离散数学形成性考核作业4教学资料Word下载.docx
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设A(x):
x是人
B(x):
去工作
x(A(x)^
B(x))
4.请将语句“所有人都努力学习.”翻译成谓词公式.
努力工作
x(A(x)^B(x))
二、计算题
1.设A={{1},{2},1,2},B={1,2,{1,2}},试计算
(1)(A-B);
(2)(A∩B);
(3)A×
B.
解:
(1)(A-B)={{1},{2}}
(2)(A∩B)={1,2}
(3)A×
B{<
{1},1>
<
{1},2>
{1},{1,2}>
{2},1>
{2},2>
{2},{1,2}>
1,1>
1,2>
1,{1,2}>
2,1>
2,2>
2,{1,2}>
}
2.设A={1,2,3,4,5},R={<
x,y>
|x∈A,y∈A且x+y≤4},S={<
|x∈A,y∈A且x+y<
0},试求R,S,R∙S,S∙R,R-1,S-1,r(S),s(R).
R={<
1,3>
3,1>
S=Φ
R∙S=Φ
S∙R=Φ
R-1={<
S-1=Φ
r(S)={<
3,3>
4,4>
5,5>
s(R)={<
3.设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系,B={2,4,6}.
(1)写出关系R的表示式;
(2)画出关系R的哈斯图;
(3)求出集合B的最大元、最小元.
(1)R={<
1,4>
1,5>
1,6>
1,7>
1,8>
2,4>
2,6>
2,8>
3,6>
4,8>
6,6>
7,7>
8,8>
(2)
(3)集合B没有最大元,最小元是2
4.设G=<
V,E>
,V={v1,v2,v3,v4,v5},E={(v1,v3),(v2,v3),(v2,v4),(v3,v4),(v3,v5),(v4,v5)},试
(1)给出G的图形表示;
(2)写出其邻接矩阵;
(3)求出每个结点的度数;
(4)画出其补图的图形.
(1)
°
°
(2)
(3)
1、
2、
4、
3、
2
(4)°
5.图G=<
V,E>
,其中V={a,b,c,d,e},E={(a,b),(a,c),(a,e),(b,d),(b,e),(c,e),(c,d),(d,e)},对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5,试
(1)画出G的图形;
(2)写出G的邻接矩阵;
(3)求出G权最小的生成树及其权值.
bc
(1)。
。
21
a。
64
213
e5d
(3)bc
。
21a。
1
3
ed
其权值为:
7
6.设有一组权为2,3,5,7,17,31,试画出相应的最优二叉树,计算该最优二叉树的权.
65
1748
512
1731
2357
权值为65。
7.求P→Q∨R的析取范式,合取范式、主析取范式,主合取范式.
┐P∨(Q∨R)=┐P∨Q∨R
所以合取范式和析取范式都是┐P∨Q∨R
所以主合取范式就是┐P∨Q∨R
所以主析取范式就是(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧⌝R)(⌝P∧Q∧R)∨(P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)
8.设谓词公式
.
(1)试写出量词的辖域;
(2)指出该公式的自由变元和约束变元.
(1)量词∃x的辖域为P(x,y)→(∀z)Q(y,x,z)
量词∀z的辖域为Q(y,x,z)
量词∀y的辖域为R(y,x)
(2)P(x,y)中的x是约束变元,y是自由变元
Q(y,x,z)中的x和z是约束变元,y是自由变元
R(y,x)中的x是自由变元,y是约束变元
9.设个体域为D={a1,a2},求谓词公式(∀y)(∃x)P(x,y)消去量词后的等值式;
∀y∃xP(x,y)=∃xP(x,a1)∧∃xP(x,a2)
=(P(a1,a1)∨P(a2,a1))∧(P(a1,a2)∨P(a1,a2))
三、证明题
1.对任意三个集合A,B和C,试证明:
若A⨯B=A⨯C,且A≠
,则B=C.
证明:
设x∈A,y∈B,则<
∈A⨯B,
因为A⨯B=A⨯C,故<
∈A⨯C,则有y∈C,
所以B⊆C.
设x∈A,z∈C,则<
x,z>
∈A⨯C,
∈A⨯B,则有z∈B,所以C⊆B.
故得A=B.
2.试证明:
若R与S是集合A上的自反关系,则R∩S也是集合A上的自反关系.
R1和R2是自反的,∀x∈A,<
x,x>
∈R1,<
∈R2,则<
∈R1∩R2,
所以R1∩R2是自反的.
3.设连通图G有k个奇数度的结点,证明在图G中至少要添加
条边才能使其成为欧拉图.
证明:
由定理推论知:
在任何图中,度数为奇数的结点必是偶数个,则k是偶数。
又由欧拉图的充要条件是图G中不含奇数度结点。
因此,只要在每对奇数度结点间各加一条边,使图G的所有结点的度数变为偶数,成为欧拉图。
故最少要加
条边才能使其成为欧拉图。
4.试证明(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q与⌝(P∨⌝Q)等价.
证:
(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔(⌝P∨(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q
⇔(⌝P∨Q∨⌝R)∧⌝P∧Q
⇔(⌝P∧⌝P∧Q)∨(Q∧⌝P∧Q)∨(⌝R∧⌝P∧Q)
⇔(⌝P∧Q)∨(⌝P∧Q)∨(⌝P∧Q∧⌝R)
⇔⌝P∧Q(吸收律)
⇔⌝(P∨⌝Q)(摩根律)
5.试证明:
⌝(A∧⌝B)∧(⌝B∨C)∧⌝C⇒⌝A.
①
前提引入;
②
③
①②析取三段论;
④
⑤
置换;
④
⑥
③⑤析取三段论。
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