精选届高考数学北师大版一轮复习讲义第3讲全称量词与存在量词逻辑联结词Word下载.docx
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(2)命题p和綈p不可能都是真命题.(√)
(3)若命题p,q中至少有一个是真命题,则p或q是真命题.(√)
(4)“全等三角形的面积相等”是特称命题.(×
)
(5)命题綈(p且q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是真命题.(×
题组二教材改编
2.已知p:
2是偶数,q:
2是质数,则命题綈p,綈q,p或q,p且q中真命题的个数为()
A.1B.2C.3D.4
答案B
解析p和q显然都是真命题,所以綈p,綈q都是假命题,p或q,p且q都是真命题.
3.命题“正方形都是矩形”的否定是.
答案存在一个正方形,这个正方形不是矩形
p真q假,从而綈p为假,故
3x+11的值域为(0,1),则下列
题组三易错自纠4.已知命题p,q,“綈p为真”是“p且q为假”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件答案A解析由綈p为真知,p为假,可得p且q为假;
反之,若p且q为假,则可能是
綈p为真”是“p且q为假”的充分不必要条件,故选A.
5.下列命题中,为真命题的是
2
A.任意x∈R,-x2-1<
B.存在x∈R,x2+x=-1
21
C.任意x∈R,x2-x+>
4
D.存在x∈R,x2+2x+2<
0答案A
6.若“任意x∈0,π4,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为答案1解析∵函数y=tanx在0,π4上是增函数,
π
∴ymax=tan=1.
依题意知,m≥ymax,即m≥1.
∴m的最小值为1.
题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断1.设命题p:
函数y=log2(x2-2x)的单调增区间是[1,+∞),命题q:
函数y命题是真命题的为()
A.p且qB.p或q
C.p且(綈q)D.綈q
解析函数y=log2(x2-2x)的递增区间是(2,+∞),所以命题p为假命题.
x1
由3x>
0,得0<
3x+1<
1,
3+1
故命题q为真命题.
所以p且q为假命题,p或q为真命题,p且(綈q)为假命题,綈q为假命题.故选B.
22
2.(2017·
山东)已知命题p:
任意x>
0,ln(x+1)>
0;
命题q:
若a>
b,则a2>
b2.下列命题为真命题的是()
A.p且q
B.p且(綈q)
C.(綈p)且q
D.(綈p)且(綈q)
解析∵x>
0,∴x+1>
1,∴
ln(x+1)>
ln1=0.
∴命题p为真命题,∴綈p为假命题.
∵a>
b,取a=1,b=-2,而12=1,(-2)2=4,
此时a2<
b2,
∴命题q为假命题,∴綈q为真命题.
∴p且q为假命题,p且(綈q)为真命题,(綈p)且q为假命题,(綈p)且(綈q)为假命题.故选B.
3.已知命题p:
若平面α⊥平面β,平面γ⊥平面β,则有平面α∥平面γ.命题q:
在空间中,对于三条不同的直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.对以上两个命题,有以下命题:
①p且q为真;
②p或q为假;
③p或q为真;
④(綈p)或(綈q)为假.
其中,正确的是.(填序号)
答案②
解析命题p是假命题,这是因为α与γ也可能相交;
命题q也是假命题,这两条直线也可能异面,相交.思维升华“p或q”“p且q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式;
(2)判断其中命题p,q的真假;
(3)确定“p且q”“p或q”“綈p”等形式命题的真假.
题型二含有一个量词的命题命题点1全称命题、特称命题的真假
)下列命题中的假命题是()
B.任意x∈N+,(x-1)2>
解析
答案
当x∈N+时,x-1∈N,可得(x-1)2≥0,当且仅当x=1时取等号,故B不正确;
易知A,C,D正确,故
选B.
典例
(1)命题“任意x∈R,13x>
0”的否定是()
3
C.任意x∈R,<
0D.存在x∈R,≤0
33
答案D
解析全称命题的否定是特称命题,“>
”的否定是“≤”.
(2)(2017·
河北五个一名校联考)命题“存在x∈R,1<
f(x)≤2”的否定形式是()
A.任意x∈R,1<
f(x)≤2
B.存在x∈R,1<
C.存在x∈R,f(x)≤1或f(x)>
2
D.任意x∈R,f(x)≤1或f(x)>
解析特称命题的否定是全称命题,原命题的否定形式为“任意x∈R,f(x)≤1或f(x)>
2”.
思维升华
(1)判定全称命题“任意x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;
要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x,使p(x)成立.
(2)对全(特)称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词;
②对原命题的结论进行否定.
跟踪训练
(1)下列命题中的真命题是()
A.存在x∈R,使得sinx+cosx=2
B.任意x∈(0,+∞),ex>
x+1
C.存在x∈(-∞,0),2x<
3x
D.任意x∈(0,π),sinx>
cosx答案B
解析∵sinx+cosx=2sinx+π4≤2<
23,故A错误;
设f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1,
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,又f(0)=0,
∴任意x∈(0,+∞),f(x)>
0,
即ex>
x+1,故B正确;
当x<
0时,y=2x的图像在y=3x的图像上方,故C错误;
∵当x∈0,4时,sinx<
cosx,故D错误.故选B.
福州质检)已知命题p:
“存在x∈R,ex-x-1≤0”,则綈p为()
A.存在x∈R,e-x-1≥0
B.存在x∈R,ex-x-1>
C.任意x∈R,ex-x-1>
D.任意x∈R,ex-x-1≥0答案C
解析根据全称命题与特称命题的否定关系,可得綈p为“任意x∈R,ex-x-1>
0”,故选C.
题型三含参命题中参数的取值范围
典例
(1)已知命题p:
关于x的方程x2-ax+4=0有实根;
关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数,若p且q是真命题,则实数a的取值范围是.
答案[-12,-4]∪[4,+∞)
解析若命题p是真命题,则Δ=a-16≥0,
即a≤-4或a≥4;
若命题q是真命题,
a
则-4≤3,即a≥-12.
∵p且q是真命题,∴p,q均为真,∴a的取值范围是[-12,-4]∪[4,+∞).
(2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=x-m,若对任意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m
的取值范围是.
答案14,+∞
解析当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时,
1
g(x)min=g
(2)=4-m,由f(x)min≥g(x)min,
11
得0≥-m,所以m≥.
44
引申探究
本例
(2)中,若将“存在x2∈[1,2]”改为“任意x2∈[1,2]”,其他条件不变,则实数m的取值范围是
∴m≥2.
思维升华
(1)已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假,利用集合的运算求解参数的取值范围.
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决.
跟踪训练
(1)已知命题“存在x∈R,使2x2+(a-1)x+2≤0”是假命题,则实数a的取值范围是()
A.(-∞,-1)B.(-1,3)
C.(-3,+∞)D.(-3,1)
2121
解析原命题的否定为任意x∈R,2x+(a-1)x+2>
0,由题意知,其为真命题,即Δ=(a-1)-4×
2×
2<
0,
则-2<
a-1<
2,即-1<
a<
3.
(2)已知p:
存在x∈R,mx2+1≤0,q:
任意x∈R,x2+mx+1>
0,若p或q为假命题,则实数m的取值范围是()A.[2,+∞)B.(-∞,-2]
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.[-2,2]
答案A
解析依题意知,p,q均为假命题.当p是假命题时,mx2+1>
0恒成立,则有m≥0;
当q是假命题时,则有Δ=m2-4≥0,m≤-2或m≥2.
因此由p,q均为假命题,
m≥0,
得即m≥2.
m≤-2或m≥2,
常用逻辑用语
考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现,多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合,难度中等偏下.解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系.
一、命题的真假判断典例
(1)(2017·
佛山模拟)已知a,b都是实数,那么“a>
b”是“lna>
lnb”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
(2)(2018届全国名校大联考命题的是()
)已知命题p:
任意x∈R,3x<
5x;
存在x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真
A.p且qC.p且(綈q)
B.(綈p)且q
D.(綈p)且(綈q)
解析
(1)由lna>
lnb?
a>
b>
0?
b,故必要性成立.当a=1,b=0时,满足a>
b,但lnb无意义,所以lna>
lnb不成立,故充分性不成立.
(2)若x=0,则3=5=1,∴p是假命题,
∵方程x=1-x有解,∴q是真命题,
∴(綈p)且q是真命题.
答案
(1)B
(2)B
二、充要条件的判断
典例
(1)(2017·
广东广雅中学、江西南昌二中联考+1)≤0}”,则下列说法正确的是()
A.甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件
B.甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件,又不是乙的必要条件
222
湖北七市联考)已知圆C:
(x-1)2+y2=r2(r>
0).设p:
0<
r<
3,q:
圆C上至多有2个点到直线x-3y+3=0的距离为1,则p是q的()
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
x2+x
解析
(1)≥0等价于x(x+1)(x-1)≥0且x≠1,
x-1
解得-1≤x≤0或x>
1.
由log3(2x+1)≤0,得0<
2x+1≤1,得-2<
x≤0.
∴甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件.故选B.
222|1-3×
0+3|
(2)圆C:
(x-1)2+y2=r2的圆心(1,0)到直线x-3y+3=0的距离d=2=2.当r∈(0,1)时,直
线与圆相离,圆C上没有到直线的距离为1的点;
当r=1时,直线与圆相离,圆C上只有1个点到直线的距离为1;
当r∈(1,2)时,直线与圆相离,圆C上有2个点到直线的距离为1;
当r=2时,直线与圆相切,圆C上有2个点到直线的距离为1;
当r∈(2,3)时,直线与圆相交,圆C上有2个点到直线的距离为1.综上,当r∈(0,3)时,圆C上至多有2个点到直线的距离为1,又由圆C上至多有2个点到直线的距离为1,可得0<
3,故p是q的充要条件,故选C.
答案
(1)B
(2)C
三、求参数的取值范围典例
(1)已知命题p:
任意x∈[0,1],a≥ex,命题q:
存在x∈R,x2+4x+a=0,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是.
4x1
(2)已知函数f(x)=x+x,g(x)=2x+a,若任意x1∈2,3,存在x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是.
(2)∵x∈12,3,a,依题意知f(x)答案
(1)[e,4]
解析
(1)命题“p且q”是真命题,p和q均是真命题.当p是真命题时,a≥(ex)max=e;
当q为真命题时,Δ=16-4a≥0,a≤4,所以a∈[e,4].
∴f(x)≥2x·
x4=4,当且仅当x=2时,f(x)min=4,当x∈[2,3]时,g(x)min=22+a=4+
min≥g(x)min,即4≥a+4,∴a≤0.
(2)(-∞,0]
1.已知命题p:
“x>
3”是“x2>
9”的充要条件,命题q:
“a2>
b2”是“a>
b”的充要条件,则下列判断正确的是()A.p或q为真B.p且q为真
C.p真q假D.p或q为假
解析∵p假,q假,∴p或q为假.
2.设命题p:
函数y=sin2x的最小正周期为π2;
函数y=cosx的图像关于直线x=π2对称,则下列判断正确的是()
A.p为真B.綈q为假
C.p且q为假D.p或q为真
答案C
2ππ
解析函数y=sin2x的最小正周期为22=π,故命题p为假命题;
x=π2不是y=cosx的对称轴,故命题q为假命题,故p且q为假.故选C.
3.(2017·
唐山一模)已知命题p:
存在x∈N,x3<
x2;
任意a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=loga(x-1)的图像过点(2,0),则下列判断正确的是()
D.p真q真
C.p假q假答案A
解析对任意x∈N,x3≥x2,∴p假,又当x=2时,f
(2)=loga1=0,
∴f(x)的图像过点(2,0),∴q真.
题为真的是()
存在
x∈(2,+∞),使得2x=x2成立,故命题q为假命题,所以p且(綈q)为真命题,故选A.
6.已知命题p:
存在α∈R,cos(π-α)=cosα;
任意x∈R,x+1>
0,则下列结论正确的是()
解析对于p:
取α=2,则cos(π-α)=cosα,所以命题p是真命题;
对于命题q:
因为x2≥0,所以x2+1>
0,所以q是真命题.由此可得p且q是真命题.
7.下列命题中,真命题是()
A.存在x∈R,ex≤0
B.任意x∈R,2x>
x2
C.a+b=0的充要条件是ba=-1
D.“a>
1,b>
1”是“ab>
1”的充分条件答案D
解析因为y=ex>
0,x∈R恒成立,所以A不正确;
因为当x=-5时,2-5<
(-5)2,所以B不正确;
“=-1”是“a+b=0”的充分不必要条件,C不正确;
b
当a>
1时,显然ab>
1,D正确.
8.命题p:
任意x∈R,ax2+ax+1≥0,若綈p是真命题,则实数a的取值范围是()
A.(0,4]B.[0,4]
C.(-∞,0]∪[4,+∞)D.(-∞,0)∪(4,+∞)
解析因为命题p:
任意x∈R,ax2+ax+1≥0,
所以綈p:
存在x∈R,ax2+ax+1<
a>
0,
则a<
0或2解得a<
0或a>
4.
Δ=a2-4a>
9.命题“存在n∈N,n2>
2n”的否定是.
答案任意n∈N,n2≤2n
10.已知函数f(x)的定义域为(a,b),若“存在x∈(a,b),f(x)+f(-x)≠0”是假命题,则f(a+b)=.
答案0
解析若“存在x∈(a,b),f(x)+f(-x)≠0”是假命题,则“任意x∈(a,b),f(x)+f(-x)=0”是真命题,即f(-x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数,则a+b=0,即f(a+b)=f(0)=0.
11.以下四个命题:
22222
1任意x∈R,x2-3x+2>
0恒成立;
②存在x∈Q,x2=2;
③存在x∈R,x2+1=0;
④任意x∈R,4x2>
2x-1+3x2.其中真命题的个数为.
解析∵x2-3x+2=0的判别式Δ=(-3)2-4×
2>
∴当x>
2或x<
1时,x2-3x+2>
0才成立,
∴①为假命题;
当且仅当x=±
2时,x2=2,
∴不存在x∈Q,使得x=2,∴②为假命题;
对任意x∈R,x2+1≠0,∴③为假命题;
4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,即当x=1时,4x2=2x-1+3x2成立,
∴④为假命题.∴①②③④均为假命题.
故真命题的个数为0.
12.已知命题“任意x∈R,x2-5x+125a>
0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是.
答案56,+∞
13.已知命题p:
-4<
x-a<
4,命题q:
(x-2)(3-x)>
0,若綈p是綈q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.
答案[-1,6]解析p:
4等价于a-4<
x<
a+4;
q:
(x-2)(3-x)>
0等价于2<
又綈p是綈q的充分不必要条件,即q是p的充分不必要条件,
14.下列结论:
1若命题p:
存在x∈R,tanx=1;
任意x∈R,x2-x+1>
0,则命题“p且(綈q)”是假命题;
2已知直线l1:
ax+3y-1=0,l2:
x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是b=-3;
3命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题是“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.其中正确结论的序号为.
答案①③
解析①中命题p为真命题,命题q为真命题,
所以p且(綈q)为假命题,故①正确;
2当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;
3正确,所以正确结论的序号为①③
15.已知命题p:
存在x∈R,ex-mx=0,命题q:
任意x∈R,x2+mx+1≥0,若p或(綈q)为假命题,则实数m
的取值范围是答案[0,2]解析若p或(綈q)为假命题,则p假q真.
x
由ex-mx=0,可得m=,x≠0,
设f(x)
e
x,x≠0,则
当x>
时,f′(x)>
0,函数f(x)=ex在(1,+∞)上是递增函数;
当0<
1或x<
0时,f′(x)<
0,函数f(x)
xe在(0,1)和(-∞,0)上是递减函数,所以当x=1时,函数取得极小值f
(1)=e,所以函数f(x)=x的值域是(-x
∞,0)∪[e,+∞),由p是假命题,可得0≤m<
e.当命题q为真命题时,有Δ=m2-4≤0,即-2≤m≤2.
所以当p或(綈q)为假命题时,m的取值范围是0≤m≤2.
x-x+1x
16.已知函数f(x)=(x≥2),g(x)=a
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