初中圆的定理和公式汇总Word格式.docx

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3平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

3圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

4圆是定点的距离等于定长的点的集合

5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

7同圆或等圆的半径相等

8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

9定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

10推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

12①直线L和。

O相交d<

r

2直线L和①O相切d=r

3直线L和©

0相离d>

13切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

14切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

15推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

16推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

17切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

18圆的外切四边形的两组对边的和相等

19弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

20推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

30相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

31推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

32切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中项

33推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

34如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

35①两圆外离d>

R+r②两圆外切d二R+r

3两圆相交R-r<

d<

R+r（R>

r）

4两圆内切d=R-r（R>

r）⑤两圆内含d<

R-r（R>

36定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

37定理把圆分成n（n>

3）:

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

38定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同

心圆

39正n边形的每个内角都等于（n-2）x18O0/n

40定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

41正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长

42正三角形面积73a/4a表示边长

43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为

360°

因此kx（n-2）180°

/n=360°

化为（n-2）（k-2）=4

44弧长计算公式：

L二n兀R/180

45扇形面积公式：

S扇形二n兀RA2/360=LR/2

46内公切线长二d-（R-r）外公切线长二d-（R+r）

47定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

48推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；

同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

49推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；

90°

的圆周角所对的弦是直径

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

以及与圆有关的比例线段

1•切线长概念

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2•切线长定理

如图1对于切线长定理，应明确

（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；

（2）若己知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；

B）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；

（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；

（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3•弦切角（如图2）：

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

4弦切角定理：

弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

即如上图中ZAPC=ZCDP等证明：

如图2,连接CD、OC、OP，因为ZCPO=ZPCOz所以ZCOP=180°

-2ZCPO而ZCPO=9（y-ZAPC,故ZCOP=2ZAPCzgPZCDP=ZAPCo

5•弄清和圆有关的角：

圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线,切线的性质定理及切线长定理。

7•与圆有关的比例线段

定理

图形

已知

结论

证法

相交弦定理

oo中，

AB、CD为弦，交

7-R

PA・PB=PC・PD

连结AC、BD,ZC=ZBzZA=ZD/所以△APC-ADPB

交定的论相弦理推

C

/

r.A

OO中，

AB为直

径，

CD丄AB

TP.

PC2=PA・PB

用相交弦定理.

D

切割线定理

PT切0O于T,割线PB交GO于A

PT2=PA・PB

连结TA、TB,贝UP7A=ZB（弓玄切角等于同弧圆周角）所以

△PTA-APBT,所以PT2=PA・PB

割定推切线理论

B

PB、PD为。

0的两条割线,交

OO于

A、C

过P作PT切OO于T,用两次切割线定理

圆幕定理

OO中，割线PB交。

0于

A,CD为弦

PGPD=r2-OP,2

PA・PB=OP2—r2

r为。

O的半径

延长P'

O交OO于M,延长OP交OO于N,用相交弦定理证；

过P作切线用切割线定理勾股定理证

8•圆幕定理：

过一定点P向。

O作任一直线，交OO于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数|°

严一鬥（R为圆半径），因为。

耳-小叫做点对于（DO的幕，所以将上述定理统称为圆幕定理。

例1•如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。

在正方形内作半圆O,过A作半圆切线，切点为F,交CD于E,求DE：

AE的值。

例2QO中的两条弦AB与CD相交于E,若AE=6cm,BE=2cm,

例3•已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，贝ijAB^:

A&

PB\

例4如图3,P是OO外一点，PC切OO于点C,PAB是。

O的割线，交（DO于A、B两点,如果PA：

PB=1：

4,PC=12cm,00的半径为10cm,则圆心O到AB的距离是cm。

例5•如图4,AB为。

O的直径，过B点作0O的切线BC,OC交0O于点E,AE的延长线交BC于点D,求正

（1）CE2=CD・CB；

（2）若AB=BC=2厘米，求CE、CD的长。

图4

例6•如图5,AB为。

O的直径，弓玄CD〃AB,AE切（DO于A,交CD的延长线于E。

求证:

BC2=AB・DE

例7•如图6,PA、PC切0O于A、C,PDB为割线。

求证：

AD・BC=CD・AB

p

例8•如图7,在直角三角形ABC中，ZA=90°

以AB边为直径作OO,交斜边BC于点D,过D点作。

O的切线交AC于E。

BC=2OEc

例9•如图&

在正方形ABCD中，AB=1,处是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。

点E是边AD±

的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作4S箭在圆的切线，交边DC于点F,G为切点。

当ZDEF=45。

时，求证:

点G为线段EF的中点；

【模拟试题】

（答题时间：

40分钟）

一、选择题

1・已知：

PA、PB切0O于点A、B,觀AB,若AB=8,弦AB的弦心距3,则PA=（）

A20/3B.25/3C.5D.8

2•下列图形一定有内切圆的是（）

A.平行四边形

C.菱形

16cm

虫在ABC中，D是BC边上的点，AD=2V2cm,BD=3cm,DC=4cm,如果E是AD的延长线与AABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）

D.

A.2^3cmB.3\QcmC.2J2cm3J?

cm

6.PT切0O于T,CT为直径，D为OC上一点，直线PD交0O于B和A,B在线段PD上，若CD=2,AD=3,BD=4,则PB等于（）

A.20B.10C.5D.

二、填空题

7.AB、CD是。

O切线，AB〃CD,EF是OO的切线，它和AB、CD分别交于E、F,则ZEOF=度。

8•已知：

66和TOOO上的一点P,过P的直线交。

O于A、B两点，若PA・PB=24,OP=5,则OO的半径长为o

9•若PA为（DO的切线，A为切点，PBC割线交0O于B、C,若BC=20,FA=10则PC的长为o

10•正AABC内接于0O,M、N分别为AB、AC中点，延长MN交OO于点D,连结BD

PC

交AC于P,则—=。

PA

三、解答题

11•如图2,ABC中，AC=2cm,周长为8cm,F、K、N是AABC与内切圆的切点，DE切。

O于点M,且DE〃AC,求DE的长。

12•如图3,已知P为。

O的直径AB延长线上一点，PC切OO于C,CD丄AB于D,求证:

CB平分ZDCPo

P

13•如图4,已知AD为OO的直径，A@是0O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C,且BM=MN=NC,若AB=2j2cm,求OO的半径。