高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I24二次函数与幂函数理.docx
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高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I24二次函数与幂函数理
2019-2020年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.4二次函数与幂函数理
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式:
f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
②顶点式:
f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
③零点式:
f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)=ax2+bx+c(a>0)
f(x)=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域
(-∞,+∞)
(-∞,+∞)
值域
单调性
在x∈上单调递减;
在x∈上单调递增
在x∈上单调递增;
在x∈上单调递减
对称性
函数的图象关于x=-对称
2.幂函数
(1)定义:
形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)幂函数的图象比较
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0,+∞)上都有定义;
②幂函数的图象过定点(1,1);
③当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
④当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.( × )
(2)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数.( × )
(3)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √ )
(4)函数是幂函数.( × )
(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √ )
(6)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.( × )
1.若关于x的方程x2+mx+=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是________.
答案 (-∞,-1)∪(1,+∞)
解析 ∵方程x2+mx+=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=m2-4××1>0,即m2>1,解得m<-1或m>1.
2.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是______________.
答案
解析 由题意知即得a>.
3.函数的图象是________.(填序号)
答案 ②
解析 显然f(-x)=-f(x),说明函数是奇函数,同时由当0<x<1时,当x>1时,.故只有②符合.
4.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为________.
答案 [1,2]
解析 如图,由图象可知m的取值范围是[1,2].
5.(教材改编)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则此函数的解析式为________;在区间________上递减.
题型一 求二次函数的解析式
例1 已知二次函数f(x)满足f
(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
解 方法一 (利用一般式):
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得解得
∴所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.
方法二 (利用顶点式):
设f(x)=a(x-m)2+n.
∵f
(2)=f(-1),
∴抛物线的图象的对称轴为x==.
∴m=.又根据题意函数有最大值8,∴n=8,
∴y=f(x)=a2+8.
∵f
(2)=-1,
∴a2+8=-1,解得a=-4,
∴f(x)=-42+8=-4x2+4x+7.
方法三 (利用零点式):
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),
即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数的最大值是8,即=8.
解得a=-4,
∴所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
思维升华 求二次函数的解析式,关键是灵活选取二次函数解析式的形式,所用所给出的条件,根据二次函数的性质进行求解.
(1)二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为-1,则它的解析式是________________________________________________________________________.
(2)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=________.
答案
(1)f(x)=x2-2x+1
(2)-2x2+4
解析
(1)依题意可设f(x)=a(x-2)2-1,
又其图象过点(0,1),
∴4a-1=1,∴a=.
∴f(x)=(x-2)2-1.
∴f(x)=x2-2x+1.
(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称,
∴b=-2,∴f(x)=-2x2+2a2,
又f(x)的值域为(-∞,4],
∴2a2=4,
故f(x)=-2x2+4.
题型二 二次函数的图象与性质
命题点1 二次函数的单调性
例2 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6],
(1)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数;
(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
解
(1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为x=-=-a,
∴要使f(x)在[-4,6]上为单调函数,只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.
故a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).
(2)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3
=
其图象如图所示.
又∵x∈[-4,6],∴f(|x|)在区间[-4,-1)和[0,1)上为减函数,在区间[-1,0)和[1,6]上为增函数.
命题点2 二次函数的最值
例3 已知函数f(x)=x2-2x,若x∈[-2,3],则函数f(x)的最大值为________.
答案 8
解析 f(x)=(x-1)2-1,∵-2≤x≤3(如图),
∴[f(x)]max=f(-2)=8.
引申探究
已知函数f(x)=x2-2x,若x∈[-2,a],求f(x)的最小值.
解 ∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,
∴对称轴为直线x=1,
∵x=1不一定在区间[-2,a]内,∴应进行讨论,当-21时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当x=1时,y取得最小值,即ymin=-1.
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