第3章振动系统的运动微分方程题解Word格式.docx

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解：

系统具有一个自由度，选为广义坐标。

半圆柱体在任意位置的动能为：

用瞬心法求：

故

系统具有理想约束，重力的元功为

应用动能定理的微分形式

等式两边同除，

，等式两边同除

故微分方程为

①

若为小摆动，，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为

要点及讨论

（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。

系统的受力图与运动分析图如图（b）所示。

列写微分方程

上述方程包含，，，，五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。

建立质心坐标与广义坐标之间的关系

，

所以

运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力，，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。

因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。

（2）本题也可用机械能守恒定律求解。

系统的动能

选半圆柱体中心O1所在平面为零势面，系统的势能

由

两边对时间求导数，即可得到与式①相同的运动微分方程。

3-3均质杆AB，长l，质量为m，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。

设水平面也为光滑的。

列写该系统的运动微分方程。

题3-3图

系统在任一位置的动能为

由瞬心法求质心的速度

，，

系统的主动力图为图（a）所示。

重力的元功为

由动能定理

系统的运动微分方程为

（1）平面运动刚体可用式计算刚体动能，式中为刚体对瞬心的转动惯量，为质心与瞬心间的距离。

在本题中质心的速度也可用式计算。

（2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。

广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角为广义坐标，正方向如图（b）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。

如质心C的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为

主动力的元功

根据动能定理建立的方程为

“—”号说明当取正值时为负，即反时针方向。

（3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。

3-4如题3-4图所示，均质圆柱体质量为m，半径为r，沿倾斜角为的三角块作无滑动滚动，质量为M的三角块置于光滑的水平面上。

题3-4图

系统具有两个自由度，选为广义坐标。

系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒：

，水平方向动量守恒。

整理后可分别列写两个方程

②

式中①②为系统微分方程的首次积分，对时间求导后，即可得到系统运动微分方程。

（1）在理想约束的情况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给出了系统的速度（或角速度）与位移（或角位移）之间的关系，对时间求导一次可得到系统的运动微分方程。

（2）用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为：

①分析系统受力，在理想约束的情况下只有主动力作功，所以一般在受力图上只画主动力。

②建立广义坐标，确定其原点和正方向；

分析系统运动，重点是分析速度（角速度），将速度（角速度）用广义速度表示。

③计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。

④计算力的功，若用积分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上的功，若用微分形式的动能定理，则计算力的元功。

⑤应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。

（3）在理想约束、主动力又为势力的情况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。

（4）对于多自由度系统，如两个自由度系统，动能定理只给出一个方程，必须与其他定理，如动量定理或动量矩定理联合应用，才能得到另外一个方程。

3-5题3-5图所示为刚性建筑模型。

刚性基础质量为m，刚性建筑的质量为M，对质心C的转动惯量为IC。

两刚体在O处铰接并附有刚度系数为k1的扭转弹簧。

其他参数如图示。

设地基有水平运动z（t），试建立系统微幅运动微分方程。

图中。

题3-5图

应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时，首先要画出每个刚体的受力图，如题3-5图（b）、（c）所示。

对于图（b），建立刚体的水平运动微分方程为

（1）

对于图（c）：

建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程为

（2）

（3）

（4）

其中xC、yC及x均是对固定坐标系的坐标，同时考虑到微小运动的假说，于是有

（5）

（6）

由方程

（1）、

（2）消去未知力，FOx并考虑式（5）得

（7）

又由方程

（2）、（3）和（4）消去未知力FOy、FOx，并考虑式（5）和（6），得

（8）

方程（7）和（8）为系统微幅运动微分方程，若令x和q为确定系统位置的广义坐标，写为矩阵形式

那么，方程（7）和（8）改写为矩阵形式如下：

（9）

由此例题可以看出，应用牛顿矢量力学建立系统的运动微分方程，一定要画受力图，于是必然要涉及未知约束力，因此较为繁琐，特别是该例中的组合刚体系统更是如此。

然而对于多自由度系统，应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。

另解：

由动静法得,以整体为研究对象

以M为研究对象：

又忽略高阶小量，所以以上两式化简后得：

化成矩阵形式为：

3-6题3-6图所示两端简支的均匀梁，已知弯曲刚度为EI，单位长度的质量为m，分布载荷为F（y,t）。

试用哈密顿原理求运动方程。

若梁的挠曲函数为w（y,t），则动能为

（a）

应变（势能）为

题3-6图

（b）

外力功为（c）

将式（a）、式（b）与式（c）代入变分式

（d）

得到

（e）

对式（e）进行分部积分运算，得到

（f）

由于，时，哈密顿原理要求dw=0，因而式（f）变为

因为，t1与t2区间的虚位移dw不可能为零，由此，得到梁的边界条件

（h）

与运动方程

（i）

两端简支的梁，显然是满足边界条件式（h）的。

3-7应用拉格朗日方程导出题4-7图所示系统的运动微分方程。

题3-7图

取各质量偏离其平衡位置的x1、x2、x3、x4为广义坐标。

即

则系统的动能

系统的势能为

计算拉格朗日方程中的各项导数如下：

将以上各项导数代入拉格朗日方程得

写成矩阵形式

质量矩阵

刚度矩阵

位移列阵

（a）（b）

题3-8图

3-8在地震研究中，建筑物可简化为支承在两弹簧上的质量为m的刚体，其中直线弹簧的弹性系数为k，扭转弹簧的弹性系数为kT，如题3-8图所示。

设IG为建筑物相对质心G的转动惯量，试利用坐标x（相对于平衡位置的直线运动）及描述建筑物转动的坐标q，求出运动方程。

运动的分离体图如图（b）所示。

地震中可设q为微小角度，因此

因此运动方程为

如果则

则频率方程为

动静法得。

以刚体m为研究对象：

图中：

kx、m应反向。

方程应为

3-9为了使结构隔离机器产生的振动，将机器安装在一很大的机座上，机座由弹簧支承，如题3-9图所示。

试求机座在图示平面内的运动方程。

题3-9图

选择坐标q1、q2、q3，这些坐标已能完全描述该系统的运动，并相互独立。

设机器和机座的总质量为M，总质量对质心G点的惯性矩为IG，则

式中，V为贮存在弹簧中的势能。

有：

由拉格朗日方程得

则运动方程为

因此系统具有三坐标耦合的运动方程。

假定，由频率方程可求出系统的各阶固有频率。

3-10题3-10图是一个带有附有质量m1和m2上的约束弹簧的双摆，采用质量的微小水平平动x1和x2为坐标，写出系统运动的作用力方程。

利用刚度影响系数法求刚度矩阵。

设，分别画出与的受力图，并施加二物块力，列平衡方程，

对：

，题3-10图

设，分别画出与的受力图，并施加二物块力，列

平衡方程，

，

由，，，，，

，解得，

，，，

得作用力方程为

3-11题3-11图为一刚性杆竖直支承于可移动的支座上，刚杆顶面和底面受水平弹簧的约束，质心C上受水平力PC和扭矩MC的作用。

设刚杆长度、横截面积和质量密度分别为l、A及，以质心C的微小位移xC与为坐标，列出系统运动的作用力方程。

题3-11图

设质心的水平位移与相对于质心的转角为广义坐标。

设，画出受力图，并施加物体力与力偶，列平衡方程，

题3-12图

3-12题3-12图是两层楼建筑框架的示意图，假设梁是刚性的，框架中各根柱为棱柱形，下层弯曲刚度为EJ1，上层为EJ2，采用微小水平运动x1及x2为坐标，列出系统运动的位移方程。

由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等效刚度为，由此可将题3-12图等效为（a）图，其中

广义坐标如图（a）示。

设，画出受力图，并施加物体力，列平衡方程，可得到

同理可求得。

最后求得刚度矩阵为

=

由刚度矩阵求逆得到柔度矩阵为

得到系统的位移方程为

也可由柔度影响系数法求柔度矩阵。

即，对图（a）中的施加单位力，而不受力，此时第一个弹簧变形为，第二个弹簧变形为零。

由此可得位移为，

同理求出，。

最后得到柔度矩阵为

（1）求刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]

在各楼层处附加水平链杆，并分别使各层产生一单位位移。

由各层的剪力平衡条件，可求得各刚度影响系数，其数值分别如图3-13（b）、（c）所示。

得刚度矩阵为

质量矩阵为

图3-13

（2）频率分析

引入符号

（c）

则由式（3-12）知

展开上述频率方程，得

解得式（e）的两个根为

将式（f）代入式（c），可得两个自振频率

（g）

（3）振型分析

由振幅方程得

两个振型的大致形状如图3-13（a）、（b）所示。