八年级几何最值专题.docx
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八年级几何最值专题.docx
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八年级几何最值专题
专题一两点之间线段最短
模型解析一
【模型1】:
在l同侧有A,B两点,在直线l上找两点C和D(其中CD的长度固定,
等于所给线段a),使得|AC+CD+DB|最小(平移构建平行四边形)
(1)将点A向右平移a个长度到点M;
(2)作点M关于直线的对称点M';
(3)连接M'B,与直线l交于点D;
(4)连接MD,过点A作AC//MD,交直线l于点C,
则此时|AC+CD+DB|最小,AC+DB=BM'
【模型2】:
直线m∥n,在m、n上分别求点M、N,
使MN⊥m,且AM+MN+BN的值最小
(1)将点A向下平移MN的长度个单位得点A′;
(2)连接A′B交直线n于点N;
(3)作NM⊥m于M.
则此时AM+MN+BN的值最小,AM+BN=A′B
【典题精练】
1、如图,已知A(1,1),B(4,2),CD为x轴上一条动直线,D在C点右侧且CD=1,
当AC+CD+DB的值最小时,点C的坐标为。
2、如图所示,直线与x轴、y轴分别交于点A、B,点D在动点Q右侧,且始终满足QD=1,点M在直线AB上,其横坐标为-3,则四边形MQDB的周长最小为。
3、如图,已知直线a∥b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的距离为3,.在直线a上找一点M,在直线b上找一点N,满足MN⊥a且AM+MN+NB的值最小,则此时AM+MN+NB=。
模型解析二
【模型1】:
1、在∠MON中有一点P,在边OM,ON上找点Q,R,使得PQ+PR+QR最小(对称三角形周长最小值)
解析:
(1)作点P关于OM的对称点P',作点P关于ON的对称点P";
(2)连接P'P",交OM,ON于点Q,R,则此时PQ+PR+QR最小.
【核心要点】作定点P关于角的两边的对称点
【模型2】:
如图所示,∠AOB=45°,角内有一点P,PO=10,在角的两边
上有两点Q、R,则△PQR的周长的最小值为。
简解:
∠P1OP2=2∠AOB=90°,OP1=OP2=OP=10
△PQR的周长的最小值为
【典题精练】:
1、如图所示,∠AOB=30°,点M、N分别在边OA、OB上,
且OM=1,ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是。
2、如图所示,在等边三角形ABC中,AB=4,P是BC边上的动点,Q是BA边上的动点,H是AC边上的动点,则△PQH的周长的最小值为。
3、如图,已知直线y=-x+7分别与x、y轴交于A、B两点,点C(1,0),D是直线y=-x+7上一点,E是y轴上一点,则△CDE周长的最小值为。
4、△ABC中,∠BAC=60°,AD⊥BC于D,且AD=,E、F、G分别为边BC、CA、AB上的点,则△EFG周长的最小值为。
专题二点到直线的距离垂线段最短
典例选讲一:
(模型解析)
如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为BC边上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于F,若M为EF的中点,则AM长度的最小值为。
解析:
作AD⊥BC于D,连接PM.由勾股逆定理易知∠EAF=90°,四边形AEPF是矩形
∴AP=EF,
当AP⊥BC时,AP=AD最短,∴AP=AD=4.8,AM=2.4.
【典题精练】
1、如图,已知AB=2,C是线段AB上任意一点,分别以AC,BC为斜边,在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE,则DE长度的最小值为。
2、如图,△ABC是以AB为斜边的直角三角形,AC=4,BC=3,P为AB边上一动点,且PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,则线段EF的最小值为。
3、如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,AC与BD相交于O,E为DC上的一点,过点O作
OF⊥OE交BC于F,记d=,则d的最小值为。
4、如图,在△ABC中,AB=5,AC=12,BC=13,P为BC边上任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,M为EF中点,则线段PM长度的最小值为。
典例选讲二:
(模型解析)
(2016—2017金牛期末)如图,边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上的一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到CF,则在点E的运动过程中,求DF的最小值。
解析:
取AC的中点G,连接EC
易证△CFD≌△CEG,得DF=EG
∵点E在AD上运动,G为AC的中点(定点)
∴当GE⊥AD时,∠AEG=90°,GE最短
由等边三角形和AD是对称轴知:
∠EAG=30°
此时,即DF最短=
注意:
定点垂直于动点所在的直线
如本例中:
动点E所在的直线是AD,所以GE⊥AD时GE最短.
【典题精练】:
1、如图所示,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC=2,O为AC中点,若点D在直线BC上运动,连接OE,则在点D运动过程中,线段OE最小值为。
2、在Rt△ABC中,∠ABC=30°,斜边AB=6,动点D在BC上,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接CE,则线段CE的最小值为。
3、(2016成都)如图,面积为6的平行四边形纸片ABCD中,AB=3,∠BAD=45°,按下列步骤进行裁剪和拼图.
第一步:
如图①,将平行四边形纸片沿对角线BD剪开,得到△ABD和△BCD纸片,再将△ABD纸片沿AE剪开(E为BD上任意一点),得到△ABE和△ADE纸片;
第二步:
如图②,将△ABE纸片平移至△DCF处,将△ADE纸片平移至△BCG处;
第三步:
如图③,将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处(边PQ与DC重合,△PQM和△DCF在DC同侧),将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处,(边PR与BC重合,△PRN和△BCG在BC同侧).
则由纸片拼成的五边形PMQRN中,对角线MN长度的最小值为 .
典例选讲三:
(模型解析)
若点D与点A(8,0),B(0,6),C(a,-a),是一平行四边形的四个顶点,
则CD长度的最小值为。
解析:
作PQ⊥x交直线l于Q
∵C(a,-a)
∴点C在直线y=-x上,∠AOQ=45°
∵四边形ADBC为平行四边形
∴PB=PA,PC=PD
当PC⊥l时,PC最短,CD最短
∴P(4,3),Q(4,-4),PQ=7
注意:
点P(4,3)不变,C(a,-a)在直线y=-x上,隐含等腰直角三角形不变。
定点垂直于动点所在的直线,即PC⊥l
【典题精练】:
1、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC边上,则以AC为对角线的所有
□ADCE中,DE长度的最小值为。
2、如图,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD,则线段CD长度的最小值为。
3、已知点D与点A(-3,0),B(0,4),C(m,m)是一平行四边形的四个顶点,则CD长的最小值为。
4、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=1,AB=2,BC=3,P为AB边上的一动点,以PD,PC为边作平行四边形PCQD,则对角线PQ的最小值是。
典例选讲四:
(模型解析)
如图所示,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为。
解析:
作点Q关于BD的对称点Q′,连接PQ′交BD于点K,∴PK+QK=PQ′
当PQ′⊥AD时,PQ′最短,PK+QK=PQ′最短.作AE⊥BC于E,∴AE=PQ′
∵菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,∴∠BAE=30°,BE=1,AE=,PK+QK最短=
【典题精练】
1、如图,钝角三角形ABC的面积为15,最长边AB=10,BD平分∠ABC,点M,N分别是BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值为_____.
2、如图,在锐角△ABC中,AB=,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D.若M,N分别是边AD,AB上的动点,则BM+MN的最小值是.
3、(2016—2017洪山区期中)如图,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,点E是边AB的中点,点F、P分别是BC、AC上动点,则PE+PF的最小值是.
4、(2016—2017青羊区期中)如图,四边形ABCD是菱形,AC=16,DB=12,P,Q分别是AC,AD上的动点,连接DP,PQ,则DP+PQ的最小值为.
专题3三角形两边之和大于第三边
典例选讲一:
(模型解析)
如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上,当B点在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状大小保持不变,其中AB=2,BC=1,在点B的运动过程中,点D到点O的最大距离为。
简析:
OP+PD≥OD,当D、P、O三点共线时,OD=OP+PD最大为
【典题精练】:
1、如图,∠MON=90°,正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上运动,当正方形的边长为2时,OD的最大值为。
2、如图,在直角墙面处有一个边长为4m的等边三角形ABP纸板,当点A在铅直的墙面上下运动时,点B随之在水平的地面上运动,则在运动过程中,点P到墙角O的最大距离是。
3、如图,菱形ABCD边长为2,∠C=60°.当点A在x轴上运动时,点D随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离为。
4、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=8,点A,C分别在x轴、y轴上.当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,则在运动过程中,点B到原点O的最大距离为.
典例选讲二:
(模型解析)
如图,正方形ABCD的边长为4,点P为边AD上一动点,AE⊥BP于E,连接DE,则点P在运动过程中,DE的最小值为。
简析:
点P在运动过程中,∠AEB=90°不变,∠AEB所对的边不变
取AB的中点O,连接OE、OC,所以CE≥OC-OE.
当O、E、C三点共线时,CE=OC-OE最小为
【典题精练】
1、如图,点E、F是边长为2的正方形ABCD的边AD上的两个动点,点E由A向D运动,点F由D向A运动,它们的运动速度相同,连接AC、BE交于G,连接GD交CF于H,连接AH,在E、F的运动过程中,AH的最小值为。
2、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=4,点D是BC上一动点,CE⊥AD于E,则在点D的运动过程中,BE的最小值是。
3、如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN,连接A′C,则A′C的最小值为。
4、如图,在矩形ABCD中,AD=4,AB=6,点O为AD中点,点E为AB边上一动点,将△AEO沿直线OE翻折得到△A′EO,连接BA′,则BA′的最小值为。
典例选讲三:
(模型解析)
如图,PA=2,PB=4,以AB为边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧,当∠APB变化时,则PD的最大值为。
简析:
∵AD=AB,∠DAB=90°,∴将△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP′,DP=BP′
∴BP′≤BP+PP′,当B、P、P′三点共线时,BP′=BP+PP′=最大。
【典题精练】
1(2016—2017锦江期末)如图,已知点P是正方形ABCD外一点,对角线AC、BD相交于点O,且PA=4,PB=3,则PO的最大值是。
2、如图,△ABC为等边三角形,P为外部一点,若PB=5,PA=2,则PC的最小值为。
3、如图,在△A
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