大一高数同济版期末考试题精 副本Word格式文档下载.docx

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0），过点（0,1），且曲线上任一点M（xo,yo）处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x=xo所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.

五、解答题（本大题10分）

15.过坐标原点作曲线y=lnX的切线，该切线与曲线y=|nX及x轴围成

平面图形D.

（1）求D的面积A；

（2）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积

V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16.设函数f（x）在b，1】上连续且单调递减，证明对任意的qj0,1］，

q1

Jf（X）dXXJf（X）dx

JIJI

Jf（X）dX=0ff（X）cosXdx=0

0，0

J，為，使f（©

1）=fe2）=0・（提

00

17.设函数f（x）在咖上连续，且

证明：

在（0,兀）内至少存在两个不同的点

x

F（X）=!

f（x）dx

示：

设0）

、单项选择题（本大题有4小题,每小题4分,共16分）

1、D2、A3、C4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题

1,cosx2,e6-（）+c

5.e.6.2X.7.

三、解答题（本大题有5小题，每小题

9.解：

方程两边求导

ef（1+y「co（s（xy）（y=）.ex^+ycos（xy）

y（X）一eXJxcos（xy）X=0,y=0，y（0）=T

10.解：

u=x77x6dx=du

=-（ln|u|—2ln|u+1|）+c

12

=—ln|x7|—-ln|1+x7|+C

77

1012

一肋ff（x）dx=『xedx+fV2x-x2dx

=J：

xd（—e」）+J；

J1-（x-1）2dx

=[-xe」-e」]j+J兀cos2日d0（令x-1=sin9）

~2

兀3

=—-2e3-1

4

12.解：

由f（0）=0，知g（0）=0。

1xt.Jf（u）du

g（x）=Jf（xt）dt=-

x2x

其通解为y=C1e-+C2e

上可导。

F'

（x）=f（x），且F（0）=F（兀）=0

兀

0=Jf（x）cosxdx=JcosxdF（x）=F（x）cosx|0+JsinxF（x）dx

由题设，有000

fF（x）sinxdx=0

有0，由积分中值定理，存在吳（0,兀），使F（©

）sine=0即

F化）=0

综上可知F（0）=F（©

）=F（;

i）=0,匕€（。

，兀）.在区间［。

，^，［©

，兀］上分别应用罗尔

定理，知存在

0-（0,©

）和勺迂（©

，兀），使FKiH0及F©

2）=0，即f（©

）=f（S）=0.

高等数学上

（2）

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本大题分5小题，每小题2分，共10分）

1、

设I=f-e^1dx,则I=

、ex+1

（A）ln（ex-1）+c（B）ln（eX+1）+c;

（C）2ln®

+1）-x+g

（D）x-21n（eX+1）+c

2、

f.

limYen_^

（A）1

12n4

n百e

（D）e2

答（

（B）7e（C）e

3、

4、

设f（X）在X=0的某邻域内连续,且f（0）=0,limf（x）=2,则点X=0

T1-COSx

（A）是f（x）的极大值点

（C）不是f（x）的驻点

（B）是f（x）的极小值点

（D）是f（x）的驻点但不是极值点

答（）

5、

—2x+4上点M0（O,4）处的切线M0T与曲线y2=2（x—1）所围成的平面

A=

（B）-4（C）-4（D）-11

9412

二、填空题（将正确答案填在横线上）

（本大题分5小题，每小题3分，共15分）

三、解答下列各题（本大题4分）

设平面兀与两个向量a=3i+j和匕=i+j—4k平行，证明：

向量c=2-6j—k与平面兀垂直。

四、解答下列各题（本大题8分）

讨论积分I1半的敛散性.

0x

五、解答下列各题

（本大题11分）

六、解答下列各题（本大题4分）

!

.jx+2y-z-5=0求过卩0（4,2,-3）与平面兀:

X+y+z-10=0平行且与直线lz-10=0

直的直线方程。

七、解答下列各题

（本大题6分）

计算极限limJ^xsinx-cos2x

XTxtanx

八、解答下列各题

（本大题7分）

eeC

试求In=I（lnx）ndx的递推公式（n为自然数），并计算积分［（Inx）3dx.

九、解答下列各题

（本大题8分）

设f（X）在（a,b）内可微，但无界，试证明f-（X）在（a,b）内无界。

十、解答下列各题

（本大题5分）

设lim④（X）=U0,limf（u）=f（u。

）,证明：

limfb（x）］=f（u。

）

^3X0UT0^Sx0。

十^一、解答下列各题

（本大题4分）

在半径为R的球内,求体积最大的内接圆柱体的高十二、解答下列各题

一质点，沿抛物线y时间t的变化规律为求该质点的纵坐标在点M（8,6）处的变化速率.

十四、解答下列各题

设曲线X=J7,x=J2-y2及y=0,围成一平面图形.

（1）求这个平面图形的面积

（2）求此平面图形绕X轴旋转而成的立体的体积.

、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本大题分5小题，每小题2分，共10分）

1、C

2、答：

B

3、C

4、（B）

5、C

二、填空题（将正确答案填在横线上）（本大题分5小题，每小题3分，共15分）

12丄1

（1-p）sec（X+—）Xx^

2（1+tan（X+—））

10分

Xo=0

Xi

=——

5

-1

fb2

lb2

IJ，

b<

b〉0

三、解答下列各题

（本大题4分

平面法向量

t2c

n与c平行从而平面与四、解答下列各题

C垂直。

1-p

-4

={-4,12,2}

8分

11

pa）

=lim（1--

汕］-P名

P<

・1

>

当P=1时,

当pG时收敛，当p31时发散.乜xp

五、解答下列各题

解：

（法一）

£

dJ丁X

Xn^

dx

+（n+1）1

n半

4xx^1

n临

1+x2

xn^

xnF

xn雄vxq

（n+1）xn*

n+1

dx+（n+1）J

I1

=In

41

+X2

—Jx2+1

（n-1）xn~*

n_2

（n>

2）

+x2

+X+c

〈法二）令X=tant

dx=sectdt

sec2tdt

sect

、tanntsect

dsect

'

tan

tannt

+J（n+1）

dt

sect

tannM

.n七

tan

dt+（n+1）f

xn+

（n+1）（1

nH2

+ln）

n-2

n+1

Jx2+1

z八n4

（n-1）x

nd

=ln\1+x2+x+c.

六、解答下列各题

兀的法向量为

Si=

11的方向向量为所求直线方向向量为

-1={2,-1,0}

S=nXs={12,-3}从而所求直线方程为

X-4y-21"

210分

七、解答下列各题（本大题6分）

1+xsinx-

z+3

--3

原式=lim

cos2x

Xtanx（J1+xsinx+cos2x）

1,xsinX,sin2x、

=—hm（+）

2TXtanXxtanx

15=一（1+4）=-

22

八、解答下列各题

e

In=J1（Inx）ndx

=xlnnX

e1

:

-nT（Inx）ndx

=e-n

于是In=e-ne+n（n-1）e”+（-1）nn!

[dx=e-ne+n（n—1）e—+（-1）"

n（n—1）…2e+（T）nn!

（e—1）

所以[（Inxfdx=e-3e+6e-6（e-1）

=6-2e

反证设f'

（X）在（a,b）内有界，即mMaO则Fx迂（a,b）

有If'

（x）|<

M

取x^（a,b）则对（a,b）,xKx0在以x0与x为端点的区间上f（x）满足拉格朗日中值定理的条件，则至少存在E介于x0与X之间,使f（X）—f（Xo）=f'

（©

（x—Xo）

即If（x）|兰|f（xo）|+|fei（b-a）

=f（x0）|+M（b—a）记为K

Vm（R2-^h2）

唯一驻点

243h=——R

3

3-

一一jih<

故h=台总R时,圆柱体体积最大

十二、解答下列各题

按点0受力平衡，应有

1）

高等数学上（3）

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本大题分4小题，每小题3分，共12分）

A.异B.e2

D.-

设f（x）,g（x）在x0的某去心邻域内可导，gYx）H0且limf（x）=limg（x）=0,^3xo^Jx0

则（I）lim=A与（H）lim*、

fg（x）fg（x）

（A）-）是（H）的充分但非必要条件

（B）（I）是（H）的必要但非充分条件

（C）

（1）是（H）的充要条件

（D）（I）不是（H）的充分条件，也不是必

「（x）=A关系是:

要条件

答

设f（x）在a,b连续，F（x）=[f（x）dt（a<

x<

b）,则F（x）是f（x）的

（A）.原函数一般表示式（B）.—个原函数

（C）.在a,b上的积分与一个常数之差（D）.在a,b上的定积分答（）

若已知XT0时，F（x）=[（X2-t2）f"

（t）dt的导数与

X2是等价无穷小，则厂（0）=

（C）-1

（B）-

（D）-弓

与平面3x+y-9z+17=0的交点为

Xy+2

直线13

。

（本大题共2小题，总计12分）

1、（本小题6分）

写出f（x）Tn（1-x）（ixv1带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林展开式.

2、（本小题6分）

tan卫X1

设y（x）=（2—X）2,（―VXC1）求dy.

=fin（t2+2tcosx+1）dx为偶函数.

试证：

对角线向量是A={3,-4,-仆,B={2,3,-6}的平行四边形是菱形，并计算其边长。

六、解答下列各题

（本大题共3小题，总计20分）

在抛物线y=x2找出到直线3xk-4y=2的距离为最短的点

设曲线的方程为y=f（x）.已知在曲线的任意点（X,y）处满足y=6x,且在曲线上的（0,-2）点处的曲线的切线的方程为2x-3y=6,求此曲线的方程.

3、（本小题8分）

经济学上,均衡价格Po定义为供给曲线与需求曲线相交时的价格，消费者剩余定义为需求曲线与直线P=Po间的面积（右图区域I）,生产者剩余定义为供曲线与直线P=Po间的面积（右图区域口）已知需求曲线方程p（x）=1000-0.4x2,供给曲线方程为p（x）=42x.求均衡点及消费者剩余和生产者剩余.

七、解答下列各题

（本大题共2小题，总计6分）

1、（本小题1分）

设f（X）在X=x0处连续，g（x）在x0处不连续，试判定F（x）=f（X）+g（x）在x0处的连续性.

2、（本小题5分）

若limf（x）=^,limg（x）=A，试判定limf（x）”g（x）是否为无穷大?

D

答（B）

二、填空题（将正确答案填在横线上）（本大题分4小题，每小题3分，

X=0=tanx-x+c.

共12分）

4、（2,4,3）

（本大题共2小题，总计

1、（本小题6分）

12分）

f（X）=—x—一

Rn（X）

1_

（1-©

n

――+Rn（X）

n+，巴介于0与X之间

=4

16

2、（本小题6分）

肓-z

用y=y0所截得的曲线为［y=y0故y。

=0时为一对相交直线y0H°

时为双曲线

四、解答下列各题

（本大题共5小题，总计24分）

2_3_

jjxdx=-^x2+c.

（本小题2分）

原式=（—

_40

-3

（本小题5分）

flnx

xJ1+lnX

+2x2）

flnx、

J心d（lnx）

J1+lnx

S/^fnVdd+lnx）-r=j

J1+1nX

2I

诗（1+1nx）2

令jx=t原式=I」

一2（1+lnX+c.

1t2（1+t）

211

=2f（--——）dt

八tt+1

=21nt-1n（t+讥

=21n4

（本小题11分）

dy=y'

（x）dx

3喙「兀2兀、1.兀xl

1—sec——In（2-x）tan——dx

lb22-x21

=（2-x）

五、解答下列各题（本大题共2小题,

1、（本小题7分）

总计14分）

F（—t）=（In（t2-2tcosx+1）dx

令X=兀-u

02

F（—t）=—Jln（t2+2tcosu+1）du

JI

兀2

=ln（2+2tcox+1）dx

=F（t）

2、（本小题7分）

因为A”B=3x2+（-4）x3+（-1）X（-6）=0，故AlB

因此这个平行四边形的对角线是垂直的，于是它是菱形。

（6分）

边长=V（05x|A|）+（05>

qB|）

I32+（_4）2+（_1）2]"

2}+Jg[22

设抛物线上任点（x,x2）,到直线的距离为

3x-4x2-2

22严〕2

+32+（-6）2]j

（10分）

d=J9+16

丿禺2-3x+2）

八5（8x-3）

dJ8>

0

故当X=—时,d最小

8

即点\3,—〕到直线3x-4y-2=0的距离最短■864丿

（注如用切线平行于已知直线解也可以

y，=Jy"

dx=3x2+c

又由2x-3y=6得y=-X-2

■2-yk0T=3y'

=3x2+2

/.y=f（3x2+-2）dx=x3+刍x+c再将（0,-2）代入得c=-2,「.y=x3+吕x-2.

代入

（1）得

[p=1000-04x2IP=42x,

解出x=20.

均衡点p=840.

消费者剩余f（1000-0.4X2）-840dx

=2133.33

20

生产者剩余L840-42x]dx

=8400

6分

1、（本小题1分）

F（x）=f（X）+g（x）在X0处必不连续

若F（x）在x0处连续，则

g（x）=F（x）-f（X）在Xo处也连续，矛盾!

2、（本小题5分）

答：

不一定.

若Aho,lim=0

Ff（x）g（x）

二Xmx°

f（X）'

g（x）=*

但若A=0则等式可能不成立

例如lim—1一=处,

IX—1

但lim、（x-1）2

IX-1

lim（X—1）=0

^■x1

高等数学上（4）

（A）1・

极限lim（^―）xX-0a

bA

（B）lnR（C）ea.（D）

a

（aH0,bH0）的值为

be

cosx=

1D.处

设f（x）在［a,b］上连续,在（a,b）内可导记（I）f（a）=f（b）（n）在（a,b）内f0）三0则：

（A）（I）是（n）的充分但非必要条件

（B）（I）是（n）的必要,但非充分条件

（C）（I）是（n）的充要条件

（D）（I）与（n）既非充分也非必要条件

若（X0,f（xo）为连续曲线，y=f（x）上的凹弧与凸弧分界点，则（）

（A）（xo,f（xo））必为曲线的拐点

（B）（xo,f（xo））必定为曲线的驻点

（C）xo为f（x）的极值点

（D）xo必定不是f（X）的极值点

一1

长为Lem的杆OA绕0点在水平面上作圆周运动.杆的线密度P=-,

r

以2；

为周期的Fourier级数之和函数。

试写出S（x）在［-兀，兀】内的表达式。

四、解答下列各题（本大题共5小题，总计

nX

如果幕级数n士在X=-2处条件收敛，那么该

级数的收敛半径是多少？

试证之.

（本大题共2小题，总计16分）

如图要围成三间长都为y,宽都为X的长方形屋围，其墙的总长度为a,问X,y各等于多少时，所围成的总面积最大？

（墙的厚度不计）

y

2、（本小题9分）

求由曲线y=e2x,x轴及该曲线过原点的切线所围成的平面图形的面积.

［chxX30

设f（X）={'

‘,试讨论f（x）的可导性并在可导处求出f\x）

Un（1-x）,xcO

八、解答下列各题（本大题6分）

Xtt

［（a—b）dt

2x

计算lim—2；

（a〉0,b〉0）.

T0In（1+t）dt

（本大题12分）

设函数f（x）在a,b上有连续导数（a>

0）,又设x=rcose,f（x）=rsin0.试证明：

2[f（x）dx+件2（T）d&

=bf（b）-af（a）,

其中a=arctan"

&

）,P=arctan.

ab

三、解答下列各题

（本大题共3小题，总计13分）

1、（本小题4分）

f（x）=x2在［2,3］上连续，在（2,3）可导即f（X）在［2,3］上满足拉格朗日中值定理的条件又f'

（X）=2x

令f'

（Wf（4）—f⑵=6