小升初数学典型应用题可用知识讲解Word文档格式.docx
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例23台拖拉机3天耕地90公顷,照这样计算,5台拖拉机6天耕地多少公顷?
解
(1)1台拖拉机1天耕地多少公顷?
90÷
3÷
3=10(公顷)
(2)5台拖拉机6天耕地多少公顷?
10×
6=300(公顷)
列成综合算式90÷
3×
6=10×
30=300(公顷)
5台拖拉机6天耕地300公顷。
例35辆汽车4次可以运送100吨钢材,如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材,需要运几次?
解
(1)1辆汽车1次能运多少吨钢材?
100÷
5÷
4=5(吨)
(2)7辆汽车1次能运多少吨钢材?
5×
7=35(吨)
(3)105吨钢材7辆汽车需要运几次?
105÷
35=3(次)
列成综合算式105÷
(100÷
4×
7)=3(次)
需要运3次。
2归总问题
【含义】解题时,常常先找出“总数量”,然后再根据其它条件算出所求的问题,叫归总问题。
所谓“总数量”是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
【数量关系】1份数量×
份数=总量
总量÷
1份数量=份数
另一份数=另一每份数量
【解题思路和方法】先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。
例1服装厂原来做一套衣服用布3.2米,改进裁剪方法后,每套衣服用布2.8米。
原来做791套衣服的布,现在可以做多少套?
解
(1)这批布总共有多少米?
3.2×
791=2531.2(米)
(2)现在可以做多少套?
2531.2÷
2.8=904(套)
列成综合算式3.2×
791÷
现在可以做904套。
例2小华每天读24页书,12天读完了《红岩》一书。
小明每天读36页书,几天可以读完《红岩》?
解
(1)《红岩》这本书总共多少页?
24×
12=288(页)
(2)小明几天可以读完《红岩》?
288÷
36=8(天)
列成综合算式24×
12÷
小明8天可以读完《红岩》。
例3食堂运来一批蔬菜,原计划每天吃50千克,30天慢慢消费完这批蔬菜。
后来根据大家的意见,每天比原计划多吃10千克,这批蔬菜可以吃多少天?
解
(1)这批蔬菜共有多少千克?
50×
30=1500(千克)
(2)这批蔬菜可以吃多少天?
1500÷
(50+10)=25(天)
列成综合算式50×
30÷
(50+10)=1500÷
60=25(天)
这批蔬菜可以吃25天。
3和差问题
【含义】已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少,这类应用题叫和差问题。
【数量关系】大数=(和+差)÷
2
小数=(和-差)÷
2
【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式;
复杂的题目变通后再用公式。
例1甲乙两班共有学生98人,甲班比乙班多6人,求两班各有多少人?
解甲班人数=(98+6)÷
2=52(人)
乙班人数=(98-6)÷
2=46(人)
甲班有52人,乙班有46人。
例2长方形的长和宽之和为18厘米,长比宽多2厘米,求长方形的面积。
解长=(18+2)÷
2=10(厘米)
宽=(18-2)÷
2=8(厘米)
长方形的面积=10×
8=80(平方厘米)
长方形的面积为80平方厘米。
例3有甲乙丙三袋化肥,甲乙两袋共重32千克,乙丙两袋共重30千克,甲丙两袋共重22千克,求三袋化肥各重多少千克。
解甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙,从中可以看出甲比丙多(32-30)=2千克,且甲是大数,丙是小数。
由此可知
甲袋化肥重量=(22+2)÷
2=12(千克)
丙袋化肥重量=(22-2)÷
2=10(千克)
乙袋化肥重量=32-12=20(千克)
答:
甲袋化肥重12千克,乙袋化肥重20千克,丙袋化肥重10千克。
例4甲乙两车原来共装苹果97筐,从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐,两车原来各装苹果多少筐?
解“从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐”,这说明甲车是大数,乙车是小数,甲与乙的差是(14×
2+3),甲与乙的和是97,因此
甲车筐数=(97+14×
2+3)÷
2=64(筐)
乙车筐数=97-64=33(筐)
甲车原来装苹果64筐,乙车原来装苹果33筐。
4和倍问题
【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】总和÷
(几倍+1)=较小的数
总和-较小的数=较大的数
较小的数×
几倍=较大的数
【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。
例1果园里有杏树和桃树共248棵,桃树的棵数是杏树的3倍,求杏树、桃树各多少棵?
解
(1)杏树有多少棵?
248÷
(3+1)=62(棵)
(2)桃树有多少棵?
62×
3=186(棵)
杏树有62棵,桃树有186棵。
例2东西两个仓库共存粮480吨,东库存粮数是西库存粮数的1.4倍,求两库各存粮多少吨?
解
(1)西库存粮数=480÷
(1.4+1)=200(吨)
(2)东库存粮数=480-200=280(吨)
东库存粮280吨,西库存粮200吨。
例3甲站原有车52辆,乙站原有车32辆,若每天从甲站开往乙站28辆,从乙站开往甲站24辆,几天后乙站车辆数是甲站的2倍?
解每天从甲站开往乙站28辆,从乙站开往甲站24辆,相当于每天从甲站开往乙站(28-24)辆。
把几天以后甲站的车辆数当作1倍量,这时乙站的车辆数就是2倍量,两站的车辆总数(52+32)就相当于(2+1)倍,
那么,几天以后甲站的车辆数减少为
(52+32)÷
(2+1)=28(辆)
所求天数为(52-28)÷
(28-24)=6(天)
6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。
例4甲乙丙三数之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三数各是多少?
解乙丙两数都与甲数有直接关系,因此把甲数作为1倍量。
因为乙比甲的2倍少4,所以给乙加上4,乙数就变成甲数的2倍;
又因为丙比甲的3倍多6,所以丙数减去6就变为甲数的3倍;
这时(170+4-6)就相当于(1+2+3)倍。
那么,
甲数=(170+4-6)÷
(1+2+3)=28
乙数=28×
2-4=52
丙数=28×
3+6=90
甲数是28,乙数是52,丙数是90。
5差倍问题
【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做差倍问题。
【数量关系】两个数的差÷
(几倍-1)=较小的数
较小的数×
几倍=较大的数
例1果园里桃树的棵数是杏树的3倍,而且桃树比杏树多124棵。
求杏树、桃树各多少棵?
124÷
(3-1)=62(棵)
果园里杏树是62棵,桃树是186棵。
例2爸爸比儿子大27岁,今年,爸爸的年龄是儿子年龄的4倍,求父子二人今年各是多少岁?
解
(1)儿子年龄=27÷
(4-1)=9(岁)
(2)爸爸年龄=9×
4=36(岁)
父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。
例3商场改革经营管理办法后,本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元,又知本月盈利比上月盈利多30万元,求这两个月盈利各是多少万元?
解如果把上月盈利作为1倍量,则(30-12)万元就相当于上月盈利的(2-1)倍,因此
上月盈利=(30-12)÷
(2-1)=18(万元)
本月盈利=18+30=48(万元)
上月盈利是18万元,本月盈利是48万元。
例4粮库有94吨小麦和138吨玉米,如果每天运出小麦和玉米各是9吨,问几天后剩下的玉米是小麦的3倍?
解由于每天运出的小麦和玉米的数量相等,所以剩下的数量差等于原来的数量差(138-94)。
把几天后剩下的小麦看作1倍量,则几天后剩下的玉米就是3倍量,那么,(138-94)就相当于(3-1)倍,因此
剩下的小麦数量=(138-94)÷
(3-1)=22(吨)
运出的小麦数量=94-22=72(吨)
运粮的天数=72÷
9=8(天)
8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。
6倍比问题
【含义】有两个已知的同类量,其中一个量是另一个量的若干倍,解题时先求出这个倍数,再用倍比的方法算出要求的数,这类应用题叫做倍比问题。
一个数量=倍数
另一个数量×
倍数=另一总量
【解题思路和方法】先求出倍数,再用倍比关系求出要求的数。
例1100千克油菜籽可以榨油40千克,现在有油菜籽3700千克,可以榨油多少?
解
(1)3700千克是100千克的多少倍?
3700÷
100=37(倍)
(2)可以榨油多少千克?
40×
37=1480(千克)
列成综合算式40×
(3700÷
100)=1480(千克)
可以榨油1480千克。
例2今年植树节这天,某小学300名师生共植树400棵,照这样计算,全县48000名师生共植树多少棵?
解
(1)48000名是300名的多少倍?
48000÷
300=160(倍)
(2)共植树多少棵?
400×
160=64000(棵)
列成综合算式400×
(48000÷
300)=64000(棵)
全县48000名师生共植树64000棵。
例3凤翔县今年苹果大丰收,田家庄一户人家4亩果园收入11111元,照这样计算,全乡800亩果园共收入多少元?
全县16000亩果园共收入多少元?
解
(1)800亩是4亩的几倍?
800÷
4=200(倍)
(2)800亩收入多少元?
11111×
200=2222200(元)
(3)16000亩是800亩的几倍?
16000÷
800=20(倍)
(4)16000亩收入多少元?
2222200×
20=44444000(元)
全乡800亩果园共收入2222200元,全县16000亩果园共收入44444000元。
7相遇问题
【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。
这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】相遇时间=总路程÷
(甲速+乙速)
总路程=(甲速+乙速)×
相遇时间
【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。
例1南京到上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小时行28千米,从上海开出的船每小时行21千米,经过几小时两船相遇?
解392÷
(28+21)=8(小时)
经过8小时两船相遇。
例2小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑5米,小刘每秒钟跑3米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二次相遇需多长时间?
解“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。
因此总路程为400×
2
相遇时间=(400×
2)÷
(5+3)=100(秒)
二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
例3甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行15千米,乙每小时行13千米,两人在距中点3千米处相遇,求两地的距离。
解“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。
从题中可知甲骑得快,乙骑得慢,甲过了中点3千米,乙距中点3千米,就是说甲比乙多走的路程是(3×
2)千米,因此,
相遇时间=(3×
(15-13)=3(小时)
两地距离=(15+13)×
3=84(千米)
两地距离是84千米。
8追及问题
【含义】两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发,或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。
这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】追及时间=追及路程÷
(快速-慢速)
追及路程=(快速-慢速)×
追及时间
例1好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天能追上劣马?
解
(1)劣马先走12天能走多少千米?
75×
12=900(千米)
(2)好马几天追上劣马?
900÷
(120-75)=20(天)
列成综合算式75×
(120-75)=900÷
45=20(天)
好马20天能追上劣马。
例2小明和小亮在200米环形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他们从同一地点同时出发,同向而跑。
小明第一次追上小亮时跑了500米,求小亮的速度是每秒多少米。
解小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈,即200米,此时小亮跑了(500-200)米,要知小亮的速度,须知追及时间,即小明跑500米所用的时间。
又知小明跑200米用40秒,则跑500米用[40×
(500÷
200)]秒,所以小亮的速度是
(500-200)÷
[40×
200)]=300÷
100=3(米)
小亮的速度是每秒3米。
例3我人民解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑,解放军在晚上22点接到命令,以每小时30千米的速度开始从乙地追击。
已知甲乙两地相距60千米,问解放军几个小时可以追上敌人?
解敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时,这段时间敌人逃跑的路程是[10×
(22-16)]千米,甲乙两地相距60千米。
由此推知
追及时间=[10×
(22-16)+60]÷
(30-10)=120÷
20=6(小时)
解放军在6小时后可以追上敌人。
例4一辆客车从甲站开往乙站,每小时行48千米;
一辆货车同时从乙站开往甲站,每小时行40千米,两车在距两站中点16千米处相遇,求甲乙两站的距离。
解这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。
从题中可知客车落后于货车(16×
2)千米,客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间,
这个时间为16×
2÷
(48-40)=4(小时)
所以两站间的距离为(48+40)×
4=352(千米)
列成综合算式(48+40)×
[16×
(48-40)]=88×
甲乙两站的距离是352千米。
例5兄妹二人同时由家上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米。
哥哥到校门口时发现忘记带课本,立即沿原路回家去取,行至离校180米处和妹妹相遇。
问他们家离学校有多远?
解要求距离,速度已知,所以关键是求出相遇时间。
从题中可知,在相同时间(从出发到相遇)内哥哥比妹妹多走(180×
2)米,这是因为哥哥比妹妹每分钟多走(90-60)米,
那么,二人从家出走到相遇所用时间为
180×
(90-60)=12(分钟)
家离学校的距离为90×
12-180=900(米)
家离学校有900米远。
例6孙亮打算上课前5分钟到学校,他以每小时4千米的速度从家步行去学校,当他走了1千米时,发现手表慢了10分钟,因此立即跑步前进,到学校
恰好准时上课。
后来算了一下,如果孙亮从家一开始就跑步,可比原来步行早9分钟到学校。
求孙亮跑步的速度。
解手表慢了10分钟,就等于晚出发10分钟,如果按原速走下去,就要迟到(10-5)分钟,后段路程跑步恰准时到学校,说明后段路程跑比走少用了(10-5)分钟。
如果从家一开始就跑步,可比步行少9分钟,由此可知,行1千米,跑步比步行少用[9-(10-5)]分钟。
所以步行1千米所用时间为1÷
[9-(10-5)]=0.25(小时)=15(分钟)
跑步1千米所用时间为15-[9-(10-5)]=11(分钟)
跑步速度为每小时1÷
11/60=5.5(千米)
孙亮跑步速度为每小时5.5千米。
9植树问题
【含义】按相等的距离植树,在距离、棵距、棵数这三个量之间,已知其中的两个量,要求第三个量,这类应用题叫做植树问题。
【数量关系】线形植树棵数=距离÷
棵距+1
环形植树棵数=距离÷
棵距
方形植树棵数=距离÷
棵距-4
三角形植树棵数=距离÷
棵距-3
面积植树棵数=面积÷
(棵距×
行距)
【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的类型,然后可以利用公式。
例1一条河堤136米,每隔2米栽一棵垂柳,头尾都栽,一共要栽多少棵垂柳?
解136÷
2+1=68+1=69(棵)
一共要栽69棵垂柳。
例2一个圆形池塘周长为400米,在岸边每隔4米栽一棵白杨树,一共能栽多少棵白杨树?
解400÷
4=100(棵)
一共能栽100棵白杨树。
例3一个正方形的运动场,每边长220米,每隔8米安装一个照明灯,一共可以安装多少个照明灯?
解220×
4÷
8-4=110-4=106(个)
一共可以安装106个照明灯。
例4给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖,所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米,问至少需要多少块地板砖?
解96÷
(0.6×
0.4)=96÷
0.24=400(块)
至少需要400块地板砖。
例5一座大桥长500米,给桥两边的电杆上安装路灯,若每隔50米有一个电杆,每个电杆上安装2盏路灯,一共可以安装多少盏路灯?
解
(1)桥的一边有多少个电杆?
500÷
50+1=11(个)
(2)桥的两边有多少个电杆?
11×
2=22(个)
(3)大桥两边可安装多少盏路灯?
22×
2=44(盏)
大桥两边一共可以安装44盏路灯。
10年龄问题
【含义】这类问题是根据题目的内容而得名,它的主要特点是两人的年龄差不变,但是,两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。
【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系,尤其与差倍问题的解题思路是一致的,要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
两个数的差÷
例1爸爸今年35岁,亮亮今年5岁,今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?
明年呢?
解35÷
5=7(倍)
(35+1)÷
(5+1)=6(倍)
今年爸爸的年龄是亮亮的7倍,
明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
例2母亲今年37岁,女儿今年7岁,几年后母亲的年龄是女儿的4倍?
解
(1)母亲比女儿的年龄大多少岁?
37-7=30(岁)
(2)几年后母亲的年龄是女儿的4倍?
(4-1)-7=3(年)
列成综合算式(37-7)÷
3年后母亲的年龄是女儿的4倍。
例33年前父子的年龄和是49岁,今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍,父子今年各多少岁?
解今年父子的年龄和应该比3年前增加(3×
2)岁,
今年二人的年龄和为49+3×
2=55(岁)
把今年儿子年龄作为1倍量,则今年父子年龄和相当于(4+1)倍,因此,今年儿子年龄为55÷
(4+1)=11(岁)
今年父亲年龄为11×
4=44(岁)
今年父亲年龄是44岁,儿子年龄是11岁。
例4甲对乙说:
“当我的岁数曾经是你现在的岁数时,你才4岁”。
乙对甲说:
“当我的岁数将来是你现在的岁数时,你将61岁”。
求甲乙现在的岁数各是多少?
(可用方程解)
解这里涉及到三个年份:
过去某一年、今年、将来某一年。
列表分析:
过去某一年
今年
将来某一年
甲
□岁
△岁
61岁
乙
4岁
表中两个“□”表示同一个数,两个“△”表示同一个数。
因为两个人的年龄差总相等:
□-4=△-□=61-△,也就是4,□,△,61成等差数列,所以,61应该比4大3个年龄差,
因此二人年龄差为(61-4)÷
3=19(岁)
甲今年的岁数为△=61-19=42(岁)
乙今年的岁数为□=42-19=23(岁)
甲今年的岁数是42岁,乙今年的岁数是23岁。
11行船问题
【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。
解答这类问题要弄清船速与水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在静水中航行的速度;
水速是水流的速度,船只顺水航行的速度是船速与水速之和;
船只逆水航行的速度是船速与水速之差。
【数量关系】(顺水速度+逆水速度)÷
2=船速
(顺水速度-逆水速度)÷
2=水速
顺水速=船速×
2-逆水速=逆水速+水速×
逆水速=船速×
2-顺水速=顺水速-水速×
【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1一只船顺水行320千米需用8小时,水流速度为每小时15千米,这只船逆水行这段路程需用几小时?
解由条件知,顺水速=船速+水速=320÷
8,而水速为每小时15千米,
所以,船速为每小时320÷
8-15=25(千米)
船的逆水速为25-15=10(千米)
船逆水行这段路程的时间为320÷
10=32(小时)
这只船逆水行这段路程需用32小时。
例2甲船逆水行360千米需18小时,返回原地需10小时;
乙船逆水行同样一段距离需15小时,返回原地需多少时间?
解由题意得甲船速+水速=360÷
10=36
甲船速-水速=360÷
18=20
可见(36-20)相当于水速的2倍,
所以,水速为每小时(36-20)÷
2=8(千米)
又因为,乙船速-水速=360÷
15,
所以,乙船速为360÷
15+8=32(千米)
乙船顺水速为32+8=40(千米)
所以,乙船顺水航行360千米需要360÷
40=9(小时)
乙船返回原地需要9小时。
例3一架飞机飞行在两个城市之间,飞机的速度是每小时576千米,风速为每小时24千米,飞机逆风飞行3小时到达,顺风飞回需要几小时?
解这道题可以按照流水问题来解答。
(1)两城相距多少千米?
(576-24)×
3=1656(千米)
(2)顺风飞回需要多少小时?
1656÷
(576+24)=2.76(小时)
列成综合算式[(576-24)×
3]÷
飞机顺风飞回需要2.76小时。
12列车问题
【含义】这是与列车行驶有关的一些问题,解答时要注意列车车身的长度。
【数量关系】火车过桥:
过桥时间=(车长+桥长)÷
车速
火车追及
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