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福建南平中考数学及答案
2011年福建省南平市初中毕业、升学考试中考试题
数学
(满分:
150分;考试时间:
120分钟)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个正确的选项,请在答题卡的相应位置填涂)
1.(2010福建南平,1,4分)2的相反数等于
A.-2B.2C.-D.
【答案】A
2.(2010福建南平,2,4分)方程组的解是
A.B.C.D.
【答案】C
3.(2010福建南平,3,4分)下列调查中,适宜采用全面调查方式的是
A.了解南平市的空气质量情况B.了解闽江流域的水污染情况C.了解南平市居民的环保意识D.了解全班同学每周体育锻炼的时间
【答案】D
4.(2010福建南平,4,4分)下列运算中,正确的是
A.B.
C.D.
【答案】C
5.(2010福建南平,5,4分)下列说法错误的是
A.必然事件发生的概率是1B.不确定事件发生的概率是0.5C.不可能事件发生的概率是0D.随机事件发生的概率介于0和1之间
【答案】B
6.(2010福建南平,6,4分)边长为4的正三角形的高为
A.2B.4C.D.
【答案】D
7(2010福建南平,7,4分).已知⊙O、⊙O的半径分别是2、4,若OO=6,则⊙O与⊙O的位置关系是
A.内切B.相交C.外切D.外离
【答案】C
8.(2010福建南平,8,4分)有一等腰梯形纸片ABCD,(如图),AD∥BC,AD=1,BC=3,沿梯形的高DE剪下.由△DEC与四边形ABED不一定能拼接成的图形是
A.直角三角形B.矩形C.平行四边形D.正方形
【答案】D
9.(2010福建南平,9,4分)某商店销售一种玩具,每件售价92元,可获利15%,求这种玩具的成本价.设这种玩具的成本价为x元,依题意列方程正确的是
A.15%B.15%C.15%D.15%
【答案】A
10.(2010福建南平,10,4分)观察下列各图形中小正方形的个数,依次规律,第(11)个图形中小正方形的个数为
(1)
(2)(3)(4)(5)
A.78B.66C.55D.50
【答案】B
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.请将答案填入答题卡的相应位置)
11.(2010福建南平,11,3分)计算:
.
【答案】8
12.(2010福建南平,12,3分)分解因式:
.
【答案】
13.(2010福建南平,13,3分)已知△ABC的周长为18,D、E分别是AB、AC的中点,则△ADE的周长为.
【答案】9
14.(2010福建南平,14,3分)抛掷一枚质地均匀的硬币两次,正面都朝上的概率是.
【答案】(或0.25)
15(2010福建南平,15,3分).已知反比例函数的图象经过点(2,5),则.
【答案】10
16(2010福建南平,16,3分).某次跳绳比赛中,统计甲、乙两班学生每分钟跳绳的成绩(单位:
次)情况如下表:
班级
参加人数
平均次数
中位数
方差
甲班
45
135
149
180
乙班
45
135
151
130
下面有下面三个命题:
甲班平均成绩低于乙班平均成绩;
②甲班成绩的波动比乙班成绩的波动大;
③甲班成绩优秀人数少于乙班成绩优秀人数(跳绳次数≥150次为优秀).
其中正确的命题是.(只填序号)
【答案】②③
17.(2010福建南平,17,3分)如图是一个几何体的三视图,根据图中标注的数据可得该几何体的体积为.(结果保留)
【答案】3
18.(2010福建南平,18,3分)一个机器人从O点出发,每前进1米,就向右转体(0<<180),照这样走下去,如果他恰能回到O点,且所走过的路程最短,则的值等于.
【答案】120
三、解答题(本大题共8小题,共86分.请在答题卡的相应位置作答)
19.(2010福建南平,19,4分)(10分)先化简,再求值:
,其中.
【答案】解法一:
原式=
=
=
解法二:
原式=
=
=
当时,原式=0.
20.((2010福建南平,20,4分)10分)解不等式组,
并把它的解集在数轴上表示出来.
【答案】解:
由不等式
(1)得,
;
由不等式
(2)得<,
<,
>-2.
所以原不等式组的解集为-2<.
21.(2010福建南平,21,10分)如图,△ABC三个顶点坐标分别为A(1,2),B(3,1),C(2,3),以原点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′.
(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′;(不要求写画法)
(2)△A′B′C′的面积是.
【答案】解:
(1)画图
(2)6.
22.(2010福建南平,22,10分)“5.12防震减灾日”之际,某校随机抽取部分学生进行“安全逃生知识”测验.根据这部分学生的测验成绩(单位:
分)绘制成如下统计表(不完整):
分组
频数
频率
60≤x<70
2
0.05
70≤x<80
10
80≤x<90
0.40
90≤x≤100
12
0.30
合计
1.00
请根据上述图表提供的信息,完成下列问题:
(1)分别补全频数分布表和频数分布直方图;;
(2)若从该校随机抽取1名学生进行这项测验,估计其成绩不低于80分的概率为.
【答案】解:
(1)补全分布表和频数分布直方图如图所示.
分组
频数
频率
60≤x<70
70≤x<80
0.25
80≤x<90
16
90≤x≤100
合计
40
(2)0.7.
23.(2010福建南平,23,10分)为落实校园“阳光体育”工程,某校计划购买篮球和排球共20个.已知篮球每个80元,排球每个60元.设购买篮球x个,购买篮球和排球的总费用为y元.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)如果要求篮球的个数不少于排球个数的3倍,应如何购买,才能使总费用最少?
最少费用是多少元?
【答案】解:
(1)依题意,得
=
(2)依题意,得
解得,
∵购买篮球和排球共20个,∴,
在=中,∵20>0,∴随的增大而增大,
∴当时,的值最小,此时=1500.
答:
购买篮球15个、排球5个总费用最少,总费用为1500元.
24.(2010福建南平,24,10分)如图,已知点E在△ABC的边AB上,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点D在以AE为直径的⊙O上.
(1)求证:
BC是⊙O的切线;
(2)已知∠B=28°,⊙O的半径为6,求线段AD的长.(结果精确到0.1)
【答案】
(1)证法一:
连接OD,
∵OA=OD,∴∠1=∠3,
∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,
∴OD∥AC,
又∵∠C=90°,∴OD⊥BC,
∴BC是⊙O的切线.
证法二:
连接OD,
∵OA=OD,∴∠1=∠3,
∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,
又∵∠C=90°,∴∠2+∠ADC=90°,
∴∠3+∠ADC=90°,即OD⊥BC,
∴BC是⊙O的切线.
(2)解法一:
在Rt△BDO中,∠BOD=90°-∠B=62°,
∴∠1=∠BOD=31°.
(另解:
在Rt△ACB中,∠BAC=90°-∠B=62°,
∴∠1=∠BAC=31°)
连接DE,∵AE为⊙O的直径,∴∠ADE=90°,
在Rt△ADE中,cos∠1=,
∴AD=AE·cos∠1=12·cos31°≈10.3.
解法二:
在Rt△BDO中,∠BOD=90°-∠B=62°,
∴∠1=∠BOD=31°.
(另解:
在Rt△ACB中,∠BAC=90°-∠B=62°,
∴∠1=∠BAC=31°)
过O作AD的垂线,垂足为F,在Rt△AFO中,
cos∠1=,
∴AF=AO·cos∠1=6·cos31°≈5.14,
∴AD=2AF≈10.3.
25.(2010福建南平,25,12分)
(1)操作发现:
如图1,在矩形ABCD中,E是BC的中点,将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形ABCD内部,延长AF交CD于点G.猜想线段GF与GC有何数量关系?
并说明你的理由.
(2)类比探究:
如图2,将
(1)中的矩形ABCD改为平行四边形,其它条件不变,
(1)中的结论是否仍然成立?
请说明理由.
【答案】
(1)猜想:
GF=GC.
证法一:
连接CF,∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠ECG=90°,
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE,
∴BE=FE,∠GFE=∠AFE=∠B=90°,
∵BE=CE,∴EF=EC,
∴∠EFC=∠ECF,
∴∠GFC=∠GCF,
∴GF=GC.
证法二:
连接EG,∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=90°,
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE,
∴BE=FE,∠GFE=∠AFE=∠B=90°,
∵BE=CE,∴EF=EC,
∵EG=EG,∴Rt△EFG≌Rt△ECG,
∴GF=GC.
(2)答:
仍然成立.
连接CF,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠B+∠ECG=180°,
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE,
∴∠B=∠AFE,BE=FE,
∵∠AFE+∠EFG=180°,∴∠EFG=∠ECG,
∵BE=CE,∴EF=EC,∴∠EFC=∠ECF,
∴∠EFG-∠EFC=∠ECG-∠ECF,∴∠GFC=∠GCF,
∴GF=GC.
26.(2010福建南平,26,14分)定义:
对于抛物线(、、是常数,),若,则称该抛物线为黄金抛物线.例如是黄金抛物线.
(1)请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式:
.
(2)若抛物线(、、是常数,)是黄金抛物线,请探究该黄金抛物线与轴的公共点个数的情况(要求说明理由);
(3)将黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位.
①直接写出平移后的新抛物线的解析式;
②设①中的新抛物线与轴交于点A,对称轴与轴交于点B,动点Q在对称轴上,问新抛物线上是否存在点P,使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等?
若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.[注:
第②小题可根据解题需要在备用图中画出新抛物线的示意图(画图不计分)]
【提示:
抛物线()的对称轴是,顶点坐标是】
【答案】
(1)答:
如,,等.
(2)解法一:
依题意,得,
∴△=
==,
∴当时,△=0,此时抛物线与轴有一个公共点,
当时,△<0,此时抛物线与轴没有公共点.
解法二:
依题意,得,
∴△=
==,
∵,,∴,
∴当时,△=0,此时抛物线与轴有一个公共点,
当时,>0,△<0,此时抛物线与轴没有公共点.
解法三:
∵抛物线()的顶点坐标是,
依题意,得,∴,
当时,=0,,此时抛物线与轴有一个公共点,
当>0时,则>0,>0,抛物线开口向上,顶点在轴上方,此时抛物线与 轴没有公共点.
当<0时,则<0,<0,抛物线开口向下,顶点在轴下方,此时抛物线与 轴没有公共点.
解法四:
∵抛物线()的顶点坐标是,
依题意,得,
当时,=0,,此时抛物线与轴有一个公共点,
当≠0,>0时,>0,抛物线开口向上,顶点在轴上方,此时抛物线与 轴没有公共点.
当≠0,<0时,<0,抛物线开口向下,顶点在轴下方,此时抛物线与 轴没有公共点.
(3)答:
①新抛物线的解析式为:
,
②存在,有四个符合条件的点P的坐标:
(0,-1),(1,-1),(-),().
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