高考数学大一轮复习第十章统计与统计案例101抽样方法学案文北师大版Word格式文档下载.docx
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C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本
答案 A
解析 由题目条件知,5000名居民的阅读时间的全体是总体;
其中1名居民的阅读时间是个体;
从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本,样本容量是200.
3.某公司有员工500人,其中不到35岁的有125人,35~49岁的有280人,50岁以上的有95人,为了调查员工的身体健康状况,从中抽取100名员工,则应在这三个年龄段分别抽取人数为( )
A.33,34,33B.25,56,19
C.20,40,30D.30,50,20
答案 B
解析 因为125∶280∶95=25∶56∶19,
所以抽取人数分别为25,56,19.
4.某班共有52人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知3号,29号,42号学生在样本中,那么样本中还有一个学生的学号是( )
A.10B.11
C.12D.16
答案 D
解析 从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13,所以样本中还有一个学生的学号是16,故选D.
题组三 易错自纠
5.从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编号可能是( )
A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43
C.1,2,3,4,5D.2,4,6,16,32
解析 间隔距离为10,故可能的编号是3,13,23,33,43.
6.从300名学生(其中男生180人,女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛,则应该抽取的男生人数为________.
答案 30
解析 因为男生与女生的比例为180∶120=3∶2,
所以应该抽取的男生人数为50×
=30.
题型一 简单随机抽样
1.某班级有男生20人,女生30人,从中抽取10人作为样本,其中一次抽样结果是:
抽到了4名男生,6名女生,则下列命题正确的是( )
A.这次抽样中可能采用的是简单随机抽样
B.这次抽样一定没有采用系统抽样
C.这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率
D.这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率
解析 利用排除法求解.这次抽样可能采用的是简单随机抽样,A正确;
这次抽样可能采用系统抽样,男生编号为1~20,女生编号为21~50,间隔为5,依次抽取1号,6号,…,46号便可,B错误;
这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率,C和D均错误,故选A.
2.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08B.07C.02D.01
解析 由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.
3.下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的个数为( )
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本;
②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里;
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验;
④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
A.0B.1C.2D.3
解析 ①不是简单随机抽样.
②不是简单随机抽样.由于它是放回抽样.
③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取.
④不是简单随机抽样.因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的,不存在随机性,不是等可能抽样.
思维升华应用简单随机抽样应注意的问题
(1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:
一是抽签是否方便;
二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.
(2)在使用随机数法时,如遇到三位数或四位数,可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起,每三个或四个作为一个单位,自左向右选取,有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.
题型二 系统抽样
典例
(1)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:
分钟)的茎叶图如图所示:
13
3
4
5
6
8
9
14
1
2
7
15
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )
A.3B.4C.5D.6
解析 由题意知,将1~35号分成7组,每组5名运动员,成绩落在区间[139,151]内的运动员共有4组,故由系统抽样法知,共抽取4名.故选B.
(2)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( )
A.11B.12C.13D.14
解析 由
=20,即每20人抽取1人,所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为
=
=12.
引申探究
1.若本例
(2)中条件不变,若号码“5”被抽到,那么号码“55”________被抽到.(填“能”或“不能”)
答案 不能
解析 若55被抽到,则55=5+20n,n=2.5,n不是整数.故不能被抽到.
2.若本例
(2)中条件不变,若在编号为[481,720]中抽取8人,则样本容量为________.
答案 28
解析 因为在编号[481,720]中共有720-480=240人,又在[481,720]中抽取8人,
所以抽样比应为240∶8=30∶1,又因为单位职工共有840人,所以应抽取的样本容量为
=28.
思维升华
(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大.
(2)使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,可以先从总体中随机地剔除几个个体,从而确定分段间隔.
(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法,一旦起始编号确定,其他编号便随之确定.
跟踪训练将参加夏令营的600名学生按001,002,…,600进行编号.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,则三个营区被抽中的人数依次为( )
A.26,16,8B.25,17,8
C.25,16,9D.24,17,9
解析 由题意及系统抽样的定义可知,将这600名学生按编号依次分成50组,每一组各有12名学生,第k(k∈N+)组抽中的号码是3+12(k-1).令3+12(k-1)≤300,得k≤
,因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25;
令300<
3+12(k-1)≤495,得
<
k≤42,因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42-25=17;
第Ⅲ营区被抽中的人数为50-25-17=8.
题型三 分层抽样
命题点1 求总体或样本容量
典例
(1)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n等于( )
A.9B.10C.12D.13
解析 ∵
,∴n=13.
(2)某市电视台为调查节目收视率,想从全市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.已知3个区人口数之比为2∶3∶5,如果最多的一个区抽出的个体数是60,那么这个样本的容量为( )
A.96B.120
C.180D.240
解析 设样本容量为n,则
,
解得n=120.
命题点2 求某层入样的个体数
典例
(1)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师的人数为( )
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A.90B.100C.180D.300
答案 C
解析 由题意得抽样比为
∴该样本中的老年教师的人数为900×
=180.
(2)(xx·
重庆一诊)我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题:
今有北乡八千一百人,西乡七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,则北乡遣( )
A.104人B.108人
C.112人D.120人
解析 由题意可知,这是一个分层抽样的问题,其中北乡可抽取的人数为300×
=300×
=108,故选B.
思维升华分层抽样问题类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量:
按该层所占总体的比例计算.
(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之:
根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算.
(3)确定是否应用分层抽样:
分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.
跟踪训练
(1)(xx·
南昌一模)某校为了了解学生学习的情况,采用分层抽样的方法从高一1000人,高二1200人,高三n人中抽取81人进行问卷调查,已知高二被抽取的人数为30,那么n等于( )
A.860B.720
C.1020D.1040
解析 分层抽样是按比例抽样的,
所以81×
=30,解得n=1040.
(2)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________.
答案 200,20
解析 该地区中小学生总人数为
3500+2000+4500=10000,
则样本容量为10000×
2%=200,其中抽取的高中生近视人数为2000×
2%×
50%=20.
五审图表找规律
典例(12分)某单位有2000名职工,老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中,如下表所示:
管理
技术开发
营销
生产
共计
老年
40
80
200
中年
120
160
240
600
青年
280
720
1200
320
480
1040
2000
(1)若要抽取40人调查身体状况,则应怎样抽样?
(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,则应怎样抽选出席人?
(3)若要抽20人调查对天津全运会举办情况的了解,则应怎样抽样?
抽取40人调查身体状况
↓(观察图表中的人数分类统计情况)
样本人群应受年龄影响
↓(表中老、中、青分类清楚,人数确定)
要以老、中、青分层,用分层抽样
↓
要开一个25人的座谈会
↓(讨论单位发展与薪金调整)
样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响
↓(表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚,人数确定)
要以管理、技术开发、营销、生产人员分层,用分层抽样
要抽20人调查对天津全运会举办情况的了解
↓可认为全运会是大众体育盛会,一个单位人员对情况了解相当
将单位人员看作一个整体
↓(从表中数据看总人数为2000)
人员较多,可采用系统抽样
规范解答
解
(1)按老年、中年、青年分层用分层抽样法抽取,[1分]
抽取比例为
.[2分]
故老年人、中年人、青年人各抽取4人,12人,24人.[4分]
(2)按管理、技术开发、营销、生产分层用分层抽样法抽取,[5分]
,[6分]
故管理、技术开发、营销、生产各部门分别抽取2人,4人,6人,13人.[8分]
(3)用系统抽样,
对全部2000人随机编号,号码从0001~xx,每100号分为一组,从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码,然后将这个号码分别加100,200,…,1900,共20人组成一个样本.[12分]
1.某工厂平均每天生产某种机器零件10000件,要求产品检验员每天抽取50件零件,检查其质量状况,采用系统抽样方法抽取,将零件编号为0000,0001,0002,…,9999,若抽取的第一组中的号码为0010,则第三组抽取的号码为( )
A.0210B.0410C.0610D.0810
解析 将零件分成50段,分段间隔为200,因此,第三组抽取的号码为0010+2×
200=0410,故选B.
2.(xx·
榆林月考)打桥牌时,将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌后,开始按次序搬牌,对任何一家来说,都是从52张总体中抽取一个13张的样本,则这种抽样方法是( )
A.系统抽样B.分层抽样
C.简单随机抽样D.非以上三种抽样方法
解析 符合系统抽样的特点,故选A.
3.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A.
B.
C.
D.
解析 在抽样过程中,个体a每一次被抽中的概率是相等的,因为总体容量为10,故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为
,故选A.
4.(xx·
长沙一中测试)某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为( )
A.100B.150C.200D.250
解析 方法一 由题意可得
,解得n=100.
方法二 由题意,得抽样比为
,总体容量为3500+1500=5000,故n=5000×
=100.
5.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为( )
A.7B.9C.10D.15
解析 由系统抽样的特点知,抽取号码的间隔为
=30,抽取的号码依次为9,39,69,…,939.落入区间[451,750]的有459,489,…,729,这些数构成首项为459,公差为30的等差数列,设有n项,显然有729=459+(n-1)×
30,解得n=10.所以做问卷B的有10人.
6.福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02,…,33的33个个体组成,某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号,选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个红色球的编号为( )
49
54
43
82
17
37
93
23
78
87
35
20
96
84
26
34
91
64
57
24
55
06
88
77
04
74
47
67
21
76
33
50
25
83
92
12
A.23B.09
C.02D.17
解析 从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02,故选出的第6个红色球的编号为02.
7.(xx·
雅礼中学月考)某中学教务处采用系统抽样方法,从学校高三年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查.现将1000名学生从1到1000进行编号,求得间隔数k=20,即分50组每组20人.在第一组中随机抽取一个号,如果抽到的是17号,则第8组中应抽取的号码是( )
A.177B.157
C.417D.367
解析 根据系统抽样的特点可知,抽取出的编号成首项为17,公差为20的等差数列,所以第8组应抽取的号码是17+(8-1)×
20=157.
8.将某班的60名学生编号为01,02,…,60,采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本,且随机抽得的一个号码为04,则剩下的四个号码依次是______________.
答案 16,28,40,52
解析 编号组数为5,间隔为
=12,
因为在第一组抽得04号,
所以4+12=16,16+12=28,28+12=40,40+12=52,
所以其余4个号码依次为16,28,40,52.
9.(xx·
江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取________件.
答案 18
∴应从丙种型号的产品中抽取
×
300=18(件).
10.(xx·
潍坊模拟)某高中在校学生有2000人.为了响应“阳光体育运动”的号召,学校开展了跑步和登山的比赛活动.每人都参与而且只能参与其中一项比赛,各年级参与比赛的人数情况如下表:
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
其中a∶b∶c=2∶3∶5,全校参与登山的人数占总人数的
.为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个200人的样本进行调查,则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________.
答案 36
解析 根据题意可知,样本中参与跑步的人数为200×
=120,所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×
=36.
11.200名职工年龄分布如图所示,从中随机抽取40名职工作样本,采用系统抽样方法,按1~200编号,分为40组,分别为1~5,6~10,…,196~200,若第5组抽取号码为22,则第8组抽取号码为________.若采用分层抽样,40岁以下年龄段应抽取________人.
答案 37 20
解析 将1~200编号分为40组,则每组的间隔为5,其中第5组抽取号码为22,则第8组抽取的号码应为22+3×
5=37;
由已知条件得,200名职工中40岁以下的职工人数为200×
50%=100,设在40岁以下年龄段中应抽取x人,则
,解得x=20.
12.一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2,…,99.依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,…,10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第1组中随机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码的个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6,则在第7组中抽取的号码是________.
答案 63
解析 m=6,则在第7组中抽取的号码的个位数字与13的个位数字相同,而第7组中数字编号依次为60,61,62,63,…,69,故在第7组中抽取的号码是63.
13.(xx·
宁夏中卫二模)某市教育主管部门为了全面了解xx届高三学生的学习情况,决定对该市参加xx年高三第一次全省统一考试(后称统考)的32所学校进行抽样调查.将参加统考的32所学校进行编号,依次为1到32,现用系统抽样法抽取8所学校进行调查,若抽到的最大编号为31,则最小编号是( )
A.3B.1C.4D.2
解析 根据系统抽样的特点可知,总体分成8组,组距为
=4,若抽到的最大编号为31,则最小编号是3.
14.为调查德克士各分店的经营状况,某统计机构用分层抽样的方法,从A,B,C三个城市中抽取若干家德克士分店组成样本进行深入研究,有关数据见下表:
(单位:
个)
城市
德克士
抽取数量
A
B
C
39
则样本容量为________.
答案 6
解析 设所求的样本容量为n,由题意得
,解得n=6.
15.(xx·
泉州质检)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度,其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人,按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运
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