北师大九年级数学上册教案删减版修正版Word文档格式.docx

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三个方面探讨菱形的性质.对学生的结论,教师要及时作出评价,积极引导,激励学生.

【做一做】

请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:

（1）菱形是轴对称图形吗?

如果是,它有几条对称轴?

对称轴之间有什么位置关系?

（2）菱形中有哪些相等的线段?

5.展示交流

【教师活动】　例题讲解.

（教材例1）如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠BAD＝60°

BD＝6,求菱形的边长AB和对角线AC的长.

〔解析〕　因为菱形的邻边相等,一个内角是60°

这样就可以得到等边三角形ABD,由BD＝6知菱形的边长也是6.菱形的对角线互相垂直,可以得到直角三角形AOB.菱形的对角线互相平分,可以得到OB＝3,根据勾股定理就可以求出OA的长度,再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC＝2OA,求出AC.

解:

∵四边形ABCD是菱形,

∴AB＝AD（菱形的四条边相等）,

AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）,

OB＝OD＝BD＝×

6＝3（菱形的对角线互相平分）.

在等腰三角形ABD中,∵∠BAD＝60°

∴ΔABD是等边三角形.∴AB＝BD＝6.

在RtΔAOB中,由勾股定理,得:

OA2＋OB2＝AB2,

∴OA＝＝3,

∴AC＝2OA＝6.

[知识拓展]　

（1）菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质;

（2）菱形的定义既可以看做菱形的性质,也可以看做菱形的判定方法.

6.小结

1.菱形的定义:

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2.菱形的性质:

（1）菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线;

（2）菱形的四条边都相等;

（3）菱形的对角线互相垂直平分.

3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.

7.作业、

第2课时

1.理解菱形的定义,掌握菱形的判定方法;

会用这些判定方法进行有关的论证和计算.

2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.

【重点】　探索证明菱形的两个判定方法,掌握证明的基本要求和方法.

【难点】　明确推理证明的条件和结论能用数学语言正确表达.

人们戴的帽子的形状千奇百怪,有一段时间,电视上经常看到大学生戴的菱形帽,它是受到外国博士帽的启发.在日本,到第二次世界大战为止,戴菱形帽一直是年轻人的梦想,戴上它显得有知识有学问.这是由于菱形的特殊因素能给人一种舒服的感觉.

那么,我们怎样判断一个四边形是否是菱形呢?

由菱形的定义判定

【学生活动】　明确菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的第一种判定方法,即有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

【思考】　除了运用菱形的定义,类比平行四边形的性质定理和判定定理,你能找出判定菱形的其他方法吗?

菱形的判定

（1）

已知:

在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.求证▱ABCD是菱形.

证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OA＝OC.

∵AC⊥BD,

∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线.

∴BA＝BC.

∴▱ABCD是菱形（菱形的定义）.

【思考】　从上述证明过程中,你得出什么结论?

定理:

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

菱形的判定

（2）

问题

我们如何画一个菱形呢?

通常先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧交点C,连接BC,CD即可.

3.小结

4.练习

1.下列命题正确的是（　　）

A.对角线互相平分的四边形是菱形

B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形

D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

答案:

D

2.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　

　　A.等腰梯形B.正方形C.长方形D.菱形

5.作业

第3课时

1、教学目标：

1.菱形面积的特殊计算方法.

2.通过三角形、平行四边形等特殊图形面积的计算,类比推导出菱形面积的计算方法.

3.培养类比推导的数学思维习惯,鼓励探索尝试精神.

【重点】　菱形面积计算的特殊方法.

【难点】　菱形面积计算的特殊方法的总结.

导入一:

同学们已经了解了三角形、正方形、平行四边形等图形面积的计算,那么菱形的面积怎样计算呢?

导入二:

如图所示,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD＝6cm,∠ABC＝60°

则四边形ABCD的面积等于　　　　. 

菱形的面积计算

（教材例3）如图所示,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:

3.学生活动

菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半.

4.小结

菱形是特殊的平行四边形,所以平行四边形的面积公式同样适用于菱形,即“底×

高”,要注意底与高必须是相互对应的.另外由于菱形的特殊性,它的面积等于其两条对角线长的乘积的一半.

5.练习

1.菱形的两条对角线长是8cm和10cm,则菱形的面积是　　　　cm2. 

40

2.一个菱形的两条对角线长分别为7cm和8cm,则这个菱形面积为（　　）

　　A.56cm2B.28cm2　C.14cm2D.36cm2

6.作业

2矩形的性质与判定第1课时

1.掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别和联系.

2.会初步运用矩形的概念和性质解决有关问题.

【重点】　矩形的性质.

【难点】　矩形的性质的灵活应用.

回答下列问题:

【问题1】　什么叫做平行四边形?

它具有哪些性质?

【问题2】　想一想,这里面展示的物体都是一些什么形状的图形?

矩形的定义

教师演示活动的平行四边形框架,学生观察并思考:

（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗?

（2）在运动过程中四边形不变的是什么?

改变的是什么?

（3）在角的大小改变过程中有特殊值吗?

这时的平行四边形是什么图形?

矩形的性质

1.观察试验,发现问题

教师在平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别固定在相对的两个顶点上,作为它的对角线,拉动一对不相邻的顶点,改变平行四边形的形状.学生观察并思考:

4.动手操作,完善性质

问题1

请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,转一转,观察并思考以下问题:

（1）矩形是不是中心对称图形?

如果是,那么对称中心是什么?

（2）矩形是不是轴对称图形?

如果是,那么对称轴有几条?

结论:

矩形是中心对称图形,它的对称中心是对角线的交点.矩形是轴对称图形,它有两条对称轴.

5.直角三角形的性质定理

1.议一议:

观察右图中的矩形ABCD,你能得出哪些结论?

图中存在哪些特殊的三角形?

矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,那么BO是RtΔABC中一条怎样的特殊线段?

它与AC边的长度有什么大小关系?

由此你能得到怎样的结论?

生总结结论,师板书:

定理　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

　名称

特征　

矩形

定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

性质

边

对边平行且相等

角

四个角都是直角

对角线

对角线互相平分且相等

轴对称性

轴对称图形,有两条对称轴

推论

直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半

7.练习

已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线所成的角为120°

则矩形的边长分别为　　　　. 

8.作业

1.经历并了解矩形判定方法的探索过程,使学生逐步掌握说理的基本方法.

2.掌握矩形的判定方法,能根据判定方法进行初步运用.

【重点】　矩形的判定定理.

【难点】　矩形的判定定理的证明及灵活应用.

【问题1】　投影图片展示门窗、建筑物墙砖、数学教材,观察所展示物体的形状都是什么图形?

【问题2】　一天,小丽和小娟到一个商店准备给今天要过生日的小华买生日礼物,选了半天,她们最后决定买相框送给她,在里面摆放她们三个人的合影,为了相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么用什么方法可以确定她们拿的就是矩形的相框呢?

2..新知构建

矩形的判定

（一）

[处理方式]　边说明、边演示,用上、下一样长,左、右一样长的四根木条,长对长,短对短,首尾相接,做成一个木条框一定是矩形吗?

还要满足什么条件?

教具演示由平行四边形

平行四边形的过程,得出“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”.

矩形的判定

（二）

【教师活动】　提出问题,激发学生探索的积极性,还有没有其他的判定方法呢?

下面我们再来做一做这样的试验,用刚才演示的木条框,对角线用橡皮筋连接.教师逐渐演示,配合多媒体课件的呈现,引导学生得出结论.

矩形的判定（三）

【教师活动】　通过谈话,引导探索其他判定方法,判定方法2实际上是矩形的对角线性质定理的逆定理,那么矩形的其他性质的逆命题,能否作为矩形的判定方法呢?

引导从矩形性质的逆命题中探索.得出结论之后,引导证明结论.设置问题:

想一想:

矩形的四个角是直角,反过来,一个四边形至少有几个角是直角时,这个四边形就是矩形呢?

积极探索多种解题方法,尝试用不同的方法解决问题,小组合作交流探索的成果,体验成功的喜悦.

1.矩形的判定方法

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.

（2）对角线相等的平行四边形是矩形.

（3）有三个角是直角的四边形是矩形.

1.下列说法正确的是（　　）

（1）对角线相等的四边形是矩形;

（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形;

（3）有一个角是直角的四边形是矩形;

（4）有三个角是直角的四边形是矩形;

（5）四个角都相等的四边形是矩形;

（6）对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形;

（7）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形.　　　　　　　　　　　　　　　　

　　A.

（1）

（2）（3）B.

（2）（4）（5）C.（4）（5）（6）D.（3）（4）（7）

1.矩形的性质与判定方法的应用.

2.在复习的过程中,提升推理论证能力,通过复习,提高学生运用知识的能力.

【重点】　矩形的有关性质与判定方法.

【难点】　如何运用矩形的性质与判定来解决问题

回答下列问题.

问题1　矩形有哪些性质?

问题2　如何判定一个平行四边形是矩形?

问题3　如何判定一个四边形是矩形?

[处理方式]　3个问题由学生口答完成,在学生口答时先让学生叙述出文字语言,再让学生结合图形说出如何用数学符号来表达矩形的性质及判定,教师适时点评、矫正.

矩形性质的应用

（教材例3）如图所示,在矩形ABCD中,AD＝6,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,

垂足为E,ED＝3BE.求AE的长.

矩形判定的应用

（教材例4）已知:

如图所示,在ΔABC中,AB＝AC,AD是ΔABC的一条角平分线,AN为ΔABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E.求证:

四边形ADCE是矩形.

1.矩形的性质

（1）矩形的四个角都是直角.

（2）矩形的对边相等.

（3）矩形的对角线平分且相等.

2.矩形的判定方法

（1）一个角是直角的平行四边形是矩形.

（2）三个角是直角的四边形是矩形.

（3）对角线相等的平行四边形是矩形.

一个平行四边形,如果对角线　　　　,则此平行四边形就变成矩形;

如果对角线　　　　,则此平行四边形就变成菱形. 

3正方形的性质与判定第1课时

1.知道正方形在现实生活中的广泛应用,熟悉正方形的有关性质并灵活应用.

2.经历探索正方形的性质的过程,在观察、操作和分析的过程中,进一步增强主动探究的意识,体会说理的基本方法.

【重点】　正方形的定义和性质.

【难点】　正方形的性质的灵活应用.

问题1　上述图片中的四边形都是特殊的平行四边形,除菱形、矩形外,还有一种特殊的平行四边形,观察这些特殊的平行四边形,你能发现它们有什么样的共同特征?

与同伴交流.

问题2　观察特征,填写下表:

图形名称

线

数量关系

位置关系

对称性

　　问题3　议一议:

这种特殊的平行四边形与我们学过的菱形、矩形以及平行四边形之间有什么联系与区别?

如何给它下个定义?

正方形的性质

活动内容1:

（多媒体课件展示）议一议,想一想:

（1）正方形是矩形吗?

是菱形吗?

（2）你认为正方形有哪些性质?

正方形性质的应用

活动内容:

我们学习完正方形的性质后,你能顺利地利用正方形的性质解题吗?

请同学们看例题.

（教材例1）如图所示,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系?

请说明理由.

议一议:

平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系?

你能用一个图直观地表示出它们之间的关系吗?

1.正方形的性质

正方形的性质1:

正方形的四个角都是直角,四条边都相等.

正方形的性质2:

正方形的对角线相等且互相垂直平分.

2.特殊平行四边形的包含关系

1.正方形的四条边　　　　,四个角　　　　,两条对角线　　　　.

1.经历并了解正方形判定方法的探索过程,使学生逐步掌握说理的基本方法.

2.掌握正方形的判定方法,能根据判定方法进行初步应用.

【重点】　正方形的判定定理.

【难点】　正方形的判定定理的证明及灵活应用.

问题1　我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形,那么请思考一下,它们之间有什么关系?

你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗?

问题2　如图所示,将一张长方形纸对折两次,然后剪下一个角,打开.怎样剪才能剪出一个正方形?

正方形的判定

（多媒体课件展示）请你思考:

满足什么条件的矩形是正方形?

满足什么条件的菱形是正方形?

思考后与同伴交流.并证明你的结论.

1.对角线相等的菱形是正方形.

2.对角线垂直的矩形是正方形.

3.有一个角是直角的菱形是正方形.

4.有一组邻边相等的矩形是正方形.

正方形判定的应用

（教材例2）已知:

如图所示,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:

四边形BECF是正方形.

正方形的判定定理（多媒体课件展示）:

有一组邻边相等的矩形是正方形.

有一个角是直角的菱形是正方形.

对角线垂直的矩形是正方形.

对角线相等的菱形是正方形.

1.正方形的判定定理.

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形.

（2）有一个角是直角的菱形是正方形.

（3）对角线垂直的矩形是正方形.

（4）对角线相等的菱形是正方形.

2.决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.

（1）若原四边形的对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形;

（2）若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边形EFGH为矩形;

（3）若原四边形的对角线既相等又垂直,则中点四边形EFGH为正方形;

（4）若原四边形的对角线既不相等也不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形..

1.下列说法中正确的有（　　）

①有一个角为直角的菱形是正方形;

②四个角相等的四边形是正方形;

③四条边都相等的四边形是正方形;

④有一组邻边相等的矩形是正方形;

⑤对角线垂直且相等的四边形是正方形;

⑥对角线相等的菱形是正方形;

⑦对角线互相垂直的矩形是正方形;

⑧对角线互相垂直平分的四边形是正方形.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　A.3个B.4个C.5个D.6个

第二章　一元二次方程

1认识一元二次方程第1课时

1.理解一元二次方程及其相关概念.

2.经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.

【重点】　一元二次方程的概念及一般形式.

【难点】

1.由实际问题向数学问题转化的过程.

2.正确识别一般形式中的“项”及“系数”

幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同（如图所示）,你能求出这个宽度吗?

一元二次方程的概念

由上面的三个问题,我们可以得到三个方程:

（8-2x）（5-2x）＝18;

x2＋（x＋1）2＋（x＋2）2＝（x＋3）2＋（x＋4）2;

（x＋6）2＋72＝102.

这三个方程有什么共同特点?

　判断下列方程是否是一元二次方程.

（1）2x-x2-＝0;

（2）2x2-x＋5＝0;

（3）ax2＋bx＋c＝0;

（4）4x2-＋7＝0.

　把方程3x（x-1）＝2（x＋2）＋8化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.

去括号,得3x2-3x＝2x＋4＋8,

移项,合并同类项,得3x2-5x-12＝0,

二次项系数是3,一次项系数是-5,常数项是-12.

于一元二次方程的一般形式的理解应注意以下四点:

（1）“a≠0”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分,因为方程ax2＋bx＋c＝0只有当a≠0时,才叫做一元二次方程,当a＝0,b≠0时,它是一元一次方程.

（2）任何一个一元二次方程,经过整理都可以变为一般形式.（3）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的,所以求一元二次方程的各项系数时,必须先将方程化为一般形式.（4）要分清二次项与二次项系数、一次项与一次项系数.

1.只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0（a,b,c为常数,a≠0）的形式,这样的方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式:

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.

下列6个方程:

（1）3x＋2＝x2;

（2）＋y＝5;

（3）y2＋2x-3＝0;

（4）mnx2＋（m＋n）x＋1＝0;

（5）x2-2x＋4＝0;

（6）＋y＋3＝0.

其中是一元二次方程的是　　　　.（填序号） 

1.探索一元二次方程的解或近似解

2.通过具体实例探究一元二次方程的解..

【重点】　探索一元二次方程的解或近似解.

【难点】　培养学生的估算意识和能力.

在小学的时候,我们经常用估算的方法计算一些问题.那么,你能估算方程2x2-13x＋11＝0中x的取值范围吗?

　幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同（如右图所示）,你能求出这个宽度吗?

我们知道,x满足方程（8-2x）（5-2x）＝18.

（1）x可能小于0吗?

可能大于4吗?

可能大于2.5吗?

说说你的理由.

分析:

因为40m2>

18m2,所以x不可能小于0,因为8-2x,5-2x都是大于0的,所以x不可能大于4,也不可能大于2.5.

（2）你能确定x的大致范围吗?

x的大致范围是0到2.5之间.但这只是一个大致的估计,精确度还有待于我们进一步去探讨.

（3）计算,填写下表:

x

0.5

1

1.5

2

2.5

（8-2x）（5-2x）

28

18

10

4

通过计算,得出下表:

1.1

1.2

1.3

1.4

x2＋12x-15

-0.59

0.84

2.29

3.76

　　根据上表思考:

当x取1.3和1.4的时候,哪个数字更接近真实值?

（1.3更接近）

当x取1.2和1.3的时候,哪个数字更接近真实值?

（1.2更接近）

当x取1.1的时候,与真实值是什么关系?

（小于真实值）

当x取1.2的时候,与真实值是什么关系?

（大于真实值）

综合上述分析,我们可以进一步确定