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tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A))
三倍角公式
sin3α=4sinα·
sin(π/3+α)sin(π/3-α)
cos3α=4cosα·
cos(π/3+α)cos(π/3-α)
tan3a=tana·
tan(π/3+a)·
tan(π/3-a)
三倍角公式推导
sin(3a)
=sin(a+2a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin²
a)+(1-2sin²
a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos²
a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina(3/4-sin²
a)
=4sina[(√3/2)²
-sin²
a]
=4sina(sin²
60°
=4sina(sin60°
+sina)(sin60°
-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°
-a)/2]*2sin[(60°
-a)/2]cos[(60°
-a)/2]
=4sinasin(60°
+a)sin(60°
-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos²
a-3/4)
=4cosa[cos²
a-(√3/2)^2]
a-cos²
30°
)
=4cosa(cosa+cos30°
)(cosa-cos30°
=4cosa*2cos[(a+30°
)/2]cos[(a-30°
)/2]*{-2sin[(a+30°
)/2]sin[(a-30°
)/2]}
=-4cosasin(a+30°
)sin(a-30°
=-4cosasin[90°
-(60°
-a)]sin[-90°
+(60°
+a)]
=-4cosacos(60°
-a)[-cos(60°
=4cosacos(60°
-a)cos(60°
+a)
上述两式相比可得
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
两角和公式
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
积化和差
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
双曲函数
sha=[e^a-e^(-a)]/2
cha=[e^a+e^(-a)]/2
tha=sinh(a)/cosh(a)
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
公式二:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三:
任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五:
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六:
π/2±
α及3π/2±
α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
(以上k∈Z)
A·
sin(ωt+θ)+B·
sin(ωt+φ)=
√{(A²
+B²
+2ABcos(θ-φ)}·
sin{ωt+arcsin[(A·
sinθ+B·
sinφ)/√{A^2+B^2;
+2ABcos(θ-φ)}}
√表示根号,包括{……}中的内容
三角函数的诱导公式(六公式)
公式一 sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
公式二sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
公式三sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
公式四sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
公式五sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
公式六tanA=sinA/cosA
tan(π/2+α)=-cotα
tan(π/2-α)=cotα
tan(π-α)=-tanα
tan(π+α)=tanα
诱导公式记背诀窍:
奇变偶不变,符号看象限
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²
]
cosα=[1-(tan(α/2))²
]/[1+(tan(α/2))²
tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²
其它公式
(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(平方和公式)
(2)1+(tanα)^2=(secα)^2
(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可
(4)对于任意非直角三角形,总有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证:
A+B=π-C
tan(A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
整理可得
得证
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
(7)(cosA)^2;
+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC
(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC
其他非重点三角函数
csc(a)=1/sin(a)
sec(a)=1/cos(a)
(seca)^2+(csca)^2=(seca)^2(csca)^2
幂级数展开式
sinx=x-x^3/3!
+x^5/5!
-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!
+……。
(-∞<
x<
∞)
cosx=1-x^2/2!
+x^4/4!
-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!
+……(-∞<
arcsinx=x+1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+……(|x|<
1)
arccosx=π-(x+1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+……)(|x|<
arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……(x≤1)
无限公式
sinx=x(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2)(1-x^2/9π^2)……
cosx=(1-4x^2/π^2)(1-4x^2/9π^2)(1-4x^2/25π^2)……
tanx=8x[1/(π^2-4x^2)+1/(9π^2-4x^2)+1/(25π^2-4x^2)+……]
secx=4π[1/(π^2-4x^2)-1/(9π^2-4x^2)+1/(25π^2-4x^2)-+……]
(sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8……
(1/4)tanπ/4+(1/8)tanπ/8+(1/16)tanπ/16+……=1/π
和自变量数列求和有关的公式
sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2)
cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx=[cos((n+1)x/2sin(nx/2)]/sin(x/2)
tan((n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx)
sinx+sin3x+sin5x+……+sin(2n-1)x=(sinnx)^2/sinx
cosx+cos3x+cos5x+……+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx)
编辑本段
内容规律
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
1.三角函数本质:
[1] 根据右图,有
sinθ=y/r;
cosθ=x/r;
tanθ=y/x;
cotθ=x/y。
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB为例:
推导:
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。
角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'
OD。
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'
(cos(α-β),sin(α-β))
OA'
=OA=OB=OD=1,D(1,0)
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2)
单位圆定义
单位圆
六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值;
实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。
它也提供了一个图象,把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理,单位圆的等式是:
图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。
逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角。
设一个过原点的线,同x轴正半部分得到一个角θ,并与单位圆相交。
这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。
图象中的三角形确保了这个公式;
半径等于斜边且长度为1,所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。
单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
相关概念编辑
三角函数的标准英文读音音标
正弦:
sine(简写sin)[sain]
余弦:
cosine(简写cos)[kəusain]
正切:
tangent(简写tan)['
tæ
ndʒənt]
余切:
cotangent(简写cot)['
kəu'
正割:
secant(简写sec)['
si:
kənt]
余割:
cosecant(简写csc)['
kau'
正矢:
versine(简写versin)['
və:
sain]
余矢:
versedcosine(简写vercos)['
sə:
d][kəusain]
直角三角函数
直角三角函数(∠α是锐角)
三角关系
商的关系:
平方关系:
2三角规律编辑
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
三角函数本质:
根据三角函数定义推导公式
根据右图,有
sinθ=y/r;
cotθ=x/y
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB为例:
推导:
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'
(cos(α-β),sin(α-β))
OA'
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2)
单位圆定义
单位圆
六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。
x^2+y^2=1
图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。
设一个过原点的线,同x轴正半部分得到一个角θ,并与单位圆相交。
这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。
半径等于斜边且长度为1,所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。
3特殊值编辑
sin30°
=1/2
sin45°
=√2/2
sin60°
=√3/2
cos30°
cos45°
cos60°
tan30°
=√3/3
tan45°
=1
tan60°
=√3[1]
cot30°
=√3
cot45°
cot60°
sin15°
=(√6-√2)/4
sin75°
=(√6+√2)/4
cos15°
cos75°
=(√6-√2)/4(这四个可根据sin(45°
±
)=sin45°
得出)
sin18°
=(√5-1)/4(这个值在高中竞赛和自招中会比较有用,即黄金分割的一半)
4重要定理编辑
正弦定理
正弦定理:
在△ABC中,a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
其中,R为△ABC的外接圆的半径。
余弦定理
余弦定理:
在△ABC中,b^2=a^2+c^2-2ac·
cosθ。
其中,θ为边a与边c的夹角。
5常用公式编辑
诱导公式
sin(α+k*2π)=sinα
cos(α+k*2π)=cosα
tan(α+k*2π)=tanα
sin(π+α)=-sinα
tan(π+α)=tanα
sin(-α)=-sinα
sin(π-α)=sinα
tan(π-α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
由于π/2+α=π-(π/2-α),由公式四和公式五可得
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
诱导公式记背诀窍:
奇变偶不变,符号看象限。
和(差)角公式
三角和公式
sin(α+β+γ)=sinα·
cosβ·
cosγ+cosα·
sinβ·
sinγ-sinα·
sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·
cosγ-cosα·
cosγ
和差化积
倍角公式
二倍角
正弦
余弦
正切
三倍角
三倍角公式推导
sin(3a)→3sina-4sin^3a
=sin(a+2a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a→(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a→4sinasin(60°
=4sina(3/4-sin^2a)
=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina]
=4sina(sin60°
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°
+a)/2]
=4sinasin(60°
cos3a→4cosacos(60°
=4cosa(cos^2a-3/4)
=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]
=4cosa(cosa-cos30°
)(cosa+cos30°
=4cosa*2cos[(a+30°
=-4cosasin(a+30°
=-4cosasin[90°
=-4cosacos(60°
=4cos
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