况不外乎图中的几种,设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。
为针与平行线的夹角,则
0xa,0,不等式确定了平面上2
的一个区域S.
A发生xsin,不等式确定S的子域A2L
故P(A)a10L2Lsind2a
2
7·
习题二
1.假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%,从中任取一件,发现它不是三等品,求它是一等品的概率.
解设Ai‘任取一件是i等品’i1,2,,3
所求概率为
P(A1|3)
因为3A1A2
所以P(P(2A)3)P(A1)
P(A(A)13)P1
P(A1|3)60.P(A13),P(3)0.60.30.962.93
2.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率.
解设A‘所取两件中有一件是不合格品’
Bi‘所取两件中恰有i件不合格’i1,2.
则
AB1B2
112C4C6C4P(A)P(B1)P(B2)2,2C10C10
2P(B2)C41P(B2|A).112P(A)C4C6C45
3.袋中有5只白球6只黑球,从袋中一次取出3个球,发现都是同一颜色,求这颜色是黑色的概率.
解设A‘发现是同一颜色’,B‘全是白色’,C‘全是黑色’,则ABC,
33C6/C11P(AC)P(C)2P(C|A)3333P(A)P(BC)C6/C11C5/C113
4.从52张朴克牌中任意抽取5张,求在至少有3张黑桃的条件下,5张都
8·
是黑桃的概率.
解设A‘至少有3张黑桃’,Bi‘5张中恰有i张黑桃’,i3,4,5,则
AB3B4B5,
5P(AB5)P(B5)C139.P(B5|A)32415P(A)P(B3B4B5)C13C39C13C39C131686
5.设P(A)0.5,P(B)0.6,P(B|A)0.8求P(AB)与P(BA).解P(AB)P(A)P(B)P(AB)1.1P(A)P(B|A)1.10P(BA)P(B)P(AB)0.60.40.2.
6.甲袋中有3个白球2个黑球,乙袋中有4个白球4个黑球,今从甲袋中任取2球放入乙袋,再从乙袋中任取一球,求该球是白球的概率。
解设A‘从乙袋中取出的是白球’,Bi‘从甲袋中取出的两球恰有i个白球’i0,1,2.
由全概公式
P(A)P(B0)P(A|B0)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)
112C21C32613C24C32.22C510C52C51025
7.一个盒子中装有15个乒乓球,其中9个新球,在第一次比赛时任意抽取3只,比赛后仍放回原盒中;
在第二次比赛时同样地任取3只球,求第二次取出的3个球均为新球的概率。
解设A‘第二次取出的均为新球’,
Bi‘第一次取出的3个球恰有i个新球’i0,1,2,3.由全概公式
P(A)P(0B)P(A|0B)P1(B)P(AB)1|2P(B)P(2A|B)3P(B)P3(A|B)
331231333C6C9C9C6C8C92C6C7C9C633333333C15C15C15C15C15C15C15C15
5280.089.5915
8.电报发射台发出‘·
’和‘–’的比例为5:
3,由于干扰,传送(·
)时失真的概率为2/5,传送‘–’时失真的概率为1/3,求接受台收到‘·
’时发出信号恰是‘·
’的概率。
解设A‘收到‘·
’’,B‘发出‘·
’’,
9·
由贝叶斯公式
53P(B)P(A|B)3P(B|A).P(B)P(A|B)P()P(A|)53314
8583
9.在第6题中,已知从乙袋中取得的球是白球,求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率.
解事件如第6题所设,所求概率为
P(B1|A)P(B1)P(A|B1)P(A)11C3C2/C5213
2511526
10.已知一批产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率是0.02,一个次品被误认为是合格品的概率是0.05,求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率。
解设A‘任取一产品,经检查是合格品’,
B‘任取一产品确是合格品’,
ABA
P(A)P(B)P(A|B)P()P(A|)
0.960.980.040.050.9428,
P(B|A)P(B)P(A|B)0.960.980.998.P(A)0.9428
11.假设有两箱同种零件:
第一箱解设Ai‘第i次取出的零件是一等品’,i1,2.
Bi‘取到第i箱’,i1,2.
(1)P(A1)P(B1)P(A1|B1)P(B2)P(A1|B2)1132().2555·
10·
(2)P(A2|A1)
P(A1A2)P(A1A2B1A1A2B2)P(A1)P(A1)P(B1)P(A1A2|B1)P(B2)P(A1A2|B2)P(A1)
22C181C10222CC951305040.4856.4929
5
12.玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯,售货员随意取一箱,顾客开箱随意地察看四只,若无残次品,则买下该箱,否则退回。
试求:
(1)顾客买下该箱的概率;
(2)在顾客买下的一箱中,确无残次品的概率.
解设A‘顾客买下该箱’,
B‘箱中恰有i件残次品’,i0,1,2,
(1)P(A)P(B0)P(A|B0)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)
44C19C180.80.140.140.94;
C20C20
(2)P(B0|A)P(AB0)0.80.85.P(A)0.94
13.设有来自三个地区的各10名,15名和25名考生的报名表,其中女生报名表分别为3份、7份和5份,随机地取一个地区的报名表,从中先后取出两份
(1)求先取到的一份为女生表的概率p;
(2)已知后取到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q.解设A‘先取到的是女生表’,
B‘后取到的是男生表’,
Ci‘取到第i个地区的表’,i1,2,3.
(1)pP(C1)P(A|C1)P(C2)P(A|C2)P(C3)P(A|C3)137529;
310152590
29,所以先取出的是男生表的概率为90
11·
(2)因为先取出的是女生表的概率为
6161,按抓阄问题的道理,后取的是男生表的概率P(B).9090于是
(2)qP(A|B)P(AB)P(ABC1ABC2ABC3)P(B)P(B)
1[P(AB|C1)P(AB|C2)P(AB|C3)]P(B)
1377852031091514252420.6161
90
14.一袋中装有m枚正品硬币,n枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽)从袋中任取一枚,已知将它投掷r次,每次都得到国徽,问这枚硬币是正品的概率是多少?
解设A‘任取一枚硬币掷r次得r个国徽’,
B‘任取一枚硬币是正品’,
ABA,
P(B|A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P()P(A|)
m1mn2
rrm1nmn2mnm.rmn2
15.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,求甲击中的概率.
解设A‘目标被击中’,Bi‘第i个人击中’i1,2,所求概率为
P(B1A)P(B1)P(B1)P(A)P(B1B2)1P(12)
0.60.75.10.40.5P(B1|A)
12·
16.三人独立地破译一个密码,他们能译出的概率分别是,,
将此密码译出的概率.111,求他们534
解1设A‘将密码译出’,Bi‘第i个人译出’i1,2,3.则
P(A)P(B1B2B3)P(B1)P(B2)P(B3)P(B1B2)P(B1B3)P(B2B3)P(B1B2B3)
11111111153453543411130.6.5345
解2事件如上所设,则
4233P(A)1P()1P(123)10.6.5345
17.甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击,他们的命中率分别为0.4,0.5,0.7。
设飞机中一弹而被击落的概率为0.2,中两弹而被击落的概率为0.6,中三弹必然被击落,今三人各射击一次,求飞机被击落的概率.
3解设A‘飞机被击落’,Bi‘飞机中i弹’i1,2,.
P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3)0.2P(B1)0.6P(B2)P(B3)
设Ci‘第i个人命中’,i1,2,3,则
P(B1)P(C123)P(12C3)P(1C23)
0.40.50.30.60.50.70.60.50.30.36,P(B2)P(C1C23)P(2C3)P(1C2C3)
0.40.50.30.40.50.70.60.50.70.41,P(B3)P(C1C2C3)0.40.50.70.14,
P(A)0.20.360.60.410.140.458.
18.某考生想借一本书,决定到三个图书馆去借,对每一个图书馆而言,有无这本书的概率相等;
若有,能否借到的概率也相等,假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立,求该生能借到此书的概率.
解1设A‘该生能借到此书’,Bi‘从第i馆借到’i1,2,3.则
13·
P(B1)P(B2)P(B3)P(第i馆有此书且能借到)
111,224
111,4416P(B1B2)P(B1B3)P(B2B3)
P(B1B2B3)1111.44464
于是
P(A)P(B1B2B3)P(B1)P(B2)P(B3)P(B1B2)P(B1B3)P(B2B3)P(B1B2B3)33137.4166464
3373解2P(A)1PA)1123B).644
解3事件如解1所设,则
AB11B212B3,
P(A)P(B1)P(1B2)P(12B3)
13133137.44444464
19.设P(A)0,P(B)0,证明A、B互不相容与A、B相互独立不能同时成立.
证若A、B互不相容,则AB,于是P(AB)0P(A)P(B)0所以A、B不相互独立.
若A、B相互独立,则P(AB)P(A)P(B)0,于是AB,即A、B不是互不相容的.
注:
从上面的证明可得到如下结论:
1)若A、B互不相容,则A、B又是相互独立的P(A)0或P(B)0.
2)因ABA,所以P(A)P(BA)P()
如果P(B)1,则P()0,从而
P(AB)P(A)P(A)P(B)
可见概率是1的事件与任意事件独立,自然,必然事件与任意事件独立.
如果P(B)0,则P(AB)0P(A)P(B),即概率是零的事件与任意事件独立,自然,不可能事件与任何事件独立。
20.证明若三事件A,B,C相互独立,则AB及AB都与C独立。
·
14·
}证P{(AB)CP(ACBC)(PA)C(PB)C(pABC
P(B)P(C)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)[P(A)P(B)P(AB)]P(C)
P(AB)P(C)
即AB与C独立.
P{(AB)C}PBC)P(P(B)P(C)P(AB)(PC)P(AB)P(C)
即AB与C相互独立.
21.一个教室里有4名一年级男生,6名一年级女生,6名二年级男生,若干名二年级女生,为要我们在随机地选择一名学生时,性别和年级是相互独立的,教室里的二年级女生应为多少名?
解设还应有N名二年级女
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