课题椭圆及其标准方程教案1111Word文档格式.docx
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(二)能力目标:
培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;
培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.
(三)情感目标:
激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.
(四)教学目标:
(1)通过用细绳画椭圆的实验,能用自己的语言叙述椭圆的定义,会用定义判定点的轨迹;
(2)类比建立圆的方程的方法,通过交流讨论,能选择适当的直角坐标系建立椭圆的方程;
(3)结合椭圆的标准方程会判断椭圆焦点所在位置;
(4)会用椭圆定义和标准方程解决与课本上类似的题目;
(5)通过椭圆知识的学习,体会类比思想、数形结合思想和坐标法。
五、教学策略分析
1.为了充分调动学生学习数学的积极性,促进学生主动思考,采用问题串引导探究活动,以问题作为引领,诱导学生积极思考;
2.利用手工制作的教具和现代教育手段,把教学内容与教具及现代教育手段合理整合。
利用几何画板软件感受动态过程,提高课堂效率;
3.在探究椭圆概念时,学生分组合作画椭圆,在此基础上抽象概括椭圆的定义,配合问题引导,加深对椭圆概念的理解;
4.在探究椭圆标准方程时,引导学生回忆求曲线方程的一般步骤。
通过系列设问引导,用类比方法,引导学生自主建立直角坐标系。
在列出式子进行化简时会遇到比较复杂的双根式化简问题,教师及时介入,帮助学生顺利推出方程。
根据以上分析,本节课采用启发探究式的教学方式。
在启发探究式教学过程中,以问题引导学生的思维活动。
教学中结合学生的思维发展变化不断追问,使学生对问题本质的思考逐步深入,思维水平不断提高。
六、教学重难点:
教学重点:
椭圆的定义和椭圆的标准方程。
教学难点:
椭圆标准方程的推导。
教学方法:
探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力。
教具准备:
多媒体课件,纸板,磁铁,木条,细绳。
七、教学过程:
(一)创设情境,引出新知
概念的导入是数学概念教学的必经环节,通过这一过程使学生明确为什么引入这一概念以及将如何建立这一概念,从而使学生明确活动目的,激发学习兴趣,提取有关知识。
课件演示:
视频导入,2019年7月19日,天宫二号受控再入大气层,标志着中国载人航天工程空间实验室阶段全部任务圆满完成。
7月19日21时06分受控离轨并再入大气层,少量残骸落入南太平洋预定安全海域。
展示天宫二号的轨道运行图,让学生观察它的形状,来直观感知椭圆。
椭圆的故事要追溯到2000多年前,古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法,用平面去截圆锥,根据截面与圆锥轴的夹角不同,得到多种曲线,动画展示,其中一种就是椭圆。
【设计意图】一方面,通过复习前面学过的有关知识,唤起学生的记忆,为本节课学习作好铺垫。
另一方面,借助多媒体生动、直观的演示,使学生明确学习椭圆的重要性和必要性。
同时激发他们探求实际问题的兴趣,创造一种良好的教学情境,培养学生的爱国热情和浓厚的求知欲望,增强学生对椭圆的感性认识,为顺利完成学习任务奠定基础。
(二)启发诱导,推陈出新
复习旧知识:
拿出一条长度固定的细绳,设为
,将其对半折长度变为
。
现固定一端,用粉笔拉紧细绳绕其旋转,可以作出圆。
回顾圆的定义,若将一个定点延拓成两个定点,又将形成什么图形?
提出新问题:
如果把圆里的一个定点扩展为两个定点,会产生怎样的图形?
(三)实验展示,形成概念
实验演示椭圆形成过程.
1、对比实验:
两根木条,分别钉上一根有弹性的细绳和一根无弹性的细绳,请四位同学两两一组在黑板上进行试验并展示。
2、其他学生拿出事先准备好的自制教具:
木板、细绳、图钉、铅笔,小组同学一起合作按要求画椭圆,同时配合用多媒体演示画椭圆。
3、在画椭圆的过程中引导学生思考以下3个问题:
(1)在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条件?
绳长和两定点间的距离有怎样的大小关系?
(2)在绘制过程中,有哪些不变量?
能不能把不变的量用数学关系式表达出来?
学生边作图、边思考、边讨论,每组学生都可对上述三个问题进行研究比较.引导学生全员参与,积极发言,相互补充,从而探究出三个结论并概括出椭圆的定义.
【设计意图】以活动为载体,让学生在实验中学数学,通过画椭圆,经历知识的形成过程,积累感性经验.同时,我力求改变单一、被动的学习方式,让学生成为学习的主人,给他们提供一个自主探索学习的机会,让他们通过观察、讨论、概括出椭圆的定义,这样既获得了知识,又培养了学生抽象思维的能力。
(四)挖掘概念的内涵——理解概念
引入新概念时,有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因,很难一步到位,需要分成若干个层次,逐步加深提高。
学生在给出不完善的椭圆定义后,教师没有将注意点急着告知学生,而是回顾实验过程,逐步引导。
(1)、教师适当点拨,完善椭圆概念
“抽象”和“严谨”是数学概念的重要特征,而叙述数学概念的语言又是经过高度抽象、精心提炼而成的。
针对概念进行指引和强调,引导学生准确把握概念。
1、概括椭圆定义
引导学生概括椭圆定义
椭圆的定义:
平面内到两个定点
距离之和等于常数(大于
)的点的集合叫作椭圆。
教师指出:
这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距
思考:
焦点为
的椭圆上任一点
,有什么性质?
注意:
椭圆定义中容易遗漏的地方:
(1)必须在平面内;
(2)两个定点---两点间距离确定;
(3)定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定;
令椭圆上任一点
,则有:
(2)、动态课件演示——深化探究
1.改变绳长,使其与两图钉之间的距离相等,画出的图形还是椭圆吗?
2.当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?
学生经过动画观看→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论:
点轨迹为椭圆
点轨迹为线段
点轨迹不存在
,则有
.
课堂即训
(1)动点
到两个定点
的距离之和为8,则
点的轨迹为(
)
A、椭圆B、线段
C、直线
D、不能确定
(2)已知椭圆上的一动点,到两焦点
的距离之和为10,过
的直线与椭圆交于
两点,则
的周长为(
A、8B、20C、24D、28
【设计意图】课堂即训,及时掌握学生学习状态,帮助深化理解概念,同时开展恰当的表扬,激励学生的学习热情.
(五)椭圆标准方程的推导———类比推导
1.知识回顾.
通过回顾圆的方程的求解步骤,归纳出求曲线方程的一般步骤:
建系、设点、列式、化简.用同样的方法来类比推导椭圆的标准方程。
引导学生思考求曲线方程的一般步骤是什么?
【设计意图】引导学生明确思维的方向,通过复习旧知,为在椭圆上建立坐标系搭桥铺路.
2.引导设问.
类比建立圆的方程的方法,学生观察椭圆的几何特征(对称性),怎样在椭圆上建立平面直角坐标系,才能使椭圆方程更简单?
通过前面知识的回忆,以及学生思考、相互交流,引导学生提出两种建立坐标系的方案,推导椭圆方程.
(1)以经过椭圆两焦点的直线为
轴,以两个焦点连线的中点为原点,其垂直平分线为
轴,建立平面直角坐标系;
(2)以经过椭圆两焦点的直线为
3.推导椭圆的标准方程.
选取建系方案一,让学生动手,尝试推导.
以过
、
的直线为
轴,线段
的垂直平分线为
轴,建立平面直角坐标系.
设
,点
为椭圆上任意一点,设出动点的坐标,写出动点满足的集合;
把动点条件坐标化;
则
,∴得
,
(想一想:
下面怎样化简?
)
(1)教师为突破难点,进行引导设问:
我们怎么化简带根式的式子?
引导学生思考对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢?
两边平方,得:
移项化简可得:
化简,得
.
即
.
(2)
的引入.
由椭圆的定义可知,
∴
.为了使方程变的简单整齐,引入
,此时设
,得到方程:
(称为椭圆焦点在x轴的标准方程).
指出:
方程
叫做椭圆的标准方程,焦点在
轴上,焦点是
【设计意图】采取学生自己动手推导椭圆的标准方程,教师逐步引导的教学过程,启发式教学。
(3)建立焦点在
轴上的椭圆的标准方程.
按方案二建系,请学生猜想焦点在
轴上的椭圆的标准方程是什么?
方法:
学生猜想,展示结果,布置学生课后用同样的方法完成推导。
焦点在
轴的椭圆的标准方程:
(6)对比归纳,方程特征
首先,请学生对于焦点在
轴上以及焦点在
轴上的椭圆的标准方程进行对比观察。
学生经过观察思考,进一步举例给出两个椭圆的标准方程,请学生判断其焦点所在坐标轴。
接下来由特殊到一般,让学生对两种方程进行对比分析,自行归纳出判断椭圆标准方程焦点所在位置的一般方法,强化对椭圆两种标准方程的理解。
归纳概括,掌握特征.
(1)椭圆标准方程形式:
它们都是二元二次方程,左边是两个分式的平方和,右边是1;
(2)椭圆标准方程中三个参数
的关系:
;
(3)椭圆焦点的位置由椭圆标准方程中分母的大小确定,分母大的焦点就在对应的那条轴上。
【设计意图】通过两种方程,进行对比反思,让学生利用对称性进行猜想,培养学生的类比思维能力.不仅使学生加深对椭圆定义和标准方程的理解,有助于教学目标的实现,而且使学生体会和学习类比的思想方法,为后边双曲线、抛物线及其它知识的学习打下基础.
(六)随堂演练,巩固消化.
(1)椭圆
中,
2,
,
,焦点坐标为
(2)椭圆
的焦距是2.则实数
的值是(
A、5B、8C、3或5D、3
【设计意图】活动形式:
思考—解答—点评,加强了学生对椭圆两种形式的标准方程的理解程度.
(7)尝试应用,范例教学.
1.范例教学.
例题1:
2016年9月15日,我国发射了空间实验室“天宫二号”。
它的初始轨道为椭圆,两个焦点坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点
到两焦点的距离和等于10,求解椭圆的标准方程。
(单位:
100km)
2.将条件改为:
两个焦点间的距离为8,椭圆上一点
【设计意图】数学概念是要在运用中得以巩固的,通过该课堂练习使学生进一步理解椭圆的定义,掌握标准方程,使知识内化为素养,并在解题过程中感受"
数形结合思想"
.例题结合导入材料,以天宫二号的椭圆轨道为背景开展实际应用,首尾呼应,再次调动学生兴趣。
2.学生自主归纳求椭圆标准方程的基本步骤:
(1)要“先定型,再定量”,即要先判断焦点位置,
(2)再用待定系数法设出合适题意的椭圆的标准方程,
(3)最后由条件确定待定系数即可。
(8)课堂小结
(2):
思想方法总结:
一种方法:
坐标法
二类方程:
三个思想:
代数化思想,类比思想,数形结合思想
【设计意图】归纳小结由师生共同完成,引导学生积极发言,通过填写表格对本节内容进行反思、归纳、总结,从而达到深化知识理解,构建知识网络,领悟思想方法的目的。
(九)课后探究
1.P96习题8.1的1、2、3
2.一束光线垂直于一个墙面,将一块圆形纸板置于光源与墙面之间,墙面上会出现纸板的影子,转动纸板,变化纸板与光线之间的角度,影子的形状也会发生变化,观察这些影子会出现哪些不同的形状?
3.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点
求该椭圆的标准方程。
【设计意图】作业由易到难,首先以教材习题为基础,进一步结合生活中的实际应用,同时将典型例题进行深化拔高。
牢扣教材,体现分层教学的思想,提高学生的学习积极性,使各层次的学生都找到各自的发展空间,进一步促进教学目标的实现.
[板书设计]
椭圆及其标准方程
一.椭圆的定义
二.椭圆的标准方程
三.求椭圆标准方程的基本步骤
课件展示
典型例题
说明
学习的过程是一个将外界的新信息不断搭建在已有知识上的过程,是认知结构发生重组和改造的过程。
本课在设计中充分考虑到了学生的这一实际情况及学生的认知规律。
为了突破重点,在教学设计中采用了循序渐进、逐层推进的方法:
先用多媒体演示天宫二号运行的轨道图片形象地给出椭圆,使学生对椭圆有一个直观的了解;
再让学生自己举例、动手操作“定性”地画出椭圆和探究归纳定义;
最后通过坐标法“定量”地描述椭圆。
这种从感性到理性地抽象概括,从而形成概念,推出方程的过程符合学生的认知规律。
为使学生更好地掌握椭圆的标准方程。
为突破难点,在设计中通过课堂精心设问:
①教师问:
化简含有根号的式子时,我们通常有什么方法?
②教师问:
对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方?
这样,椭圆方程的化简这一难点也就迎刃而解了。
爱因斯坦说过:
“单纯的专业知识灌输只能产生机器,而不可能造就一个和谐发展的人才”,因此数学学习的核心是思考,离开思考就没有真正的数学。
针对这节课的问题,教师边演示,边提问,让学生边观察,边思考,边讨论,最大限度地调动学生积极参与教学活动,在教学难点处适当放慢节奏,给学生充分的时间进行思考与讨论,教师适时给予适当的思维点拨,必要的可进行大面积提问,让学生做课堂的主人,充分发表自己的意见。
这样既有利于化解难点、突出重点,也有利于充分发挥学生的主体作用,使课堂气氛更加活跃,让学生在生生互动、师生互动中掌握知识,提高解决问题的能力。
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- 课题 椭圆 及其 标准 方程 教案 1111
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