高中数学三年真题与两年模拟题3654节答案Word文档格式.docx
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8.4 [设AB的中点为M,由题意知,圆的半径R=2,AB=2,所以OM=3,解得m=-,由解得A(-3,),B(0,2),则AC的直线方程为y-=-(x+3),BD的直线方程为y-2=-x,令y=0,解得C(-2,0),D(2,0),所以|CD|=4.]
9.4π [圆C:
x2+y2-2ay-2=0,即C:
x2+(y-a)2=a2+2,圆心为C(0,a),C到直线y=x+2a的距离为d==.又由|AB|=2,
得+=a2+2,解得a2=2,所以圆的面积为π(a2+2)=4π.]
10.解
(1)圆M的方程化为标准形式为(x-6)2+(y-7)2=25,圆心M(6,7),半径r=5,
由题意,设圆N的方程为(x-6)2+(y-b)2=b2(b>0).
且=b+5.
解得b=1,∴圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)∵kOA=2,∴可设l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0.
又BC=OA==2.由题意,圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d===2.
即=2,解得m=5或m=-15.
∴直线l的方程为y=2x+5或y=2x-15.
(3)由+=,则四边形AQPT为平行四边形,
又∵P、Q为圆M上的两点,∴|PQ|≤2r=10.
∴|TA|=|PQ|≤10,即≤10,
解得2-2≤t≤2+2.
故所求t的范围为[2-2,2+2].
[两年经典高考真题]
1.D [设所求切线方程为2x+y+c=0,依题有=,解得c=±
5,所以所求切线的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0,故选D.]
2.5 [由题意可知点A为(0,0),点B为(1,3).又∵直线x+my=0的斜率k1=-,直线mx-y-m+3=0的斜率k2=m,∴k1k2=-1.∴两条动直线互相垂直.又由圆的性质可知,动点P(x,y)的轨迹是圆,∴圆的直径为|AB|==.
∴|PA|·
|PB|≤==5.当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立.∴|PA|·
|PB|的最大值是5.]
3.D [直线过圆心(0,3),与直线x+y+1=0垂直,故其斜率k=1.所以直线的方程为y-3=1×
(x-0),即x-y+3=0.故选D.]
4.(x-2)2+(y-1)2=4 [∵圆心在直线x-2y=0上,∴可设圆心为(2a,a).∵圆C与y轴正半轴相切,∴a>
0,半径r=2a.又∵圆C截x轴的弦长为2,∴a2+()2=(2a)2,解得a=1(a=-1舍去).∴圆C的圆心为(2,1),半径r=2.∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.]
5.x2+(y-1)2=1 [因为(1,0)关于y=x的对称点为(0,1),所以圆C是以(0,1)为圆心,以1为半径的圆,其方程为x2+(y-1)2=1.]
6.C [由已知,得=(3,-1),=(-3,-9),则·
=3×
(-3)+(-1)×
(-9)=0,所以⊥,即AB⊥BC,故过三点A、B、C的圆以AC为直径,得其方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0得(y+2)2=24,解得y1=-2-2,y2=-2+2,所以|MN|=|y1-y2|=4,选C.]
7.D [圆
(x+3)2+(y-2)2=1的圆心为(-3,2),半径r=1.(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3).如图所示,反射光线一定过点(2,-3)且斜率k存在,∴反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.
∵反射光线与已知圆相切,
∴=1,整理得12k2+25k+12=0,解得k=-或k=-.]
8.C [圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径为r=2,因此2+a×
1-1=0,a=-1,即A(-4,-1),|AB|===6,选C.]
9.B [圆的方程可化为(x+1)2+(y-1)2=2-a,因此圆心为(-1,1),半径r=.圆心到直线x+y+2=0的距离d==,又弦长为4,因此由勾股定理可得()2+=()2,解得a=-4.故选B.]
10.A
11. [圆(x-2)2+(y+1)2=4的圆心为C(2,-1),半径r=2,圆心C到直线x+2y-3=0的距离为d==,所求弦长l=2=2=.]
12.
[如图所示,设l1与圆O:
x2+y2=2相切于点B,l2与圆O:
x2+y2=2相切于点C,则OB=,OA=,AB=2.
∴tanα===.∴tan∠BAC=tan2α===.]
13.2 [由题意,得圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧的长度都是圆周的,即=,=cos45°
=,所以a2=b2=1,故a2+b2=2.]
14.4±
[由△ABC为等边三角形可得,C到AB的距离为,即(1,a)到直线ax+y-2=0的距离d==,即a2-8a+1=0,可求得a=4±
.]
15.0或6 [由题意,得圆心C的坐标为(-1,2),半径r=3.因为AC⊥BC,所以圆心C到直线x-y+a=0的距离d==r=,即|-3+a|=3,所以a=0或a=6.]
16.[-1,1]
[如图所示,设点A(0,1)关于直线OM的对称点为P,则点P在圆O上,且MP与圆O相切,而点M在直线y=1上运动,由圆上存在点N使∠OMN=45°
,
则∠OMN≤∠OMP=∠OMA,
∴∠OMA≥45°
,∴∠AOM≤45°
.
当∠AOM=45°
时,x0=±
1.
∴结合图象知,当∠AOM≤45°
时,-1≤x0≤1,∴x0的范围为[-1,1].]
17.
(1)(x-1)2+(y-)2=2
(2)--1 [
(1)由题意,设圆心C(1,r)(r为圆C的半径),则r2=+12=2,解得r=.所以圆C的方程为(x-1)2+(y-)2=2.
(2)法一 令x=0,得y=±
1,所以点B(0,+1).又点C(1,),所以直线BC的斜率为kBC=-1,所以过点B的切线方程为y-(+1)=x-0,即y=x+(+1).
令y=0,得切线在x轴上的截距为--1.
法二 令x=0,得y=±
1,所以点B(0,+1).又点C(1,),设过点B的切线方程为y-(+1)=kx,即kx-y+(+1)=0.由题意,圆心C(1,)到直线kx-y+(+1)=0的距离d==r=,解得k=1.故切线方程为x-y+(+1)=0.令y=0,得切线在x轴上的截距为--1.]
18.①②③ [在(x-1)2+(y-)2=2中,令x=0,得y=±
1,
故A(0,-1),B(0,+1).设M(x1,y1),N(x2,y2),
当直线MN斜率不存在时,令M(0,-1),N(0,1),
则==-1,==-1.
∴=.当直线MN斜率存在时,设直线MN的方程为y=kx+-1,由
得(1+k2)x2+2(-1)kx+2(1-)=0,
则x1+x2=,x1x2=,
kBM+kNB=+
=+
=+=-+2k
=-+2k=0,
所以kBM=-kNB,所以∠MBA=∠NBA,BA是∠MBN的平分线.
由内角平分线定理得=,即=.
故=恒成立.
当k=0时,可求得=-1,故=-1为定值.
所以-=-(-1)=2,
+=+-1=2.
故①②③都正确.]
19.解
(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1,
因为l与C交于两点,所以<
解得<
k<
.所以k的取值范围为.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得
(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.
所以x1+x2=,x1x2=.·
=x1x2+y1y2
=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1
=+8.
由题设可得+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.
故圆心C在l上,所以|MN|=2.
【两年模拟试题精练】
1.C [因为l1⊥l2,所以a+a(a+2)=0,则a=0或a=-3,故选C.]
2.B [l1⊥l2的充要条件为m(m-1)+(1-m)(2m+3)=0,则m=1或m=-3,所以m=-3是l1⊥l2的充分不必要条件,故选B.]
3.B [直线的斜率为,即直线l的斜率为k=tanα=,所以tan2α====,选B.]
4.B [p:
直线l的倾斜角α>,则直线l的斜率k>1或k<0,所以p是q的必要不充分条件,故选B.]
5.C [由题意知tanθ=-3,所以===,故选C.]
6.A [由圆的方程可知圆心为(0,0),半径为2.
因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个,
所以圆心到直线l的距离d<r+d0=2+1,即d==<3,解得a∈(-3,3).故A正确.]
7.D [∵f=f,∴x=是f(x)的一条对称轴,∴a-b·
=±
,∴(a-b)2=2a2+2b2,∴(a+b)2=0,∴a=-b,k==-1,∴α=.故选D.]
8.D [记圆C与y轴的两个交点分别是A,B,圆心C到y轴的距离为1,且|CA|=|CB|=,则CA⊥CB,因此圆心C(1,2)到直线2x-y+b=0的距离也等于1才符合题意,于是有=1,解得b=±
,选D.]
9.D [抛物线的准线方程为x=-4,而圆心坐标为(-1,0),所以圆心到直线的距离为3,所以圆的半径为5,故圆面积为25π.]
10.A [将点P(3,0)的坐标代入圆C方程的左边,得32+02-4×
3=-3<
0,则知点P在圆C的内部,所以l与C相交,故选A.]
11.A [若a=b,则直线与圆心的距离为=等于半径,∴y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切;
若y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切,则=,∴a-b=0或a-b=-4,故“a=b”是“直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切”的充分不必要条件.故选A.]
12.C [圆(x+1)2+(y-2)2=2的圆心为(-1,2),半径为r=,圆心(-1,2)到直线x-y-1=0的距离为d==2>
,故点P到直线x-y-1=0距离的最大值为d+r=3,故选C.]
13.x2+y2=2 [由题意知利用点到直线的距离公式得到圆的半径r=,所以所求圆的方程为x2+y2=2.]
14.25π [∵直线x-y+2=0与直线x-y-10=0平行,且截圆C所得的弦长均为8,∴圆心到两直线的距离相等,两平行直线的距离d===6,即圆心到直线x-y+2=0的距离为d=3,则圆的半径R==5,故圆C的面积是25π.]
15.-2 [因为圆x2+y2-2x+4y=0,所以圆经过原点,圆的圆心坐标为即(1,-2),因为直线ax+2y+6=0与圆x2+y2-2x+4y=0相交于点P,Q,O为坐标原点,且OP⊥OQ,所以圆的圆心在直线ax+2y+6=0上,所以a-4+6=0,所以a=-2.]
16. [圆心C的坐标为(0,1),半径为,所以圆心到直线l:
3x+y-6=0的距离d=,利用勾股定理得到|AB|=.]
17.[4,6] [根据题意可以得到以AB为直径的圆与圆C至少有一个公共点,即|m-1|≤|OC|≤m+1,而|OC|=5,所有4≤m≤6.]
18.
[根据题意画出图形,当AC垂直与直线y=x+1时,|AC|最短,此时|BC|=最小,由圆的方程得:
圆心A(3,-2),半径|AB|=1,圆心A到直线y=x+1的距离|AC|==3,则切线长的最小值|BC|==.]
19.x+y+1=0 [设圆心坐标为(a,0),则由直线l:
x-y-1=0被圆C所截得的弦长为2,得+2=(a-1)2,解得a=3或-1,∵圆心在x轴的负半轴上,∴a=-1,故圆心坐标为(-1,0),∵直线l的斜率为1,∴过圆心且与直线l垂直的直线的方程为y-0=-(x+1),即x+y+1=0,故答案为:
x+y+1=0.]
20.y=1 [由题意,圆C的圆心为C(-1,0),半径为r=,|PC|=1<
r,知点P在圆C内,而∠ACB最小时⇔弦AB最小⇔圆心C到直线l的距离最大⇔CP⊥l,∵CP⊥x轴,∴l∥x轴,∴直线l的方程为l:
y=1.]
21. [每次转动一个边长时,圆心角转过60°
,正方形有4边,所以需要转动12次,回到起点,在这11次中,半径为1的6次,半径为的3次,半径为0的2次,点A走过的路径的长度=×
2π×
1×
6+×
×
3=.]
22.解
(1)F(1,0),设P(x,y)为C上任意一点,依题意有=,∴+=1.
(2)易知直线DE斜率不为0,设直线DE方程为x=ty+1,
由,得(3t2+4)y2+6ty-9=0,
设D(x1,y1),E(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,
由A(-2,0),知AD方程为y-0=(x+2),点M坐标为,
同理,点N坐标为,由对称性,若定点存在,则定点在x轴上,设G(n,0)在以MN为直径的圆上,
则·
=·
=(4-n)2+=0,
∴(4-n)2+
即(4-n)2+=0,(4-n)2-9=0,n=1或n=7,
∴以MN为直径的圆恒过x轴上两定点(1,0)和(7,0).
23.解
(1)由于直线x=4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y=k(x-4),
圆C1的圆心到直线l的距离为d,因为圆C1被直线l截得的弦长为2,
所以d==1.
由点到直线的距离公式得d=,
从而k(24k+7)=0,即k=0或k=-,
所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.
(2)设点P(a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a),k≠0,则直线l2的方程为y-b=-(x-a).
因为圆C1和C2的半径相等,且圆C1被直线l1截得的弦长与圆C2被直线l2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,即
=,
整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,
即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5,
因为k的取值有无穷多个,所以
或解得或这样点P只可能是点P1或点P2.经检验点P1和P2满足题目条件.
37.椭 圆
1.B [如图,由题意得,BF=a,OF=c,OB=b,OD=×
2b=b.
在Rt△OFB中,|OF|×
|OB|=|BF|×
|OD|,即cb=a·
b,代入解得a2=4c2,故椭圆离心率e==,故选B.]
2.A [设M(-c,m),则E,OE的中点为D,则D,又B,D,M三点共线,所以=,a=3c,e=.]
3. [联立方程组解得B、C两点坐标为
B,C,又F(c,0),
则=,=,
又由∠BFC=90°
,可得·
=0,代入坐标可得:
c2-a2+=0①,
又因为b2=a2-c2.代入①式可化简为=,则椭圆离心率为e===.]
4.解
(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0.
故x1=0,x2=-,
因此|AP|=|x1-x2|=·
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.
记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.
由
(1)知|AP|=,|AQ|=,
故=,
所以(k-k)[1+k+k+a2(2-a2)kk]=0.
由于k1≠k2,k1,k2>0得1+k+k+a2(2-a2)kk=0,
因此=1+a2(a2-2),①
因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>.
因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a≤,
由e==得,所求离心率的取值范围是(0,).
1.A
[∵+=1(a>
b>
0)的离心率为,∴=.
又∵过F2的直线l交椭圆于A,B两点,△AF1B的周长为4,
∴4a=4,∴a=,∴b=,∴椭圆方程为+=1,选A.]
2.12 [如图,设MN的中点为P,则由F1是AM的中点,可知|AN|=2|PF1|.
同理可得|BN|=2|PF2|.∴|AN|+|BN|=2(|PF1|+|PF2|).
根据椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|AN|+|BN|=12.]
3.x2+y2=1
4.A [
左焦点F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形.
∵|AF|+|BF|=4,
∴|AF|+|AF0|=4,
∴a=2.
设M(0,b),则≥,∴1≤b<2.
离心率e====
∈,
故选A.]
5.D [设Q(x,y),则该点到圆心的距离
d==
==,y∈[-1,1],
∴当y=-=-时,
dmax===5.
∴圆上点P和椭圆上点Q的距离的最大值为dmax+r=5+=6.故选D.]
6. [法一
设椭圆的另一个焦点为F1(-c,0),如图,连接QF1,QF,设QF与直线y=x交于点M.由题意知M为线段QF的中点,且OM⊥FQ.
又O为线段F1F的中点,
∴F1Q∥OM,
∴F1Q⊥QF,|F1Q|=2|OM|.
在Rt△MOF中,tan∠MOF==,|OF|=c,
可解得|OM|=,|MF|=,
故|QF|=2|MF|=,|QF1|=2|OM|=.
由椭圆的定义得|QF|+|QF1|=+=2a,
整理得b=c,∴a==c,故e==.
法二 设Q(x0,y0),则FQ的中点坐标,kFQ=,依题意
解得又因为(x0,y0)在椭圆上,
所以+=1,令e=,则4e6+e2=1,
∴离心率e=.]
7. [由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),
则可得①-②,并整理得=.(*)
∵M是线段AB的中点,且过点M(1,1)的直线斜率为-,
∴x1+x2=2,y1+y2=2,k==-,∴(*)式可化为=,即a2=2b2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,即=.∴e==.]
8.
(1)解 由题设条件知,点M的坐标为,又kOM=,从而=.
进而a=b,c==2b,故e==.
(2)证明 由N是AC的中点知,点N的坐标为,可得=,又=(-a,b),
从而有·
=-a2+b2=(5b2-a2).
由
(1)的计算结果可知a2=5b2,
所以·
=0,故MN⊥AB.
9.解
(1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b.
由
消去y,得x2-x+b2-1=0.
因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b2+2+>0,①
将AB中点M代入直线方程y=mx+解得b=-②
由①②得m<-或m>.
(2)令t=∈∪,
则|AB|=·
且O到直线AB的距离为d=.
设△AOB的面积为S(t),
所以S(t)=|AB|·
d=≤.
当且仅当t2=时,等号成立.
故△AOB面积的最大值为.
10.
(1)证明 设直线l:
y=kx+b(k≠0,b≠0),
A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故xM==,yM=kxM+b=.
于是直线OM的斜率kOM==-,即kOM·
k=-9.
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.
(2)解 四边形OAPB能为平行四边形.
因为直线l过点,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3.
由
(1)得OM的方程为y=-x.
设点P的横坐标为xP,
由得x=,即xP=.
将点的坐标代入l的方程得b=,因此xM=.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM.于是=2×
解得k1=4-,k2=4+.因为ki>0,ki≠3,i=1,2,所以当l的斜率为4-或4+时,四边形OAPB为平行四边形.
1.B [双曲线2x2-2y2=1的焦点为(-1,0)(1,0),则椭圆的c=1,由椭圆的定义可得2a=4,则a=2,b=.即椭圆的方程为+=1.故选B.]
2.B [由题意知点P的坐标为,或,因为∠F1PF2=60°
,那么=,∴2ac=b2,这样根据a,b,c的关系式化简得到结论为,选B.]
3.D [∵x1+x2=-,x1x2=-,∴x+x=(x1+x2)2-2x1x2==-(e-1)2+2∈(1,2),选D.]
4.B [由已知得,PF2⊥F1F2,|PF1|+|PF2|=6,|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2=16,解得|PF1|=,|PF2|=,
∴=,故选B.]
5.B [如图,过B作BM⊥AE于M,过C作CN⊥DF于N,易知BM⊥平面AEFD,CN⊥平面AEFD,则∠BPM=θ1,∠CPN=θ2,由θ1=θ2,可得tanθ1=tanθ2,故=⇒==定值,且此定值不为1,故P点的轨迹为圆.]
6.A [由题意得到a>
1,所以椭圆的离心率e2=
=1+(a>
1)递减,则随着a的增大,离心率e越小,
所以椭圆越接近于圆,故选A.]
7.B [∵+=1表示焦点在x轴上且离心率小于,
∴a>
0,a<
2b,
它对应的平面区域如图中阴影部分所示:
则方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==1-=,故选B.]
8.C [
易知(0,2)为F1,(0,-2)为F2,不妨设MN⊥MF2,设|MF2|=|MN|=x,则|NF2|=x,∴|MF2|+|MN|+|NF2|=(2+)x=4a,∴x=2(2-)a=2(-1)a,
|MF1|2=|F1F2|2-|MF2|2=
16-8(-1)2a2,
∴|MF1|=,又|MF1|+|MF2|=2a
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