中考复习 数学考点专项训练专题七十四相交线与平行线Word下载.docx

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6．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：

∠EOC＝2：

3，

（1）如图1，若∠BOD＝75°

，求∠BOE；

（2）如图2，若OF平分∠BOE，∠BOF＝∠AOC+12°

，求∠EOF．

7．直线AB、CD相交于点O，∠EOF在∠AOD的内部．

（1）如图①，当∠AOD＝150°

，∠EOF＝30°

时，求∠AOF与∠EOD的度数和；

（2）在

（1）的条件下，请直接写出图中与∠BOC互补的角；

（3）如图②，若射线OM平分∠AOD（OM在∠EOD内部），且满足∠EOD＝2∠FOM，请判断∠AOF与∠EOF的大小关系并说明理由．

8．问题情境

（1）如图1，已知AB∥CD，∠PBA＝125°

，∠PCD＝155°

，求∠BPC的度数．

佩佩同学的思路：

过点P作PG∥AB，进而PG∥CD，由平行线的性质来求∠BPC，求得∠BPC＝　　°

；

问题迁移

（2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB＝90°

，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED＝∠α，∠PAC＝∠β．

①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；

②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？

请判断并说明理由．

9．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，CA上，DE交BF于点G，∠1与∠2互补．

（1）试判断AC，DE的位置关系，并说明理由；

（2）如图，EF⊥BC，垂足为点E，过点G作GH⊥EF，垂足为点H，点N是线段BE上一点，∠NBH＝∠NHB，HM平分∠NHF．

①求证：

HB平分∠GHN；

②问∠BHM的大小是否改变？

若不变，请求出∠BHM的度数；

若改变，请求出∠BHM的度数的取值范围．

10．如图：

O是直线AB上一点，∠AOC＝50°

，OD是∠BOC的角平分线，OE⊥OC于点O．求∠DOE的度数．（请补全下面的解题过程）

解：

∵O是直线AB上一点，∠AOC＝50°

∴∠BOC＝180°

﹣∠AOC＝　　°

．

∵OD是∠BOC的角平分线，

∴∠COD＝　　∠BOC．（　　）

∴∠COD＝65°

∵OE⊥OC于点O，（已知）．

∴∠COE＝　　°

．（　　）

∴∠DOE＝∠COE﹣∠COD＝　　°

11．如图，直线AC∥BD，直线AB分别与它们相交于A，B，三条直线把平面分成①②③④⑤⑥六个部分（每个部分不包括边界）．当动点P落在某个部分时，连结PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．

（1）当动点P落在第①部分时，求证：

∠APB＝∠PAC+∠PBD；

（2）当动点P落在第②部分时，∠PAC，∠APB，∠PBD三者之间的数量关系是　　；

（3）当动点P落在第③部分时，∠PAC，∠APB，∠PBD三者之间的数量关系是　　；

（4）当动点P落在第④部分时，∠PAC，∠APB，∠PBD三者之间的数量关系是　　．

12．在解答一道课本习题时，两位同学呈现了不同的做法．

题目：

如图，AB∥CD，要使∠ABE＝∠DCF，还需要添加什么条件？

证明你的结论．

（1）小明添加的条件是“CF∥BE”．根据这一条件完成以下分析过程．

（2）小刚添加的条件是“CF平分∠DCB，BE平分∠ABC”，根据这一条件请你完成证明过程．

13．

（1）问题发现：

如图1，已知点F，G分别在直线AB，CD上，且AB∥CD，若∠BFE＝40°

，∠CGE＝130°

，则∠GEF的度数为　　；

（2）拓展探究：

∠GEF，∠BFE，∠CGE之间有怎样的数量关系？

写出结论并给出证明；

答：

∠GEF＝　　．

证明：

过点E作EH∥AB，

∴∠FEH＝∠BFE（　　），

∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）

∴EH∥CD（　　），

∴∠HEG＝180°

﹣∠CGE（　　），

∴∠FEG＝∠HEG+∠FEH＝　　．

（3）深入探究：

如图2，∠BFE的平分线FQ所在直线与∠CGE的平分线相交于点P，试探究∠GPQ与∠GEF之间的数量关系，请直接写出你的结论．

14．探究：

如图①，AB∥CD∥EF，试说明∠BCF＝∠B+∠F．下面给出了这道题的解题过程，请在下列解答中，填上适当的理由．

∵AB∥CD，（已知）

∴∠B＝∠1．（　　）

同理可证，∠F＝∠2．

∵∠BCF＝∠1+∠2，

∴∠BCF＝∠B+∠F．（　　）

应用：

如图②，AB∥CD，点F在AB、CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N．若∠EFG＝115°

，∠EMB＝55°

，则∠DNG的大小为　　度．

拓展：

如图③，直线CD在直线AB、EF之间，且AB∥CD∥EF，点G、H分别在直线AB、EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG、QH．若∠GQH＝70°

，则∠AGQ+∠EHQ＝　　度．

15．已知AB∥CD，点M为平面内一点．

（1）如图1，∠ABM和∠DCM互余，小明说过M作MP∥AB，很容易说明BM⊥CM．请帮小明写出具体过程；

（2）如图2，AB∥CD，当点M在线段AD上移动时（点M与A，D两点不重合），指出∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系？

请说明理由；

（3）在

（2）的条件下，若点M在A，D两点外侧运动（点M与E，A，D三点不重合）请直接写出∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系．

16．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知AB∥CD，分别探讨下面三个图形中∠BAP与∠APC、∠DCP的关系，请任选一个加以说明．

17．如图，已知AF分别与BD、CE交于点G、H，∠1＝55°

，∠2＝125°

若∠A＝∠F，求证：

∠C＝∠D．

下面是某同学根据已知条件推断∠C＝∠D的过程，请在括号中补充理由．

因为∠2+∠AHC＝180°

（互为邻补角），

所以∠AHC＝180°

﹣∠2＝180°

﹣125°

＝55°

所以∠AHC＝∠1＝55°

所以BD∥CE（　　）．

所以∠ABD＝∠C（　　）．

因为∠A＝∠F（已知），

所以AC∥DF（　　）．

所以　　（　　）．

所以∠C＝∠D（等量代换）．

相交线与平行线参考答案

【答案】解：

（1）EF和AB的关系为平行关系．理由如下：

∵CD∥AB，∠DCB＝70°

∴∠DCB＝∠ABC＝70°

∵∠CBF＝20°

∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝50°

∵∠EFB＝130°

∴∠ABF+∠EFB＝50°

+130°

＝180°

∴EF∥AB；

（2）∵EF∥AB，CD∥AB，

∴EF∥CD，

∵∠CEF＝70°

∴∠ECD＝110°

∵∠DCB＝70°

∴∠ACB＝∠ECD﹣∠DCB，

∴∠ACB＝40°

（1）∵DF∥BC，

∴∠ABC＝∠ADF＝70°

∵∠ABF＝25°

∴∠CBF＝70°

﹣25°

＝45°

（2）证明：

∵DF∥BC，

∴∠ABC＝∠ADF，

∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADF，

∴∠ADE＝

ADF，∠ABF＝

ABC，

∴∠ADE＝∠ABF，

∴BF∥DE．

（1）∵BC∥ED，∠B＝44°

∴∠DAB＝∠B＝44°

∵∠BAC＝180°

﹣∠DAB﹣∠EAC

∴∠BAC＝180°

﹣44°

﹣57°

＝79°

（2）过点A作MN∥BG，

∴∠ACG＝∠MAC，∠ABC＝∠MAB

而∠MAC＝∠MAB+∠BAC

∴∠ACG＝∠MAB+∠BAC＝∠ABC+∠BAC．

（3）如图，设AC与FH交于点P

∵FH平分∠AFE，CH平分∠ACG

∴∠AFH＝∠EFH＝

∠AFE，∠ACH＝∠HCG＝

∠ACG

∵BC∥ED

∴∠AFE＝∠B

∴∠AFH＝

∠B

∵∠A+∠B＝∠ACG

∴∠ACH＝

∠ACG＝

∠A+

在△APF和△CPH中

∵∠APF＝∠CPH

∴∠A+

∠B＝

∠B+∠FHC

∴∠FHC＝

∠A

∵∠FCH＝2∠A﹣60°

∴

∠A＝2∠A﹣60°

∴∠A＝40°

（1）EF∥GH，理由如下：

在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°

，α＝90°

∴∠2+∠3＝90°

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°

∵∠1+∠2+∠FEG＝180°

∠3+∠4+∠EGH＝180°

∴∠FEG+∠EGH＝180°

∴EF∥GH

（2）β＝2α﹣180°

，理由如下：

∴∠2+∠3＝180°

﹣α，

∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，

∴∠2＝∠MEB，

∴∠MEG＝2∠2，

同理可得，∠MGE＝2∠3，

在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°

∴β＝180°

﹣（∠MEG+∠MGE）

﹣（2∠2+2∠3）

﹣2（∠2+∠3）

﹣2（180°

﹣α）

＝2α﹣180°

（3）90°

+m或150°

理由如下：

①当n＝3时，如下图所示：

∵∠BEG＝∠1＝m，

∴∠BGE＝∠CGH＝60°

﹣m，

∴∠FEG＝180°

﹣2∠1＝180°

﹣2m，

∠EGH＝180°

﹣2∠BGE＝180°

﹣2（60°

﹣m），

∵EF∥HK，

∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°

则∠GHK＝120°

则∠GHC＝30°

由△GCH内角和，得γ＝90°

+m．

②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°

与题意不符；

则只能在CD边反射后与EF平行，

如下图所示：

根据三角形外角定义，得

∠G＝γ﹣60°

由EF∥HK，且由

（1）的结论可得，

＝90°

则γ＝150°

综上所述：

γ的度数为：

90°

（1）∵∠1与∠2互补，

∴AC∥DF，

∴∠BFD＝∠C＝40°

（2）DE∥BC，理由如下：

由

（1）可知：

∠BFD＝∠C，

∵∠C＝∠3，

∴∠BFD＝∠3，

∴DE∥BC．

（1）∵∠AOC＝∠BOD＝75°

，∠AOE：

﹣∠BOD＝180°

﹣75°

＝105°

∠COE＝

∠AOC＝

×

75°

∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝105°

+45°

＝150°

（2）∵OF平分∠BOE，

∴∠EOF＝∠BOF，

∵∠BOF＝∠AOC+12°

＝∠EOF，

∴∠FOC+∠COE＝∠AOE+∠COE+12°

即：

∴∠FOC＝∠AOE+12°

设∠AOE＝x°

，则∠FOC＝（x+12）°

，∠COE＝

x°

∵∠AOE+∠EOF+∠BOF＝180°

∴x+（x+12+

x）×

2＝180，

解得，x＝26，

∴∠EOF＝∠COE+∠COF＝

+x°

+12°

＝77°

（1）∵∠DOE+∠EOF+∠AOF＝∠AOD＝150°

且∠EOF＝30°

∴∠DOE+∠AOF＝∠150°

﹣30°

＝120°

（2）根据补角的定义可知图中与∠BOC互补的角有∠BOD、∠AOC、∠EOF；

（3）∠AOF＝∠EOF，理由如下：

∵OM平分∠AOD，

∴∠DOM＝∠AOM，

∴∠AOF＝∠AOM﹣∠FOM

＝∠DOM﹣∠FOM

＝∠EOD﹣∠MOE﹣∠FOM

＝2∠FOM﹣∠MOE﹣∠FOM

＝∠FOM﹣∠MOE

∴∠AOF＝∠EOF．

（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，

由平行线的性质可得∠B+∠BPG＝180°

，∠C+∠CPG＝180°

又∵∠PBA＝125°

∴∠BPC＝360°

﹣155°

＝80°

故答案为：

80；

（2）①如图2，

∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠α+∠β；

②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠β﹣∠α；

理由：

过P作PQ∥DF，

∵DF∥CG，

∴PQ∥CG，

∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，

∴∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α．

（1）AC∥DE，理由如下：

∵∠1与∠2互补，

∴∠1+∠2＝180°

∵∠2＝∠DGF，

∴∠1+∠DGF＝180°

∴AC∥DE；

（2）①∵EF⊥BC，GH⊥EF，

∴∠BEF＝∠GHF＝90°

∴BE∥GH，

∴∠NBH＝∠BHG，

∵∠NBH＝∠NHB，

∴∠BHG＝∠NHB，

∴HB平分∠GHN；

②∠BHM的大小不发生改变，∠BHM＝45°

．理由如下：

∵HM平分∠NHF．

∴∠FHM＝∠NHM，

即∠FHM＝∠GHM+∠BHG+∠NHB，

∵∠FHM+∠GHM＝90°

∴∠GHM+∠BHG+∠NHB+∠GHM＝90°

∵∠BHG＝∠NHB，

∴2∠GHM+2∠BHG＝90°

∴∠GHM+∠BHG＝45°

即∠BHM＝45°

∠BHM的大小不发生改变，∠BHM＝45°

﹣∠AOC＝130°

∴∠COD＝

∠BOC．（角平分线的定义）

∴∠COE＝90°

．（垂直的定义）

∴∠DOE＝∠COE﹣∠COD＝25°

130，

，角平分线的定义，90，垂直的定义，25．

【答案】

（1）证明：

过点P作AC的平行线，交AB于点E，如图1．

∵PE∥AC，AC∥BD，

∴PE∥BD，

∴∠PAC＝∠APE，∠PBD＝∠EPB，

∴∠APB＝∠APE+∠EPB＝∠PAC+∠PBD；

（2）解：

∠APB+∠PAC+∠PBD＝360°

过点P作EF∥AC，如图2，

因为AC∥BD，

所以EF∥BD，

所以∠BPF+∠PBD＝180°

同理∠APF+∠PAC＝180°

因此∠APF+∠BPF+∠PAC+∠PBD＝360°

即∠APB+∠PAC+∠PBD＝360°

（3）解：

∠PAC＝∠APB+∠PBD．理由如下：

如图3，∵AC∥BD，

∴∠PBD＝∠PQC．

∵∠PAC＝∠APB+∠PQC，

∴∠PAC＝∠APB+∠PBD；

（4）解：

∠PAC+∠APB＝∠PBD．

如图4，∵AC∥BD，

∵∠PAC+∠APB＝∠PQC，

∴∠PAC+∠APB＝∠PBD．

故答案为

（2）∠APB+∠PAC+∠PBD＝360°

（3）∠PAC＝∠PBD+∠APB；

（4）∠PAC+∠APB＝∠PBD．

（1）由CF∥BE，得到∠FCB＝∠EBC，

依据的是平行线的性质：

两直线平行，内错角相等．

两直线平行，内错角相等；

∠FCB＝∠EBC，

（2）∵AB∥CD，

∴∠DCB＝∠ABC．

∵CF平分∠DCB，BE平分∠ABC，

∴∠DCB＝2∠DCF，∠ABC＝2∠ABE．

∴∠ABE＝∠DCF．

∴∠FEG＝∠HEG+∠FEH