《特殊平行四边形》第一课时参考教案Word文件下载.docx
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第二张:
定理(记作投影片§
3.2.1B)
第三张:
议一议(记作投影片§
3.2.1C)
第四张:
例题(记作投影片§
3.2.1D)
第五张:
小明的解法(记作投影片§
3.2.1E)
教学过程
Ⅰ.巧设现实情境,引入新课
[师]上两节课我们探讨了平行四边形的性质定理及判定定理.下面我们来共同回忆总结:
[师生共析](学生总结,教师补充)(出示投影片§
已知一个四边形是平行四边形,则有:
对边平行、对边相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分
两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、
两组对角分别相等、对角线互相平分
[师]了解了平行四边形后,你还了解哪些特殊的平行四边形?
[生]特殊的平行四边形有矩形、菱形和正方形.
[师]还记得它们与平行四边形的关系吗?
能用一张图来表示它们之间的关系吗?
[生]有一个角是直角的平行四边形是矩形;
有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
而有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.由此看来,矩形、菱形、正方形都是平行四边形,它们都是有特殊性质的平行四边形.正方形不仅是特殊的平行四边形,而且也是特殊的矩形、特殊的菱形.所以可用下图来表示它们之间的关系:
(随学生的叙述,教师播放投影,使学生进一步了解它们的关系)
[师]它们既然是平行四边形,就具有平行四边形的性质.又因为它们是特殊的平行四边形,所以它们又具有各自的独特性质.
今天我们先来研究矩形的特殊性质.
Ⅱ.讲授新课
[师]前面我们已探讨过矩形的性质,还记得吗?
[生]矩形的四个角都是直角;
矩形的对角线相等.
[师]很好,那你能证明它们吗?
[生]能.
[师]好,大家先来独自证明,然后与同伴交流你的证明思路.
[生甲]已知四边形ABCD是矩形.
求证:
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
.
证明:
∵四边形ABCD是//四边形,
∴∠A=90°
,四边形ABCD是.
∴∠A=∠C,∠B=∠D.
∠A+∠D=180°
∴∠B=∠C:
∠D=∠A=90°
[生乙]已知矩形ABCD,求证:
AC=DB.
证明:
在矩形ABCD中,
∵∠ABC=∠DCB=90°
,(矩形的四个角都是直角)
AB=DC,(平行四边形的对边相等)
BC=CB,
∴△ABC≌DCB.
∴AC=DB.
[师]很好,我们证明矩形的第一个性质时,用到了矩形的定义及平行四边形的性质;
证明第二个性质时,用到了矩形的第一个性质、平行四边形的性质及全等三角形.我们通过逻辑推理证得了矩形的这两个性质,把它们称为定理.即(出示投影片§
定理:
矩形的四个角都是直角.
∵矩形ABCD,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=DB.
[师]接下来,我们来想一想,议一议.(出云投影片§
如图,设矩形的对角线AC与BD的交点为E,那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?
它与AC有什么大小关系?
为什么?
[生]因为四边形ABCD是矩形,所以四边形ABCD也是平行四边形.因此,对角线AC与BD互相平分.即AE=EC,BE=DE.又因为四边形ABCD是矩形,所以AC=BD,因此BE=
BD=
AC.故BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线,它与AC的大小关系为BE=
AC.
[师]很好,那你能用一句话概括你所得到的结论吗?
[生]直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
[师]这个结论是由矩形的性质得到的,因此我们可以把它称之为推论.那你能用推理的方法来证明它吗?
如图,已知BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线.
BE=
分析:
要证明这个结论,可构造辅助图形——矩形,所以可以过点A作BC的平行线,也可以延长BE到D,使DE=BE,然后证明四边形ABCD是矩形.再利用“矩形的对角线相等且互相平分”即可证明结论.
过点A作BC的平行线与BE的延长线交于点D,连接CD.(如图)
则∠DAE=∠BCE.
∵BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线,
∴AE=EC.
又∵∠AED=∠CEB,
∴△AED≌△CEB.
∴AD=BC.
∵AD//BC.∠ABC=90°
,
∴四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD,BE=ED=
BD.
∴BE=
[师]我们通过推理进一步得证了这个结论是正确的.那么我们以后就可直接应用了.
∵BE是Rt△ABC的AC上的中线,
下面我们来通过一个例题进一步熟悉掌握矩形的性质(出示投影片§
3.2.1D)[例题]如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,已知∠AOD=120°
,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.
分析:
欲求对角线的长,由于∠BAD=90°
或∠ABC=90°
,AB=4cm,则只要再找出Rt△ABD中一条直角边或一个锐角的度数,再从已知条件∠AOD=120°
出发,应用矩形的性质可知
∠ADB=30°
,这样即可求出对角线的长.
解:
∴AC=BD,且OA=OC=
AC,
OB=OD=
BD,(矩形的对角线相等且互相平分)
∴OA=OD.
∵∠AOD=120°
∴∠OAD=∠ODA=
=30°
∵∠DAB=90°
.(矩形的四个角都是直角)
∴BD=2AB=2×
2.5=5(cm).
故这个矩形的对角线的长为5cm.
[师]同学们来想一想,还有没有其他的方法来解这个题呢?
[师]小明认为,这个题还可以这样想:
(出示投影片§
3.2.1E)
∠AOD=120°
→∠AOB=60°
→OA=OB=AB→AC=20A=2×
[师]你能帮小明写出完整的解题过程吗?
[生]解:
∴AC=BD,且OA=OC=
AC,
OB=OD=
BD.(矩形的对角线相等且互相平分)
∴OA=OB.
∵∠AOD=120°
∴AOB=60°
∴OA=OB=AB.
∴AC=2OA=2×
[师]已知一个四边形是矩形,那么就会得到一些相应的性质,如果要判定一个四边形是矩形,那除了根据定义判定外,还有没有其他的方法呢?
下面我们通过做练习来证明矩形的判定定理.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P97随堂练习
1.证明:
有三个角是直角的四边形是矩形.
已知在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°
四边形ABCD是矩形.
∵∠A=∠B=90°
∴∠A+∠B=180°
∴AD//BC.
同理可证:
AB//CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠A=90°
∴//四边形ABCD是矩形.
Ⅳ.课时小结
我们这节课主要研究了矩形的性质,现在来归纳:
对边平行且相等
1.矩形四个角都是直角
对角线互相平分且相等
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
一个角是直角的平行四边形
3.有三个角是直角的四边形是矩形
对角线相等的平行四边形
Ⅴ.课后作业
课本P97,习题3.42、3
Ⅵ.活动与探究
1.取一张矩形的纸进行折叠,具体操作过程如下;
第一步:
先把矩形ABCD对折,折痕为MN,如图
(1).
第二步:
再把B点叠在折痕线MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为B′,得Rt△AB′E.如图
(2).
第三步:
沿EB′,线折叠得折痕EF.如图(3).
利用展开图(4)探究:
(1)△AEF是什么三角形?
证明你的结论.
(2)对于任一矩形,按照上述方法是否都能折出这种三角形?
请说明理由.
[过程]通过学生动手操作、观察、猜想,进而通过推理论证了猜想,来培养学生的创新能力和实践能力.
[结果]
(1)△AEF是等边三角形.
∵△ABE与△AB′E完全重合.
∴△ABE≌△AB′E,∠BAE=∠1,由平行线等分线段定理得EB′=B′F.
又∠AB′E=90°
,∴△AB′E≌△AB′F.
∴AE=AF,∠1=∠2=
∠BAD=30°
∴△AEF是等边三角形.
(2)不一定.
由以上推证可知:
当矩形的长恰好等于等边△AEF的边AF时,即矩形的宽:
长=AB:
AF=sin60°
=
:
2时能正好折出.
如果设矩形的长为a,宽为b,可知
当b≤
a时。
按此法一定能折出等边三角形;
当a
<
b<
a时,按此法无法折出完整的等边三角形.
板书设计
1.
2.定理:
3.议一议:
推论:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
4.例题:
5.课堂练习:
有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.
6.课时小结
7.课后作业
备课资料
参考例题
[例]折叠矩形纸片ABCD,先折出折痕BD,再折叠使AD边与对角线BD重合,得折痕DG,如图,若AB=2,BC=1,求AG.
折叠性问题主要是要明确折叠后的对称关系,从中找出相等的条件.才能把未知逐渐转化为已知.本题由题意可知GE=AG,DE=AD=1.因为折叠后出现了直角,所以利用勾股定理即可求出AG.
解:
由题意知GE=AG,DE=AD=1,
∵AB=2,BC=1,
∴BD=
∴BE=
-1.
设AG为x,则GB=2-x.
在Rt△GEB中,GB2=BE2+GE2,
(2-x)2=(
-1)2+x2.
解得x=
因而AG的长为
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