《矩形正方形》习题精选及参考答案Word格式.docx
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A.2
B.
C.
D.3
5.如图,矩形ABCD被分成7个全等的小矩形,已知矩形ABCD的周长为68,则矩形ABCD的面积为(
A.136
B.240
C.280
D.204
填空题:
1.矩形一个角的平分线分矩形一边长为1cm和3cm两部分,则这个矩形的面积为________cm2.
2.如图,矩形ABCD中,AC、BD交于点O,AE⊥BD于E,DE=EO,OF⊥AB于F,OF=3cm,则BD=________cm.
3.如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在F处,BF交AD于点E,若∠EBD=25º
,则∠FDE=________.
解答题:
1.如图,矩形ABCD中,点E、F是BC上两点,且BE=CF,AF、DE交于点M;
求证:
AM=DM.
2.如图,AB⊥BC,DC⊥BC,EA=ED,∠AEB=75º
,∠DEC=45º
;
AB=BC.
3.如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30º
求ΔECD的面积.
参考答案:
1.D
说明:
选项A,因为四边形的内角和为360º
,所以四个角都相等的四边形应该是每个角都为90º
,因此,是矩形;
选项B,对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形是矩形,即对角线互相平分且相等的四边形是矩形;
选项C,一个角是直角的平行四边形是矩形;
选项D,有两个角是直角的四边形,另外两个角不能保证也是直角,所以这样的四边形不一定是矩形,答案为D.
2.A
根据折叠原则得ΔADE≌ΔAFE,则AD=AF,DE=FE,在RtΔABF中求出BF=6,则CF=4;
设EF=x,则EC=8−x;
在RtΔECF中,(8−x)2+42=x2,解得x=5,则DE=5;
在RtΔADE中,AE=
=5
,所以答案为A.
3.D
设正方形的边长为1个单位长度,则S矩形ABCD=5×
3=15;
由图可知S黄色=S矩形ABCD−SΔAEF−SΔEDH−SΔGCH−SΔFBG=15−
×
2×
1−
4×
1=9,所以S黄:
S矩=3:
5,答案为D.
4.C
连结PO,利用面积公式进行解题;
SΔAPO=
AO·
PE,SΔPOD=
OD·
PF;
在RtΔABD中,BD=
=5,则AO=DO=
因此,SΔAPO+SΔPOD=
(PE+PF),即SΔAOD=
(PE+PF);
因为SΔAOD=
S矩形ABCD,所以SΔAOD=
3×
4=3;
则有
(PE+PF)=3,所以PE+PF=
,答案为C.
5.C
设小矩形的长为x,宽为y;
由图形得:
5x=2y①,2(5x+x+y)=68②,解这个方程组可得:
x=4,y=10;
因此,S矩形ABCD=2y·
(x+y)=280,答案为C.
1.4或12
有两种可能的情况:
第一种情况,如图①,BE=1,EC=3,由于∠BAE=∠DAE,∠DAE=∠AEB,得出∠BAE=∠AEB,则AB=BE=1,S矩形=AB·
BC=4
第二种情况,如图②,BE=3,EC=1,同理可得AB=BE=3,则S矩形=AB·
BC=12.
2.12
因为DE=DO且AE⊥OD,知ΔADO为等腰三角形,AD=AO,又ABCD为矩形,则由矩形的性质,对角线互相平分且相等,知AO=OD,所以ΔADO为等边三角形,∠DAO=60º
,从而∠OAF=30º
,在RtΔAOF中,AO=2OF=6,所以BD=2AO=12.
3.40º
由ΔFBD≌ΔCBD得,∠CBD=25º
,则∠BDC=65º
,因此∠FDB=65º
而∠EDB=∠CBD=25º
,所以∠FDE=65º
−25º
=40º
.
1.证明:
∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF
∴BF=CE
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD,∠B=∠C,∠BAD=∠CDA=90º
∴ΔABF≌ΔDCE
∴∠BAF=∠CDE
∴∠MAD=∠MDA
∴AM=DM
2.分析:
过点D作DF⊥AB于点F,构造矩形DCBF,得到BC=DF,即证DF=AB,只需证明ΔDAF≌ΔAEB即可
证明:
连结AD,过点D作DF⊥AB于点F,如图
∵AB⊥BC,DC⊥BC,DF⊥AB
∴四边形DCBF是矩形,∴DF=BC
∵∠AEB=75º
∴∠AED=180º
−75º
−45º
=60º
∵EA=ED,∴ΔAED为等边三角形
∴∠DAE=60º
,AD=EA
∵AB⊥BE,∠AEB=75º
,∴∠EAB=15º
∴∠DAF=60º
+15º
=75º
,∴∠DAF=∠AEB
∵∠DFA=∠ABE=90º
,∴ΔDAF≌ΔAEB,∴DF=AB
∴AB=BC
3.分析:
由题意,设EB=x,则AB=CD=2x;
在RtΔDAB中,可得DB=4x,因此,在RtΔDCB中,有(2x)2+22=(4x)2,解得x=
从而DE=3x=
然后,过点C作CF⊥DE于点F,由ΔAEB≌ΔCFD可得CF=AE;
在RtΔAEB中求得AE=1,所以CF=1,因此,SΔECD=
DE·
CF=
解:
∵AE⊥BD,∠BAE=30º
,∴AB=2BE,∠DBA=60º
设BE=x,则AB=2x
∵四边形ABCD是长方形,∴CD=AB=2x,∠DAB=90º
,CD//AB
∴∠BDA=30º
,∠CDB=∠ABE,∴DB=2AB=4x
∵BC=2,∴在RtΔDCB中,(2x)2+22=(4x)2
∴x=
,∴DE=4x−x=
过点C作CF⊥BD于点F,∴∠CFD=∠AEB
∴ΔCFD≌ΔAEB(角角边),∴CF=AE
在RtΔAEB中,AE=
=
=1,∴CF=1
∴SΔECD=
1=
习题二
一、填空
1.正方形既是
相等的矩形,又是有一个角是
的菱形.
2.正方形和菱形比较,除具有
的性质外,它们具有的共同性质还有:
四条边都
,对角线
.
3.对角线
的四边形是正方形.
4.正方形和矩形比较,除具有
的性质外,它们还具有的共同性质还有:
四个角都
5.如果一个正方形的边长恰好等于边长为m的正方形对角线的长,那么这两个正方形周长和为
,面积的和为
6.如图4.6-12,正方形ABCD中,E、F分别是CD、DA上的点,并且EF=AF+CE,∠BEF=∠BEC,那么∠EBF=
度.
7.如图4.6-13,正方形ABCD中,E是CF上的点,四边形BEFD是菱形,那么∠BEF=
度.
8.如图4.6-14,E是正方形ABCD边BC延长线上的一点,若EC=AC,AE交CD于F,那么∠AFC=
9.如图4.6-15,将边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上一点E,若DE为5,则折痕PQ的长为
10.P是正方形ABCD内一点,△PAB为正三角形,若正方形的面积为1,则△PAB的面积为
二、选择题
1.下列命题是真命题的是(
)
A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2.正方形具有而矩形不一定具有性质是(
A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.对角线互相平分且相等
D.对角线互相垂直
3.下列命题中,错误的是(
A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B.两组对边分别相等的四边是平行四边形
C.有一个角是直角的平行四边形是矩形
D.四个角相等的菱形是正方形
4.如图,正方形ABCD中,CE=MN,∠MCE=35°
,那么∠ANM是(
A.45°
B.55°
C.65°
D.75°
5.下列命题正确的是(
A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.以一条对角线所在直线为对称轴的平行四边形是菱形
C.顺次连结矩形四条边中点所得的四边形仍是矩形
6.下列命题中,假命题是(
A.矩形的对角线相等
B.菱形的对角线互相垂直
C.正方形的对角线相等且互相垂直
D.梯形的对角线互相平分
7.在正方形ABCD的对角线AC上取一点E,使AE=AB,作EF⊥AC交BC于F,则下列关系式成立的是(
A.BF=EC
B.BF≠EC
C.BF<EC
D.BF>EC
8.以正方形ABCD的边AB向外作等边三角形ABE,BD、CE交于F,则∠AFD的度数为(
A.50°
B.60°
C.67.5°
9.在正方形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的三等分点,则四边形EFGH是(
A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.平行四边形
10.给出下列结论:
(1)正方形具有平行四边形的一切性质,
(2)正方形具有矩形的一切性质,(3)正方形具有菱形的一切性质,(4)正方形共有两条对称轴,(5)正方形共有四条对称轴,其中正确的结论有(
A.2
B.3个
C.4个
D.5个
三、解答题
1.在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使CE=AC,连结AE交CD于F,求∠AFD的度数?
2.如图所示,K是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,使L、M、D在AK的同旁,连结BK和DM,求证:
BK=DM.
3.如图,已知正方形ABCD,在BC上取一点E,延长AB至F,使BF=BE,AE的延长线交CF于G,求证AG⊥CF.
4.如图,E为正方形ABCD的边AB延长线上一点,DE交AC于F,交BC于G,H为GE的中点.求证:
BF⊥BH.
5.如图,E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,且∠EAF=45°
,求证:
EF=BE+DF.
参考答案
一、1.邻边相等
直角
2.平行四边形
相等
互相垂直且平分每一组对角
3.相互平分
互相垂直
4.平行四边形
是直角
5.4(
+1)m
3m2
6.45°
7.150°
8.112.5°
9.13
10.
二、1.C
2.D
3.A
4.B
5.B
6.D
7.A
8.C
9.A
10.C
三、1.67.5°
2.提示:
证△MAD≌△KAB(SAS)
3.提示:
证△ABE≌△CBF,再证∠AGC=∠ABE=90°
4.先证△BCF≌△DCF,得:
∠CDF=∠CBF,进而证∠GBF=∠HBG,得:
∠FBG+∠GBH=∠GBH+∠HBE=90°
,得BF⊥BH
5.提示:
延长CB到G,使BG=FD,证△ABG≌△ADF,得:
∠BAG=∠DAF,再证△AEF≌△AEG,得EF=EG=EB+BG=EB+DF
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