考点19 函数yAsinωx+φ的图像解析版Word下载.docx
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考点19 函数yAsinωx+φ的图像解析版Word下载.docx
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=sin
=sin2π=3.
126332
4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:
m)
的最大值为()
A.5B.6
C.8D.10
【答案】C
【解析】因为sin∈[-1,1],所以函数y=3sin+k的最小值为k-3,最大值为k+3.
由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.
所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.
x-π1
5、先把函数f(x)=sin
6的图象上各点的横坐标变为原来的
(纵坐标不变),再把新得到的图象向右平移
ππ,3π
3个单位,得到y=g(x)的图象.当x∈44时,函数g(x)的值域为()
-3,1-1,1
A.2
-3,3
B.
C.22D.[-1,0)
x-ππ
5ππ3π
【解析】依题意得g(x)=sin2
3-6=sin2x-6
,
,当x∈44时,
5π-π,2π
2x-5π
-3,1
2x-∈
33,sin
6∈2
,此时g(x)的值域是2
.故选A.
6、将函数f(x)=2sin4x-的图像向左平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图像,则下列关于函数y=g(x)的说法错误的是()
A.最小正周期为πB.图像关于直线x=对称
C.图像关于点对称D.初相为
【答案】C由题意,图像平移后的解析式为y=2sin,图像横坐标伸长后的解析式为y=2sin,
∴g(x)=2sin.易判断选项A,D都正确,对于选项B,C,∵g=2sin=2≠0,
∴选项B对C错,故选C.
ππ,π
7、下列函数同时具有性质“
(1)最小正周期是π;
(2)图象关于直线x=
()
对称;
(3)在6
3上是减函数”的是
x+5π
2x-π
A.y=sin212
2π
y=sin
C.y=cos(2x+
)D.y=sin6
x+5ππ
【解析】易知函数y=sin2
12的最小正周期为4π,故排除A;
当x=
时,y=sin
3=0,故排除B;
π,π
2ππ,4π
2x+2ππ
当x∈6
3时,2x+3∈
3,函数y=cos
3单调递增,故排除C;
对于函数y=sin(2x+
),可
知其最小正周期T=2π=π,将xπ
y=sin2×
=1,是最大值,可知该函数的图象关于直线x
πππ3π
=代入得,
66
π2ππ
=对称,令
+2kπ≤2x+≤
262
+2kπ(k∈Z),化简整理可得
+kπ≤x≤
+kπ(k∈Z),可知函数y=sin(2x+)
在63上是减函数.故选D.
8、函数y=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则()A.y=2sinB.y=2sin
C.y=2sinD.y=2sin
【解析】由题图知,A=2,周期T=2-=π,
所以ω==2,y=2sin(2x+φ).方法一:
因为函数图像过点,所以2=2sin.
所以+φ=2kπ+(k∈Z).令k=0,得φ=-,
所以y=2sin,故选A.
方法二:
因为函数图像过点,所以-2=2sin,
所以2×
+φ=2kπ-,k∈Z,
即φ=2kπ-,k∈Z.令k=0,得φ=-,
所以y=2sin.故选A.
9、已知函数f(x)=sin(ωx+φ)
-2π,0
ω>0,|φ|<π
2的最小正周期为4π,且f
-π,0
=1,则f(x)图象的一个对称中心是
A.3
2π,0
C.3
5π,0
D.3
11πππ
【解析】由f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,得ω=
,∵f
=1,∴
×
+φ=
+2mπ(m∈Z),即φ=+
ππ1x+π1π2π
2mπ(m∈Z).由|φ|<2,得φ=3,故f(x)=sin23.令2x+3=kπ(k∈Z),得x=2kπ-3(k∈Z),故f(x)图象
2kπ-2π,0-2π,0
的对称中心为
3(k∈Z),当k=0时,f(x)的对称中心为3
10、已知函数y=Asin(ωx+ϕ)+B⎛A>
0,ω>
0,ϕ<
π⎫的周期为T,如图为该函数的部分图象,则正确的结
ç
⎪
⎝⎭
论是()
A.A=3,T=2π
C.A=3,ϕ=π
B.B=-1,ω=2
D.T=4π,ϕ=-π
【解析】由图知
2--42+-4T
()()
A==3,B==-1,
=4π-⎛-
⎪
2π⎫=2π
∴T=4π,把点⎛4π
2⎫
代入y=3sin⎛1x+ϕ⎫-1
223
⎝3⎭
2⎪
得sin⎛2π+ϕ⎫=1,∴2π+ϕ=2kπ+π,即ϕ=2kπ-π(k∈Z),又|ϕ=π,
3⎪3262
∴k=0时,ϕ=-,故选D.
A≠0,ω>0,π<φ<ππ
11、将奇函数f(x)=Asin(ωx+φ)
则ω的值可以为()A.6
C.4
22的图象向左平移
B.3D.2
个单位得到的图象关于原点对称,
【解析】由函数为奇函数得φ=kπ(k∈Z)
,又-
<φ<π
,∴φ=0,∴y=Asinωx.
由函数图象向左平移
π个单6
位得到函数y=Asinω
x+π
=Asin
ωx+πω
,其图象关于原点对称,∴有
πω=kπ(k∈Z),即ω=6k(k∈Z),6
当k=1时,ω=6.故选A.
12、已知函数f(x)=3sin
.
-3,3
ωx-π
6(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象完全相同.若x∈
0,π
2,则f(x)的值域是
【答案】2
ωx-ππ-
【解析】f(x)=3sin6=3cos2
=3cos
ωx-2π
3,
∵f(x)与g(x)的图象完全相同,∴ω=2,
则f(x)=3sin
6,∵x∈
2,
∴-π≤2x-π≤5π,∴-3≤f(x)≤3.
6662
13、如图,函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|≤
π)的图象与坐标轴的三个交点P,Q,R满足P(1,0),
∠PQR=
π,M(2,-2)为线段QR的中点,则A的值为.
4
【答案】83
1+4
【解析】依题意得,点Q的横坐标是4,点R的纵坐标是-4,T=2π=2|PQ|=6,∴ω=π,∵f2=
ω3
π55π
Asin
+φ=A>0,即sin6+φ=1.又|φ|≤π,∴π≤5π+φ≤4π,因此5π+φπφ=-π.又点R(0,-4)在
322363
-π83
=,
623
f(x)的图象上,所以Asin
3=-4,A=.
π,π2π
14、设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>
0,ω>
0).若f(x)在区间6
2上具有单调性,且f
=f3
=-f,则f(x)的最小正周期为.
【答案】π
【解析】因为f(x)在区间62上具有单调性,
Tπ
所以≥-
22
π,即T≥6
2π.又f
=f3,
π+2π7π
所以x=
和x=
均不是f(x)的对称轴,其对称轴应为x=23=
32
.又因为f
=-f
,且f(x)在区间62
上具有单调性,
π+ππ
所以f(x)的一个对称中心的横坐标为26=.
7π-π
故函数f(x)的最小正周期T=4×
123=π.
15、已知π<
α<
π,cosα=-3.
25
(1)求sinα的值;
sin(α-π)-2cos⎛π-α⎫
(2)求
⎝⎭的值.
sin(-α)+cos(π-α)
【答案】
(1)4;
(2)12.5
【解析】
(1)因为π<
π,cosα=-3,所以sinα=
1-cos2α=4.
5
3⨯4
sinα-2sinα
3sinα
(2)⎝⎭===5=12.
sin(-α)+cos(π-α)
-
sinα-cosα
sinα+cosα
4-3
55
16、已知函数f(x)=2sin(2x+ϕ)(0<
ϕ<
π)
(1)
若ϕ=,用“五点法”在给定的坐标系中,画出函数f(x)在[0,π]上的图象.
(2)若f(x)偶函数,求ϕ;
(3)在
(2)的前提下,将函数y=f(x)的图象向右平移π个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标变
为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[0,π]的单调递减区间.
(1)见解析;
(2)ϕ=π;
(3)⎡2π,π⎤.
2⎢⎣3⎥⎦
(1)当ϕ=π时,f(x)=2sin⎛2x+π⎫,列表:
6ç
6⎪
函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象是:
(2)f(x)=3sin(2x+ϕ)为偶函数,
∴sinϕ=1,∴ϕ=kπ+π,又0<
π,∴ϕ=π.
(3)由
(2)知f(x)=2sin⎛2x+π⎫=2cos2x,将f(x)的图象向右平移π个单位后,
2⎪6
得到f⎛x-π⎫的图象,再将横坐标变为原来的4倍,得到g(x)=f⎛x-π⎫,
6⎪ç
46⎪
⎝⎭⎝⎭
4⎪ç
⎪623
所以g(x)=f⎛x-π⎫=2cos⎛x-π⎫,
当2kπ≤x-π≤2kπ+π(k∈Z),即4kπ+2π≤x≤4kπ+8π(k∈Z)时,g(x)的单调递减,
2333
因此g(x)在[0,π]的单调递减区间⎡2π,π⎤.
⎢⎣3⎥⎦
17、已知函数f(x)=Asin⎛ωx+π⎫(A>
0)的部分图象如图所示.
(1)求A,ω的值及f(x)的单调增区间;
(2)求f(x)在区间⎡-π,π⎤上的最大值和最小值.
⎣⎢64⎥⎦
(2)最大值为2,最小值为-1.
(1)由图象可得A=1,最小正周期为T=2⎛2π-π⎫=π,
36⎪
∴ω=2π=2.∴f(x)=sin⎛2x+π⎫,k∈Z,
Tç
πππ
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
36
所以函数f(x)的单调递增区间为⎡-π+kπ
π+kπ⎤,k∈Z.
⎣⎢3,⎥⎦
ππππ2π
(2)∵-≤x≤,∴-≤2x+≤,
64663
∴-1≤sin⎛2x+π⎫≤1,∴-1≤2sin⎛2x+π⎫≤2.
2ç
∴函数f(x)在区间⎡-π,π⎤上的最大值为2,最小值为-1.
18、已知函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)⎛ω>
π⎫的图像与直线y=2两相邻交点之间的距离为π,且图
像关于x=对称.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)先将函数f(x)的图象向左平移π个单位,再将图像上所有横坐标伸长到原来的2倍,得到函数g(x)
的图象.求g(x)的单调递增区间以及g(x)≥的x取值范围.
(1)f(x)=2sin⎛2x-π⎫;
(2)见解析.
(1)由已知可得T=π,ω=π,∴ω=2,
又f(x)的图象关于x=π对称,∴2⋅π+ϕ=kπ+π,∴ϕ=kπ-π,k∈Z
3326
∵-π<
π,∴ϕ=-π.所以,f(x)=2sin⎛2x-π⎫
226
(2)由
(1)可得f(x)=2sin⎛2x-π⎫,∴g(x)=2sin⎛x+π⎫,
πππ2ππ
由2kπ-≤x+≤2kπ+得2kπ-≤x≤2kπ+,
26233
3ππ2π
g(x)的单调递增区间为⎡2kπ-2π,2kπ+π⎤,k∈Z.
⎣⎢33⎥⎦
∵2sin⎛x+π⎫≥
sinx+≥
,∴2kπ+≤x+≤2kπ+,
6⎪2
363
,∴⎛π⎫
⎧ππ⎫
∴⎨x2kπ+6≤x≤2kπ+2,k∈Z⎬.
⎩⎭
19、在已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ),x∈R(其中A>
0,ω>
0,0<
π)的图象与x轴的交点中,相邻
两个交点之间的距离为π,且图象上一个最低点为M⎛2π,-2⎫
3⎪
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈⎡ππ⎤时,求f(x)的值域;
⎢,⎥
⎣122⎦
(3)
求f(x)在⎡0π⎤上的单调区间.
⎣2⎦
(1)f(x)=2sin⎛2x+π⎫;
(2)[-1,2];
(3)见解析.
(1)由最低点为M⎛2π,-2⎫得A=2.由x轴上相邻两个交点之间的距离为π,
3⎪2
得T=π,即T=π,∴ω=2π=2π=2.
22Tπ
由点M⎛2π,-2⎫在图象上得2sin⎛2⨯2π+ϕ⎫=-2,即sin⎛4π+ϕ⎫=-1,
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故4π+ϕ=2kπ-π(k∈Z),∴ϕ=2kπ-11π(k∈Z),
326
又ϕ∈⎛0,π⎫,∴ϕ=π.故f(x)=2sin⎛2x+π⎫.
2⎪6ç
(2)∵x∈⎡π,π⎤,∴2x+π∈⎡π,7π⎤
⎢⎣122⎥⎦6⎢⎣36⎥⎦
当2x+π=π,即x=π时,f(x)取得最大值2;
626
当2x+π=7π,即x=π时,f(x)取得最小值-1,
662
故f(x)的值域为[-1,2].
(3)由y=sinx的单调性知-π≤2x+π≤π,即-π≤x≤π时,f(x)=2sin⎛2x+π⎫单调递增,所以f(x)
26236
在⎡0,π⎤上单调递增,
⎣⎢6⎥⎦
⎢⎥
结合该函数的最小正周期,在⎡π,π⎤上单调递减.
⎣62⎦
20、已知m=⎛3cosx,sinx⎫,n=⎛sinx,sinx⎫,设函数f(x)=m⋅n.
44⎪ç
44⎪
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列,求f(B)的取值范围.
(1)⎡4kπ-2π,4kπ+4π⎤,k∈Z;
(2)⎛01⎤.
⎢33⎥
,⎥
⎣⎦⎝2⎦
(1)f(x)=m⋅n=⎛3cosx,sinx⎫⋅⎛sinx,sinx⎫=sin⎛x-π⎫+1,
44⎪ç
26⎪2
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
令2kπ-π≤x-π≤2kπ+π,则4kπ-2π≤x≤4kπ+4π,k∈Z,
226233
所以函数f(x)的单调递增区间为⎡4kπ-2π,4kπ+4π⎤,k∈Z.
a2+c2-b2a2+c2-ac2ac-ac1
(2)由b2=ac可知cosB==≥=,(当且仅当a=c时取等号),
2ac
2ac2
所以0<
B≤π,-π<
B-π≤0,0<
f(B)≤1,
36262
综上,f(B)的取值范围为⎛01⎤.
⎥
,
⎝2⎦
21、已知函数f(x)=3sinxcosx-cos2x-1.
-π,2π
(1)求f(x)在区间
123
上的最大值和最小值及相应的自变量x的值;
(2)在直角坐标系中做出函数f(x)在区间[0,π]上的图象.
(1)-3-1
(2)
3
1
π-π,7π
(1)f(x)=
sin2x-
cos2x-1=sin
6-1,当x∈
时,2x-∈
36.
故当2x-
=,即x=
时,f(x)在区间
上取得最大值0,当2x-=-
63
,即x=-
时,f(x)
在区间
上取得最小值-
-1.
π-π,11π
(2)当x∈[0,π]时,2x-∈66.
列表:
x
π12
π3
7π12
5π6
-π
π2
3π2
11π6
f(x)
-3
-1
-2
描点、连线,得所求图象如图所示:
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- 考点19 函数yAsinx+的图像解析版 考点 19 函数 yAsin 图像 解析