高考科学复习解决方案文科数学真题与模拟.docx
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高考科学复习解决方案文科数学真题与模拟
重组十一 立体几何
测试时间:
120分钟 满分:
150分
第Ⅰ卷 (选择题,共60分)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个选项符合题意)
1.2016·浙江高考]已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )
A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n
答案 C
解析 因为α∩β=l,所以l⊂β,又n⊥β,所以n⊥l.故选C.
2.2016·济南调研]已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A.28+6B.40C.D.30+6
答案 C
解析 由三视图知,直观图如图所示:
底面是直角三角形,直角边长为4,5,三棱锥的一个后侧面垂直底面,并且高为4,所以棱锥的体积为××5×4×4=.
3.2016·云师大附中月考]某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.B.C.2D.2
答案 D
解析 由题意知该几何体为如图放置的正四面体,其棱长为,故其表面积为×××sin×4=2,故选D.
4.2017·河北衡水中学一调]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线或虚线画出某几何体的三视图,该几何体的体积为( )
A.8B.12C.18D.24
答案 B
解析 由题意得,根据给定的三视图可知,该几何体为如图所示的几何体,是一个三棱锥与三棱柱的组合体,其中三棱锥的体积为V1=××4×3×2=4,三棱柱的体积为V2=2V1=2×4=8,所以该几何体的体积为V=12,故选B.
5.2017·广西梧州模拟]若某圆柱体的上部挖掉一个半球,下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示,则此几何体的表面积是( )
A.4π+πB.6π+2π
C.6π+πD.8π+π
答案 C
解析 圆柱的侧面积为S1=2π×1×2=4π,半球的表面积为S2=2π×12=2π,圆锥的侧面积为S3=π×1×=π,所以几何体的表面积为S=S1+S2+S3=6π+π,故选C.
6.2017·安徽师大期末]某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )
A.4B.2C.4D.8
答案 D
解析 根据三视图还原可知该几何体为长、宽、高分别为3,2,2的长方体,被一个平面截去一部分剩余,如图所示,所以该几何体的体积为(3×2×2)×=8,故选D.
7.2017·吉林长春质检]某几何体的三视图如图,其正视图中的曲线部分为半圆,则该几何体的体积是( )
A.4+πB.6+3πC.6+πD.12+π
答案 C
解析 由题意,此模型为柱体,底面大小等于主视图面积大小,即几何体体积为V=×3=6+,故选C.
8.2017·河南百校联盟质监]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是由正方形切割而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A.B.C.6D.7
答案 C
解析 几何体如图,为每一个长方体中去掉两个全等的三棱柱,体积为23-×1×1×1×4=6,选C.
9.2017·唐山模拟]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=4,E,F,H分别是棱PB,BC,PD的中点,则过E,F,H的平面分别交直线PA,CD于M,N两点,则PM+CN=( )
A.6B.4C.3D.2
答案 C
解析 由过E,F,H的平面交直线CD于N点,可得N点为CD的中点,即CN=2;由过E,F,H的平面交直线PA于M点,可得M为PA的四等分点,所以PM=1,所以PM+CN=3,故应选C.
10.2016·全国卷Ⅲ]在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( )
A.4πB.C.6πD.
答案 B
解析 由题意可得若V最大,则球与直三棱柱的部分面相切,若与三个侧面都相切,可求得球的半径为2,球的直径为4,超过直三棱柱的高,所以这个球放不进去,则球可与上下底面相切,此时球的半径R=,该球的体积最大,Vmax=πR3=×=.
11.2016·云师大附中月考]棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的所有顶点均在球O的球面上,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,则平面EFG截球O所得圆的半径为( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 如图,正方体ABCD-
A1B1C1D1的外接球球心O为对角线AC1的中点,球半径R=,球心O到平面EFG的距离为,所以小圆半径r=
=,故选B.
12.2017·河南开封质检]如图,已知一个八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD为正方形,则下列命题中的假命题是( )
A.不平行的两条棱所在的直线所成的角是60°或90°
B.四边形AECF是正方形
C.点A到平面BCE的距离为
D.该八面体的顶点在同一个球面上
答案 C
解析 因为八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD为正方形,相邻两条棱所在的直线所成的角是60°,而AE与CE所成的角为90°,A正确;四边形AECF各边长均为1,AC=EF=,所以四边形AECF是正方形;DB=,该八面体的顶点在同一个球面上,D正确;设A到平面BCE的距离为h,由VE-ABCD=2VA-BCE,所以×1×1×=2××h,解得h=,C错误.
第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.2016·江苏联考]将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积是________.
答案 π
解析 圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆,所以圆锥的底面周长为2π,底面半径为1,圆锥的高为,圆锥的体积为π×12×=π.
14.2017·河南郑州一中期末]我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:
寸),若π取3,其体积为12.6(立方寸),则图中的x为________.
答案 1.6
解析 由图可得π×2×x+3×1×(5.4-x)=12.6⇒x=1.6.
15.2016·江苏联考]在下列四个图所表示的正方体中,能够得到AB⊥CD的是________.
答案 ①②
解析 对于①,通过平移AB到右边的平面,可知AB⊥CD,所以①中AB⊥CD;
对于②,通过作右边平面的另一条对角线,可得CD垂直AB所在的平面,由线面垂直定理得到②中AB⊥CD;
对于③,可知AB与CD所成的角为60°;
对于④,通过平移CD到下底面,可知AB与CD不垂直.
故答案为①②.
16.2016·长春质检]如果一个棱锥底面为正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P-ABCD内接于半径为1的球,则当此正四棱锥的体积最大时,其高为________.
答案
解析 由球的几何性质可设四棱锥高为h,从而VP-ABCD=h1-(h-1)2]=(-h3+2h2),有V′P-ABCD=(-3h2+4h)=h(-3h+4),可知当h=时,体积VP-ABCD最大.
三、解答题(共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.2017·哈尔滨检测](本小题满分10分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥侧面ABB1A1,AC=AA1=AB,∠AA1C1=60°,AB⊥AA1,H为CC1的中点,D为BB1的中点.
(1)求证:
A1D⊥平面AB1H;
(2)若AB=,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
解
(1)证明:
连接AC1,∵△ACC1为正三角形,H为棱CC1的中点,
∴AH⊥CC1,从而AH⊥AA1,又平面AA1C1C⊥平面ABB1A1,
平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1,AH⊂平面AA1C1C,
∴AH⊥平面ABB1A1,又A1D⊂平面ABB1A1,
∴AH⊥A1D①.(3分)
设AB=a,∵AC=AA1=AB,∴AC=AA1=2a,DB1=a,==,
又∠DB1A1=∠B1A1A=90°,∴△A1DB1∽△AB1A1,
∴∠B1AA1=∠B1A1D,又∠B1A1D+∠AA1D=90°,
∴∠B1AA1+∠AA1D=90°,
∴A1D⊥AB1②,
由①②及AB1∩AH=A,可得A1D⊥平面AB1H.(6分)
(2)取AA1的中点M,连接C1M,则C1M∥AH,
∴C1M⊥平面ABB1A1,
∴VC1-AB1A1=S△AB1A1·C1M=××=,
∴三棱柱ABC-A1B1C1的体积为3VC1-AB1A1=.(10分)
18.2017·东北四市联考](本小题满分12分)
如图,过四棱柱ABCD-A1B1C1D1形木块上底面内的一点P和下底面的对角线BD将木块锯开,得到截面BDFE.
(1)请在木块的上表面作出过P的锯线EF,并说明理由;
(2)若该四棱柱的底面为菱形,四边形BB1D1D是矩形,试证明:
平面BDFE⊥平面A1C1CA.
解
(1)在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1,A1B1于F,E两点,则EF即为所作的锯线.理由如下:
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱BB1∥DD1,且BB1=DD1,
所以四边形BB1D1D是平行四边形,B1D1∥BD.
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面BDFE∩平面ABCD=BD,平面BDFE∩平面A1B1C1D1=EF,
所以EF∥BD,从而EF∥B1D1.(6分)
(2)证明:
由于四边形BB1D1D是矩形,所以BD⊥B1B.
又A1A∥B1B,所以BD⊥A1A.
又四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,
所以BD⊥AC.
因为AC∩A1A=A,所以BD⊥平面A1C1CA.
因为BD⊂平面BDFE,
所以平面BDFE⊥平面A1C1CA.(12分)
19.2017·湖北八校联考](本小题满分12分)如图,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD是边长为2的菱形,PA=PD,且∠APD=90°,∠DAB=60°.
(1)若线段PC上存在一点M,使得直线PA∥平面MBD,试确定M点的位置,并给出证明;
(2)在第
(1)问的条件下,求三棱锥C-DMB的体积.
解
(1)M为线段PC中点.(1分)
证明:
取线段PC中点M,连接MD,MB,连接AC、BD相交于O点,连接OM,
∵ABCD为菱形,AC交BD于O点,∴O为AC中点,又M为PC中点,
∴OM∥PA,(4分)
又OM⊂平面MBD,PA⊄平面MBD,
∴PA∥平面MBD.(6分)
(2)∵PA=PD,取AD的中点N,∴PN⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,∴PN⊥平面ABCD,
∵∠APD=90°,AD=2,∴PN=AD=1,(8分)
又M为PC中点,∴M到平面ABCD的距离hM=PN=.(10分)
∵ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°,∴SBCD=×2×2×=,(11分)
∴VC-DMB=VM-BCD=SBCDhM=××=.(12分)
20.2017·宁夏银川检测](本小题满分12分)如图所示,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.
(1)求证:
AB⊥DE;
(2)求三棱锥E-ABD的侧面积和体积.
解
(1)证明:
在△ABD中,因为AB=2,AD=4,∠DAB=60°,所以BD==2,
所以AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD.
又平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,AB⊂平面ABD,所以AB⊥
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