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大学物理第一章答案
1.5一质点沿半径为0.10m的圆周运动,其角位置(以弧度表示)可用公式表示:
θ=2+4t3.求:
(1)t=2s时,它的法向加速度和切向加速度;
(2)当切向加速度恰为总加速度大小的一半时,θ为何值?
(3)在哪一时刻,切向加速度和法向加速度恰有相等的值?
[解答]
(1)角速度为
ω=dθ/dt=12t2=48(rad·s-1),
法向加速度为
an=rω2=230.4(m·s-2);
角加速度为
β=dω/dt=24t=48(rad·s-2),
切向加速度为
at=rβ=4.8(m·s-2).
(2)总加速度为a=(at2+an2)1/2,
当at=a/2时,有4at2=at2+an2,即
.
由此得,
即,
解得.
所以
=3.154(rad).
(3)当at=an时,可得rβ=rω2,
即24t=(12t2)2,
解得t=(1/6)1/3=0.55(s).
1.7一个半径为R=1.0m的轻圆盘,可以绕一水平轴自由转动.一根轻绳绕在盘子的边缘,其自由端拴一物体A.在重力作用下,物体A从静止开始匀加速地下降,在Δt=2.0s内下降的距离h=0.4m.求物体开始下降后3s末,圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度.
[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度.
由于,所以
at=2h/Δt2=0.2(m·s-2).
物体下降3s末的速度为
v=att=0.6(m·s-1),
这也是边缘的线速度,因此法向加速度为
=0.36(m·s-2).
1.8一升降机以加速度1.22m·s-2上升,当上升速度为2.44m·s-1时,有一螺帽自升降机的天花板上松落,天花板与升降机的底面相距2.74m.计算:
(1)螺帽从天花板落到底面所需的时间;
(2)螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离.
[解答]在螺帽从天花板落到底面时,升降机上升的高度为
;
螺帽做竖直上抛运动,位移为
.
由题意得h=h1-h2,所以
,
解得时间为
=0.705(s).
算得h2=-0.716m,即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m.
[注意]以升降机为参考系,钉子下落时相对加速度为a+g,而初速度为零,可列方程
h=(a+g)t2/2,
由此可计算钉子落下的时间,进而计算下降距离.
第一章质点运动学
1.1一质点沿直线运动,运动方程为x(t)=6t2-2t3.试求:
(1)第2s内的位移和平均速度;
(2)1s末及2s末的瞬时速度,第2s内的路程;
(3)1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度.
[解答]
(1)质点在第1s末的位移大小为
x
(1)=6×12-2×13=4(m).
在第2s末的位移大小为
x
(2)=6×22-2×23=8(m).
在第2s内的位移大小为
Δx=x
(2)–x
(1)=4(m),
经过的时间为Δt=1s,所以平均速度大小为
=Δx/Δt=4(m·s-1).
(2)质点的瞬时速度大小为
v(t)=dx/dt=12t-6t2,
因此v
(1)=12×1-6×12=6(m·s-1),
v
(2)=12×2-6×22=0,
质点在第2s内的路程等于其位移的大小,即Δs=Δx=4m.
(3)质点的瞬时加速度大小为
a(t)=dv/dt=12-12t,
因此1s末的瞬时加速度为
a
(1)=12-12×1=0,
第2s内的平均加速度为
=[v
(2)-v
(1)]/Δt=[0–6]/1=-6(m·s-2).
[注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒.
1.2一质点作匀加速直线运动,在t=10s内走过路程s=30m,而其速度增为n=5倍.试证加速度为.
并由上述数据求出量值.
[证明]依题意得vt=nvo,
根据速度公式vt=vo+at,得
a=(n–1)vo/t,
(1)
根据速度与位移的关系式vt2=vo2+2as,得
a=(n2–1)vo2/2s,
(2)
(1)平方之后除以
(2)式证得
.
计算得加速度为
=0.4(m·s-2).
1.3一人乘摩托车跳越一个大矿坑,他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s-1从西边起跳,准确地落在坑的东边.已知东边比西边低70m,忽略空气阻力,且取g=10m·s-2.问:
(1)矿坑有多宽?
他飞越的时间多长?
(2)他在东边落地时的速度?
速度与水平面的夹角?
[解答]方法一:
分步法.
(1)夹角用θ表示,人和车(他)在竖直方向首先做竖直上抛运动,初速度的大小为
vy0=v0sinθ=24.87(m·s-1).
取向上的方向为正,根据匀变速直线运动的速度公式
vt-v0=at,
这里的v0就是vy0,a=-g;当他达到最高点时,vt=0,所以上升到最高点的时间为
t1=vy0/g=2.49(s).
再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式
vt2-v02=2as,
可得上升的最大高度为
h1=vy02/2g=30.94(m).
他从最高点开始再做自由落体运动,下落的高度为
h2=h1+h=100.94(m).
根据自由落体运动公式s=gt2/2,得下落的时间为
=4.49(s).
因此他飞越的时间为
t=t1+t2=6.98(s).
他飞越的水平速度为
vx0=v0cosθ=60.05(m·s-1),
所以矿坑的宽度为
x=vx0t=419.19(m).
(2)根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为
vy=gt=69.8(m·s-1),
落地速度为
v=(vx2+vy2)1/2=92.08(m·s-1),
与水平方向的夹角为
φ=arctan(vy/vx)=49.30?
,
方向斜向下.
方法二:
一步法.取向上的方向为正,他在竖直方向的位移为y=vy0t-gt2/2,移项得时间的一元二次方程
,
解得
.
这里y=-70m,根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小,由于时间应该取正值,所以公式取正根,计算时间为
t=6.98(s).
由此可以求解其他问题.
1.4一个正在沿直线行驶的汽船,关闭发动机后,由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度,即dv/dt=-kv2,k为常数.
(1)试证在关闭发动机后,船在t时刻的速度大小为;
(2)试证在时间t内,船行驶的距离为.
[证明]
(1)分离变量得,
积分,
可得.
(2)公式可化为,
由于v=dx/dt,所以
积分.
因此.证毕.
[讨论]当力是速度的函数时,即f=f(v),根据牛顿第二定律得f=ma.
由于a=d2x/dt2,
而dx/dt=v,
所以a=dv/dt,
分离变量得方程
,
解方程即可求解.
在本题中,k已经包括了质点的质量.如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比,则
dv/dt=-kvn.
(1)如果n=1,则得
,
积分得
lnv=-kt+C.
当t=0时,v=v0,所以C=lnv0,因此
lnv/v0=-kt,
得速度为
v=v0e-kt.
而dv=v0e-ktdt,积分得
.
当t=0时,x=0,所以C`=v0/k,因此
.
(2)如果n≠1,则得,积分得
.
当t=0时,v=v0,所以,因此
.
如果n=2,就是本题的结果.
如果n≠2,可得
,
读者不妨自证.
1.5一质点沿半径为0.10m的圆周运动,其角位置(以弧度表示)可用公式表示:
θ=2+4t3.求:
(1)t=2s时,它的法向加速度和切向加速度;
(2)当切向加速度恰为总加速度大小的一半时,θ为何值?
(3)在哪一时刻,切向加速度和法向加速度恰有相等的值?
[解答]
(1)角速度为
ω=dθ/dt=12t2=48(rad·s-1),
法向加速度为
an=rω2=230.4(m·s-2);
角加速度为
β=dω/dt=24t=48(rad·s-2),
切向加速度为
at=rβ=4.8(m·s-2).
(2)总加速度为a=(at2+an2)1/2,
当at=a/2时,有4at2=at2+an2,即
.
由此得,
即,
解得.
所以
=3.154(rad).
(3)当at=an时,可得rβ=rω2,
即24t=(12t2)2,
解得t=(1/6)1/3=0.55(s).
1.6一飞机在铅直面内飞行,某时刻飞机的速度为v=300m·s-1,方向与水平线夹角为30°而斜向下,此后飞机的加速度为a=20m·s-2,方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上,问多长时间后,飞机又回到原来的高度?
在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少?
[解答]建立水平和垂直坐标系,飞机的初速度的大小为
v0x=v0cosθ,
v0y=v0sinθ.
加速度的大小为
ax=acosα,
ay=asinα.
运动方程为
,
.
即,
.
令y=0,解得飞机回到原来高度时的时间为
t=0(舍去);(s).
将t代入x的方程求得x=9000m.
[注意]选择不同的坐标系,例如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向,也能求出相同的结果.
1.7一个半径为R=1.0m的轻圆盘,可以绕一水平轴自由转动.一根轻绳绕在盘子的边缘,其自由端拴一物体A.在重力作用下,物体A从静止开始匀加速地下降,在Δt=2.0s内下降的距离h=0.4m.求物体开始下降后3s末,圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度.
[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度.
由于,所以
at=2h/Δt2=0.2(m·s-2).
物体下降3s末的速度为
v=att=0.6(m·s-1),
这也是边缘的线速度,因此法向加速度为
=0.36(m·s-2).
1.8一升降机以加速度1.22m·s-2上升,当上升速度为2.44m·s-1时,有一螺帽自升降机的天花板上松落,天花板与升降机的底面相距2.74m.计算:
(1)螺帽从天花板落到底面所需的时间;
(2)螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离.
[解答
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