高考数学理之数列专题11数列的通项叠加法累乘法求通项解析版Word格式文档下载.docx
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5.递推公式推导通项公式方法:
1)叠加法:
an1anf(n)
4)待定系数法:
an1panqn(其中p,q均为常数,(pq(p1)(q1)0)).(或an1panrqn,
其中p,q,r均为常数)
qn1,得:
ann11
p
an
n
1,令bn
aqnn,得:
bn1pbn
1
1,再按
q
解法:
在原递推公式两边同除以
5)待定系数法:
第(3)种情况求解
an1pananb(p1,0,a0)
解出x,y,从而转化为anxny是公比为p的等比数列.
2
6)待定系数法:
an1panan2bnc(p0,1,a0)
7)待定系数法:
an2pan1qan(其中p,q均为常数).
解.
第(3)种情况求解.).
类型1an1anf(n)
答案】
已知数列an满足a12,an1nan,求an。
n13n1n1nn
,a21=
【分析】根据所给的关系式,
依次令
n=1、2、
⋯、20列出
20个式子,
再将
20个式子相乘化简,根据
比数列的性质和条件求出
a21的值
【解答】解:
由ban1
得:
b1
a2,b2
a3b
,b3
a4,⋯,
b20
a21.
nan
a1
a2
a3
a20
以上20个式子相乘得,b1b2b3b
20
a3a4
a21
a2a3
∵数列{bn}为等比数列,且b10?
b11=2,数列{an}的首项为1,∴210=21,a1
∴a21=1024,∵b10?
b11=2,∴b7b14=2,
【答案】:
2,1024.
2.【2019优选题】已知数列{an}中,a120,an1an2n1,nN*,则数列{an}的通项公式an
【解析】由题意an1an
2n
1可得
:
an1
2n1,
an1
2n11,
an1an22n
21,an2
an3
3
1,K,
a241
,a2
a12
1,a120.
将以上各式相加得:
an2n1
3L
21
20=n2
【答案】n22n
3.【2016江西】在数列{an}中,a1
2,
a
nln(1
1n),
则an
(
)
A.2lnn
B.2(n
1)lnn
C.2
nlnn
D.
1n
lnn
【解析】a2a1
ln2
a3a2
ln
所以有:
ana1ln2
答案】A
4.【2019优选题】
已知数列
an满足a1
an1an10(n
N),则此数列的通项an等于()
A.n21
B.n1
C.1n
D.
3n
【解析】法一:
由
an1an
1得,数列
是以2为首项,-
1为公差的等差数列所以有ann3,
也可用叠加法.
法二:
由an1a
n10可得an1an
1,
所以有anan1
1,an1an21,an2an31,
La2a11。
将上面的式子相加可得
a1n
n1,所以有ann3.
【答案】D
5.【2018年广东】已知数列an中a1
2,(n
2)an1
(n
1)an
0(nN),求数列an的通项公式
【解析】由(n2)an1(n1)an0
得an
ann2
an2
a2a
n1n
24
,
nn
4
3n1
N
6.【
2016山西】
满足a1
1,an
an13
1(n
2),
求数列an的通项公式
解析】由anan13n1可得,
7.【2019优选题】已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点(an,an1)(nN*)在函数y=x2+1的图象上.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若列数{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2an,求证:
bn·
bn+2<
b2n+1.
【解析】解法一:
(Ⅰ)由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1,又a1=1,所以数列{an}是以1为首项,公差为1的等差数列.故an=1+(a-1)×
1=n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:
an=n从而bn+1-bn=2n.则bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+·
·
(·
b+2-b1)+b1
nn12nn
=2n-1+2n-2+·
+2+1==2n-1.
12
因为bn·
nb+2-b2n1=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-5·
n2+4·
n2=-2n<
0,所以bn·
nb+2<
bn21,解法二:
(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)因为b2=1,
2nn+12
bn·
bn+2-bn21=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b2n1
=2n+1·
bn+1-2n·
nb+1-2n·
n2+1=2n(bn+1-2n+1)=2n(bn+2n-2n+1)=2n(bn-2n)=⋯=2n(b1-2)=-2n<
0,所以bn·
b2n+1.
8.【2019优选题】数列an中,a12,an1ancn(c是常数,n1,2,3,L),且a1,a2,a3成公
比不为1的等比数列.(I)求c的值;
(II)求an的通项公式.
【解析】
(I)a12,a22c,a323c,
因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2c)22(23c),解得c0或c2.
当c0时,a1a2a3,不符合题意舍去,故c2.
(II)当n≥2时,由于
a2a1c,
2c,
1)c,
所以
[12L
1)]c
n(n1)c.
2.
又a1
,c
2,故an
n(n
1)n2n2(n2,3,L).
当n1时,上式也成立,
2n
n2(n
1,2,L
0,若点An(n,n1)(nan
2的自然数n
均有:
1.
a11,对于大于或等于
(1)求C的方程;
(2)求an
的通项公式.
(1)
设C的方程为
y
ax
b,f
(1)
b
又∵
An在C上
,∴
na1
而an1
an1,
(na
1)[a(n
1)
1]
∴a1
∴C的方程为y
x
(2)∵
an1n
2,a3
3,
a4
4,
Lan
L,n,
以上n1个等式相乘得:
an123Ln又a11∴ann!
a1
2.若在数列an中,a13,an1an3,求通项an.
可用等差数列求通项.
由an1
3得,an1an
3,所以有:
a2a1
3,a3a2
M
将各式相加得:
3(n1)
所以可得通项为:
ana13(n1)
即:
an3n6(nN)
3.若在数列an中
,a1
n,求通项
an.
【解析】由an1
n得,
所以anan1
an1an2
n2
⋯,a2a1
将以上各式相加得
(n1)
(n2)
又a13所以an=
3.即:
n21
22
3(nN)
2n1,得an1
an2)L
(a3a2)
(a2
a1)
2)1]L
(22
(21
4.已知数列{an}满足an1
1](n1)1
1)1
an2n1,a11,求数列{an}的通项公式
an(anan1)(an1[2(n1)1][2(n2[(n1)(n2)L22(n1)n(n1)1
(n1)(n1)1
因为an1
5n
an,
a13,所以an0,则an125n,故
nan1L
1an2
(2
5n1)(2
5n2)
L
52)(251)3
n1(n1)(n2)L215
n(n1)
32n152
所以数列{an}的通项公式为
an32n1
52
8.已知数列{an}满足a11,
ana12a2
3a3
1)an1(n2),求{an}的通项公式
【解析】因为ana12a2
3a3L(n
2)
①
所以an1a12a23a3
L(n1)an1
nan
②
(an
(an1
)L
3n1
3n2
2(3
32
31)
3(1
3n1
1.(nN
).
用②式-①式得an1an
nan.则an1
(n1)an(n
2),故aann1
n1(n2).所以
anan1
[n(n1)L43]a2③
由ana12a23a3L(n1)an1(n2),取n2得a2a12a2,则a2a1,又知a11,则a21,
代入③得an1345Ln.本题解题的关键是把递推关系式an1(n1)an(n2)转化为an1n1(n2),进而求出anan1La3a2,从而可得当n2时,an的表达式,最后再求出数anan1an2a2
列{an}的通项公式.
所以,{an}的通项公式为an1345Ln或ann!
.
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- 高考 学理 数列 专题 11 叠加 乘法 求通项 解析