最新高等数学+定积分习题及答案优秀名师资料Word格式.docx
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,1,,1xx,2,,,fxdx4(设,求。
fx,,,1,20x,x,1,2,
1
x2arctgtdt,,,05(。
lim2,,,xx,1
1,xsin,0,,xx,,6(设,求。
,,,,,x,ftdt,,,fx2,,0,0,其它,
1,,当x,0时,2,1,xf,,x,7(设,求。
,,fx,1dx,,01,,当x,0时x,1,e,
128(。
,,limn,2n,?
,n2n,,n
knnelim9(求。
k2n,,k,1nn,ne
1,,,,fxfx10(设是连续函数,且,,,,,求。
fx,x,2ftdt,02ln2dt,,11(若,求。
x,xt6e1,
11,2,x2212(证明:
。
2e,edx,2,1,2
x,,x,a,,x22,13(已知,求常数。
lim,4xedxa,,,ax,,,x,a,,
2,1,x,x,03,,,fx,,,14(设,求fx,2dx。
,,x1,e,x,0,
22,,,fx15(设有一个原函数为,求,,。
1,sinxxf2xdx,0
3,,,,,,fx,ax,b,lnx,,1,3fx,0fxdx16(设,在上,求出常数a,使最b,1
小。
12,x,,,,,,,fxfxdx17(已知,求。
,,fx,e,0
212,,,,,,fx,x,xfxdx,2fxdx,,fx(设,求。
18,,00,2,,,,,,,fcosxcosxfcosxsinxdx,19(。
0
2
x222,,,,,,,,20(设时,Fx,x,tftdt的导数与是等价无穷小,试求xx,0,0
,,,。
f0
(C层次)
1(设,,是任意的二次多项式,,,是某个二次多项式,已知fxgx
b1,,11,,,,gxdx,求。
,,,,,,,,,fxdxf04ff1,,,,,,a062,,,,
,,,,,,2(设函数fx在闭区间a,b上具有连续的二阶导数,则在a,b内存在,,b1a,b,,3,,,,,,,,,,fxdx,b,af,b,af,使得。
,,a224,,
,,,,,,,,,,fxa,bfx,0fx,03(在上二次可微,且,。
试证
bfbfa,,,,,bafafxdxba。
,,,,,,,,,,,,,a2
,,,,,,,,,,,,fxa,bfxa,bfa,fb,04(设函数在上连续,在上存在且可积,,
b1,试证()。
,,,,fx,fxdxa,x,b,a2
11,,,,,,fx,,0,1fxdx,0xfxdx,15(设在上连续,,,求证存在一点,x,,00
,使。
,,fx,40,x,1
xFx,,22,,,,,,,,,Fx,tf,,x,tdtfxf0,0f0,16(设可微,,,,求。
lim,40x,0x
,,,,,,,,fxa,bfa,fb,07(设在上连续可微,若,则
b4,fxdxmaxfx,,,,,。
2,aa,x,b,,ba,
bfxkfx,,,,,,,,,,fxA,B8(设在上连续,,求证limdxA,a,b,B,a,0kk,,,,,fb,fa。
x,,,,fx,,,,,,,,,,,Fx,x,3tftdt9(设为奇函数,在内连续且单调增加,,,0
,,,,,,FxFx0,,,证明:
(1)为奇函数;
(2)在上单调减少。
3
1,,,,10(设fx可微且积分的结果与无关,试求fx。
,,,,,fx,xfxtdtx,0
,11(若,,在,,连续,,,,,,,证明:
fx0,,f0,2f,,1
,,。
,,,,,fx,fxsinxdx,3,0
x12(求曲线在点(0,0)处的切线方程。
,,,,y,t,1t,2dt,0
,a,,13(设fx为连续函数,对任意实数有,求证,,sinxfxdx,0a,,a,
,,,,f2,,x,fx。
2x,ydy214(设方程,,,求。
2x,tgx,y,sectdt2,0dx
,,,,(设fx在a,b上连续,求证:
15
x1(),,,,,,,,,,ft,h,ftdt,fx,falima,x,b,,a,0hh2x,,1,x,,,,ftdt,x,,fxf216(当时,连续,且满足,求。
x,0,0
,,,,fx0,117(设在连续且递减,证明
1,,,,,0,1,,,,,fxdx,fxdx,其中。
,00
x,,,,,,,,fxf0,0fa,118(设,,,,,,连续,Fx,ftf2a,tdt,,,试证:
0
,,,,F2a,2Fa,1。
x,,,,gx,,a,ba,b,,,,19(设是上的连续函数,fx,gtdt,试证在内方程,afb,,至少有一个根。
,,gx,,0b,a
xx1,,,,,,,,,,fxa,bfx,0Fx,ftdt,dt20(设在连续,且,又,证明:
,ab,,ft
,,,,,,Fx,2Fx,0a,b
(1)
(2)在内有且仅有一个根。
2aa,,fx,,0,2a,,,,,,,,fxdx,fx,f2a,xdx21(设在上连续,则。
,,fx22(设是以为周期的连续函数,证明:
2,,,,,,,,,,sinx,xfxdx,2x,,fxdx。
4
23(设,,在,,上正值,连续,则在,,内至少存在一点,使fxa,ba,b,,bb1。
,,,,,,fxdx,fxdx,fxdx,,,,aa2
1x1fu,1,,,,,,24(证明lnfx,tdt,lndu,lnfudu。
,,000,,fu
bb,,25(设fx在,,a,b上连续且严格单调增加,则。
,,,,,,a,bfxdx,2xfxdx,,aa
bM2,,,,,,,,,26(设fx在a,b上可导,且fx,M,fa,0,则。
fxdxba,,,,,,,a2
,,,,,,,27(设fx处处二阶可导,且fx,0,又ut为任一连续函数,则aa11,,,,,,,,futdtfutdt,,,,a,0。
,,,00aa,,
bab,,,,,fxdxbaf,,,,,,,,,,,,28(设fx在a,b上二阶可导,且fx,0,则。
,,a2,,
b,,,,,,fx,,a,bfx,0fxdx,0,,a,b29(设在上连续,且,,证明在上必有,a
,,fx,0。
,,,,,,,,fxa,b,,,,a,b30(在上连续,且对任何区间有不等式,1,,M,,,,a,bfx,0(,为正常数),试证在上。
,,fxdx,M,,,,,,
第五章定积分
(A)
321(sinxcosxdx,0
,211342解:
原式,,cosxdx,,cosx,,0440
a222xa,xdx2(,0
解:
令,则x,asintdx,acostdt
当时,当x,a时t,x,0t,02
222原式,asint,acost,acostdt,0
5
,44aa222,,,sin2tdt,1,cos4tdt,,0048
442,,aa14,,,sin4ta8284160
3dx3(,122x1,x
2解:
令,则x,tg,dx,sec,d,
,3当,时分别为,x,1,43
2,sec3原式,d,,,2sectg,,4
2,3,,,sin,dsin,,,4
2,2,33
1xdx4(,,15,4x
51125,4x,u解:
令,则x,,u,dx,,udu442
当,1时,u,3,1x,,1
11125原式,,,,udu,,386
4dx5(,1x,1
x,t解:
令,dx,2tdt
当时,;
当时,x,1t,1x,4t,2
2222tdtdt,,,,2dt,原式,,,,,1111,t1,t,,
2222ln122ln,,,,,t,,t,,1131dx6(3,1,x,14
6
令1,x,u,则,x,1,udx,,2udu
13当时x,,1u,,042
10,2uu,1,12原式,du,2du,1,2ln21,,0u,1u,12
2edx7(,1x1,lnx
22ee11,,,dlnx,d1,lnx解:
原式,,111,lnx1,lnx
2e,21,lnx,23,21
0dx8(,2,2x,2x,2
0dx0,,arctgx,1,,解:
原式,2,2,2,,1,x,1
,,11,,,arctg,arctg,,,,442,9(1,cos2xdx,0
,2,2cosxdx,2cosxdx解:
原式,,00
,2,,,2cosxdx,2,cosxdx,,,02
,,,2,2sinx,sinx,22,,,02,,
410(xsinxdx,,,
4解:
?
为奇函数xsinx
4xsinxdx,0?
,,
4211(4cosxdx,,,2
,24222解:
原式,,,4,2cosxdx,22cosxdx,,00
7
,2222,,,,,21,cos2xdx,21,2cos2x,cos2xdx,,00
,,222,,,2x,2cos2xdx,1,cos4xdx,,000
,1,22,,2sin2x,,cos4xd4x,,0024
2313sin4,,,x,,2420
325xsinxdx12(42,,5x,2x,1
32xsinx解:
为奇函数42x,2x,1
325xsinxdx,0?
42,,5x,2x,1
x313(dx,,2sinx4
3解:
原式,,xdctgx,,4
,33,,xctgx,ctgxdx,,,44
,,133,,,,,,lnsinx,,,49,,4
,1332,,,,,,ln,ln,,4922,,
,1313,,,,,,ln,,4922,,
4lnxdx14(,1x
4,2lnxdx解:
原式,1
8
44,,,,2xlnxxdlnx,,,11,,
41,,,,24ln2xdx,,,1x,,
1,42,8ln2,2xdx,1
8ln2,4
115(xarctgxdx,0
112解:
原式arctgxdx,,02
211,,1x2xarctgxdx,,,,,20021x,,,
1111dx,,,dx,,,2008221,x
1111,,,x,arctgx82200
1,,,42
x2216(ecosxdx,0
x22解:
原式,edsinx,0
,xx2222,esinx,sinx,2edx,00
2x,2,e,2edcosx,0
,2x2x,22,e,2ecosx,2cosx,2edx,00
2x,2,e,2,4ecosxdx,0
1x,22,,ecosxdx,e,2故,05
2,,xsinxdx17(,0
9
,1cos2x,22解:
原式xsinxdxxdx,,,,,,002
,1122,xdx,xcos2xdx,,0022
,1132,x,xdsin2x,0640
3,,1,2,,,,xsin2x,sin2x,2xdx,0,,0,,64
3,1,,,xdcos2x,064
33,1,,,,,,cos2cos2,,xx,xdx,,,0,,0,,6464
e18(,,sinlnxdx,1
e1e解:
原式,,,,,xx,xx,dxsinlncosln,11x
e,,,esin1,coslnxdx,1
e1e,,,,,,,e,xx,xx,dxsin1coslnsinln,,1,1x,,
e,,,esin1,ecos1,1,sinlnxdx,1
ee故,,,,sinln,sin1,cos1,1xdx,12
3219(cosx,cosxdx,,,4
22解:
原式,,,cosx1,cosxdx,,,4
02,,,cosx,sinxdx,cosxsinxdx,,,,04
033222,,,,22,,,,,cosx,,cosx,,,,33,,,,,,04
442,,33
10
sinx4dx20(,01,sinx
,,sinx1,sinx4dx解:
原式,2,0x1,sin
sinx,,24tgxdx,,,,2,0cosx,,
,dcosx244,,,,,secx,1dx2,,00cosx
,41,4,,,,tgx,x,2,,20cosx40
sinxx21(dx2,01,cosx
解:
令,则x,,t2
,,,,,sin,,tt,,,,,,22,,,,2,,原式dt,,,,,221cos,,t,,2,,
cost,,costt22,,,dt,,221,sin1,sintt2
2,cost,22,,sin,dt,arctgt,,,,20041sin,t11,x2xlndx22(,01,x
12,,1xx,2,,解:
原式lnd,,,,01x2,,,
11222,,,,x1,xx1,x1,x,1,x,12,ln,,,dx2,021,x21,x,,1,x0
121x2,ln3,lndx2,08x,1
11
111dx22,ln3,dx,2,,008x,1
1
2111x,1,ln3,,ln822x,10
13,,ln328
2,,1,xdx23(4,,,1,x
1,122,,,,,1xx解:
原式,,dx2dx4,,001,1x2,x2x
,,11,,2dx,,,,2,0x,,1,,x2,,,,x,,
,,1x,2x,,2,arctg
22
,0
224(lnsinxdx,0
,xx,,令x,2t24,,,ln2sin,cosdx2ln2,lnsint,lncostdt解:
原式,,,,0022,,
,,,,44,ln2,2lnsintdt,lncostdt,,,,002,,
,,t,,u,,,242ln22lnsintdtlnsinudu,,,,,,,024,,
,2,ln2,2lnsintdt,02
,2lnsinxdx,,ln2故,02
,,dx,,,,025(,2,0,,,,1,x1,x
12
11解:
令,则x,dxdt,,2tt
1,dt,20,,tdtt原式,,2,2,,,0,,,,,,1,t1,t1,t1,t,2,tt
,,,,,,dxdxxdx?
2,,2,2,2,,,,000,,,,,,,,,,,,1,x1,x1,x1,x1,x1,x
,,1,,,,dx,arctgx,2,0021,x
,,dx,故,2,,04,,,,1x1x,,
(B)
yxdyty1(求由edt,costdt,0所决定的隐函数对的导数。
x,,00dx
将两边对求导得x
dyye,cosx,0dx
dycosx,,?
ydxe
x2,t,,2(当为何值时,函数Ix,tedt有极值,x,0
2,x,,,,Ix,0解:
,令得,,Ix,xex,0
,,Ix,0当时,x,0
,,Ix?
当时,函数有极小值。
x,0
,,cos,tdt,sinxdx
acostd22,,,,解:
原式,,,,cos,tdtcos,tdt,,,,sinxa,,dx
sinxcosxd22,,,,,,,,,cos,tdtcos,tdt,,,,aa,,dx
,22,,,,,,,,,,,cossinxsinx,coscosxcosx
13
22,,,,cos,,,,,sincosx,cos,cosx,sinx
22,,cos,,,,,sinxcosx,sinxcos,,,sinx
2,,,sinx,cosxcos,,,sinx
,1,,1xx,2,4(设,求,,。
fxdx,fx,,,1,20,,1xx,2,
21212解:
fxdxx1dxxdx,,,,,,,,,,0012
12118,,23,x,x,x,,,263,,10
x2,2arctgtdt,,型,arctgx,,0,解:
limlim12,,,,,,xx,12x,12,,x,12x2
12xarctgx,,1,222xarctgx,,,1x,lim,limx,,,x,,,xx
2,12,,,,arctgx,lim12x,,,4x
1,xsin,0,,xx,,,,,,6(设,求,x,ftdt。
,,fx2,,0,0,其它,
xx,,,,,x,ftdt,0dt,0解:
当时,x,0,,00
x11cos,xsin当时,,,,x,tdt,0,x,,,022
,xxx1当时,x,,,,,,,,,,,x,ftdt,ftdt,ftdt,sintdt,0dt,1,,,,,00,0,2
0,当,0时,
1,,,,,,,x,1,cosx,当0,x,时故。
2,
1,x,当,时,,
14
1,,当x,1时,,xf,,x,1,解:
1,,当x1时,x,1,1,e,
212dx1f,,x,1dx,,dxx,1,,,001,,1,x,11,e
x,1x,1121,e,edx,,,dx,1,x,1,,01x1,e
1x,1,1,ln,,1,e,ln20
,,,ln1,e
,12n1,,,lim,,?
,解:
原式,,n,,nnnn,,
n112ilim,,,xdx,,,,,0n3nn,1i
knn1elim解:
原式,,k2n,,nk,1n,1e
x11e,x,dx,arctge,arctge,x,20041,e
1,,,,fxfx,,,,fx,x,2ftdt10(设是连续函数,且,求。
01,,,,ftdt,Afx,x,2A解:
令,则,,0
15
111从而,,,,fxdx,x,2Adx,,2A,,002
11即,A,,A,,2A22
,,fx,x,1
2ln2dt,11(若,,求。
2u2tt,ln,,1,u解:
令,则,,dtdue,1,u21,u
u,3当时,t,2ln2
x当时,t,xu,e,1
2ln23dt2udu3,,2arctgu?
xx,,2e,1xe,1t,,1,uue,1
,,,x,2,arctge,1,,,36,,
从而x,ln2
211,,,x证:
考虑上的函数,则,,y,e,,22,,
2,x,,,令y,0得y,,2xex,0
1,,,当时,y,0x,,,0,,
2,,
1,,,当时,y,0x,0,,,
1,221,x,x2x,,?
在处取最大值y,1,且在处取最小值y,ey,eex,02
1111,2,x2222edx,edx,1dx故111,,,,,,222
16
11,2,x22即。
xa2,,,2a解:
左端,,,elim1,,x,,,x,a,,
,,,,xx2222,,,,,,右端,,2xed,2x,,2xde,,aa
,,,,222,x,x,,2xe2xedx,,,,,,aa,,
,,ax222,,,2ae,2xde,a
,,,,2222,a,x,x,,2ae2xeedx,,,,,,aa,,
2,2a,,,2a,2a,1e
2,2a,2a,,2a,2a,1e,e?
解之或。
a,0a,,1
2,1,x,x,03,,,fx,14(设,,,求fx,2dx。
令,则x,2,t
310171,t2fxdxftdttdtedt,,,,,,,,,,,,,21,,,,,,1110e3
2,,fx,,,1,sinx,sin2x解:
令,且2x,t
,,t112,,,xf,,2xdxftdt,,tftdt,,,,,,,000224
,11,,,tdfttftftdt,,,,,,,,,,,0,,00,,44
1,2,,,,,tsin2t,1,sint,00,0,,,4
17
33,,,,,,解:
当fxdx最小,即ax,b,lnxdx最小,由fx,ax,b,lnx,0知,,,11
在的上方,其间所夹面积最小,则是的切线,y,ax,by,lnxy,ax,by,lnx
111,,,x,lnx,,而,设切点为,则切线y,x,x,lnx,故a,,y,0000xxx00
b,lnx,1。
0
333a,,2,,I,ax,b,lnxdx,x,bx,lnxdx于是,,,,112,,1
3,,,4a,21,lna,lnxdx,1
21,令得a,I,4,,0a2a
x,2从而,b,ln2,10
32,,,,fxdx又,此时最小。
I,,0a,21a
2,x,解:
,,fx,,2xe
11112,,,,,,f,,,,,,,,xfxdx,fxdfx,fx,,,,,,0020
1221,x,2,,,,2xe,2e,,,,20
212,,,,,,,,fx,x,xfxdx,2fxdxfx18(设,求。
122,,fx,x,Bx,2A,,,,fxdx,Afxdx,B解:
设,,则,,00
11112?
,,,,A,fxdx,x,Bx,2A
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