江苏省苏州市第五中学高中数学11集合的含义及其表示学案苏教版必修1.docx
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江苏省苏州市第五中学高中数学11集合的含义及其表示学案苏教版必修1
知识、方法
要求
集合的概念
确定性、互异性、
无序性
了解
集合的表示
列举法、描述法、
Venn图
了解
兀素与集合、集合与集合的关系
属于、包含
了解
学习内容、要求及建议
1.1集合的含义及其表示
建议
集合是不定义的原始概念,通过举例进行概念辨析;会用适当的方法表示集合;数形结合、分类讨论思想在集合中有重要应用.
二、预习指导
1.预习目标
(1)通过预习初步了解集合的概念,能用集合的语言描述具体问题;
(2)会判断元素与集合的关系;知道几个常用数集的表示方法;
(3)会用列举法、描述法及Venn图表示集合.
2.预习提纲
(1)对集合的理解应从初中数学和实际生活中寻找实例,请举例,并与同学交流辨析
(2)对课本中集合的定义的理解要注意关键词的内涵,请找出你认为的关键词.
(3)用列举法、描述法表示集合时,应注意根据问题选择合理的表示方法,归纳一下哪类问题宜用哪种表示法.
(4)课本例1是解一元一次不等式,并将不等式的解用集合的形式表示出来,这是一种常见题型.同学们解不等式要正确,解集的表达也要正确
⑸上网查阅集合论的创始人康托(Cantor)的资料.
3.典型例题
例1判断下列描述的对象能否构成集合:
(1)某校高一⑴班的女生;
(2)某校高一
(1)班比较聪明的女生;
(3)某校高一
(1)班学生家长;(4)某校高一
(1)班经常体育锻炼的学生.
分析:
根据集合的定义判断特性所描述的对象是否确定,若对象确定,则他们可以构成集合;
反之,则不能构成集合.
解:
(1)由于"某校高一
(1)班的女生”所描述的对象是确定的,所以,某校高一
(1)班的
女生可以构成集合.
(2)由于“某校高一
(1)班比较聪明的女生”所描述的对象不确定,所以,某校高一
(1)
班比较聪明的女生不能构成集合.
(3)由于“某校高一
(1)班学生家长”所描述的对象是确定的,所以,某校高一
(1)班
学生家长「可以构成集合.
(4)由于“某校高一
(1)班经常体育锻炼的学生”所描述的对象不确定,所以,某校
高
一
(1)班经常体育锻炼的学生不能构成集合
点评:
判断某种对象能否构成集合,关键在于能否找到一个明确标准,对于任何一个元素,都确定它是不是给定集合的元素.
例2用“”或“”符号填空:
(1)3.14_N;
(2)_R;(3)2N;(4)3Q
(5)sin450R;(6)cos450Z;(7)9Q;(8)3{(2,3)}.
4
是否是集合中的兀素,最后填写
分析:
首先了解常用数集符号表示方法,而后判断“数”
符号“”或“”.
解:
(1)3.14N;
(2)R
;(3)2N;
⑷
3Q
(5)sin450R
;(6)cos45
0
Z;(7)
9J—
Q;(8)3{(2,3)}
■4
点评:
判断元素与集合的关系,必须先确定集合是由什么元素组成,然后再判断所给对象是否是集合中的元素.
例3用适当的方法表示下列集合:
(1)由15的正约数组成的集合;
(2)能被3整除的整数;
(3)方程x22x30的解;(4)直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点
解:
(1)因为15的正约数为1,3,5,15,所以15的正约数组成的集合用列举法表示为{1,3,5,15}.
(2)用描述法表示为xx3n,nZ.
(3)用列举法表示为{-1,3}.
(4)用描述法表示为(x,y)yx,xR.
点评:
(1)列举法表示集合时,要符合互异性,元素之间要用逗号分隔,但列举时与元素的顺
序无关•列举法一般适用于元素不多的有限集•
(2)描述法表示集合时要符合确定性,元素x满足的条件p(x)要表达准确.描述法适
用于元素比较多的有限集或无限集•
例4用列举法表示下列集合:
(1)A{x|x回也J,a,b为非零实数};
ab
6*
(2)A{(x,y)|y乙xN}.
3x
解:
(1)根据绝对值的定义化简x旦巴,
ab
当a0,b0时,x2;
当a0,b0时,x2;
当a,b异号时,x0.所以A{2,0,2}.
(2)根据元素x满足的条件—LZ且xN*得到x的值.
3x
x所取的正整数必须使得3x整除6,所以3x1,2,3,6,
x2,4,1,5,0,6,3,9.因为xN所以x1,2,4,5,6,9.
所以A{(1,3),(2,6),(4,6),(5,3),(6,2),(9,1)}.
点评:
用列举法表示集合时,要把元素不重复、不遗漏、不计顺序的全部列出来
例5已知集合A{a2,(a1)2,a23a3},若1A,求实数a的值.
分析:
1A,则a2,(a1)2,a23a3均有可能为1,则需分类讨论解决,且必须检
验是否满足集合中元素的互异性•
解:
⑴若a21则a1;此时,A{1,0,1}与集合中元素的互异性矛盾,(舍去);
(2)若(a1)21,则a0或2,当a0时A{2,1,3},满足题意;当a2时,
A{0,1,1}与集合中元素的互异性矛盾,(舍去);
(3)若a23a31则a1(舍去)或a2(舍去).
综上所述,a0,此时集合A{2,1,3}.
点评:
本题易错原因:
忽视元素的互异性•在解决集合问题时常用分类讨论思想,需要弄清
“为什么要分类”、“按什么分类”和“怎样进行分类”
例6已知集合A1,1x,12x,集合B1,y,y2,且AB,求实数x和y的值.
分析:
求未知数x和y的值,常需要用解方程的方法,根据集合相等,可列出方程组
3
/7x0x0
4或’检验知'不合题意,舍去
1.y1.y1.
J
2
1
解方程组(I),得x0,检验知不合题意,舍去y1.
x
解方程组(n),得
y
3
综上所述,x-,y
4
4.自我检测
(1)以下元素的全体不能够构成集合的是
①中国古代四大发明;②地球上的小河流;
③方程x210的实数解;④周长为10cm的三角形.
⑵方程组x2y3的解集是
2xy11
⑶给出下列关系:
①1R;②2Q:
③3N*:
④0Z.其中正确的个数是_—
2-
(4)下列各组中的两个集合M和N,表示同一集合的是
①M{},N{3.14159};②M{2,3},N{(2,3)};
③M{x|1x1,xN},N{1};④M{1,3,},N{,1,|.31}.
⑸已知实数a2,集合B{x|1x3},则a与B的关系是
(6)已知xR,则集合{3,x,x22x}中元素x所应满足的条件为.三、课后巩固练习
1.判断下列特性描述的对象能否形成集合:
(1)算术平方根等于自身的数;
(2)高一
(1)班1988年出生的学生;
(3)与一个角的两边距离相等的点;⑷难解的题目.
2•分别写出下列集合中的元素:
(1){
(2){
(3){
(4){
(5)
中国的直辖市);
大于0且小于5的整数的平方};
大于10且小于20的合数}
既是质数又是偶数的整数}
大于10且小于20的质数}
不正确命题为
{
隹阜
集是.
1且小于2的有
9•设集合M={正方形},T={能被7整除的数},P={比2大3的数},H={大于理数},其中无限集为.
10•下列每一题中各个集合的意义是否相同?
并说明理由.
⑴{1,5},{(1,5)},{5,1},{(5,1)};
(2){x|x0},{(x,y)|x0,yR}.
(1)试判断集合A、B是有限集还是无限集;
1
(2)试判断1,8,-是否是这两个集合的元素.
2
12•已知集合p{x|x、5},则以下结论中正确的是』2P且3P;
(2)2P
但3P;(3)2P但3P;(4)2P且3P.
B组
13.集合{有长为2的边和40度的内角的等腰三角形}的元素个数为.
12
14•已知集合AxxNN用列举法表示集合A为
6x
22
15•下列四个集合中表示空集的是
(1){0};
(2){(x,y)|y=-x,x€R,y€R};
2
(3){x€N2x+3x-2=0}.
16•若集合{x|ax2x10}有且只有一个元素,则实数a的取值集合为
17•数集{a,a2a}中实数a的取值范围是
18.用列举法表示下列集合:
⑴{(x,y)|x+y=5,x€N,y€N};
2
⑵{(x,y)|y=x-1,|x|w2,x€Z}.
19.直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为
(1){(x,y)|x=0,沪0或xm0,y=0};
(2){(x,y)|x=0且y=0};
(3){(x,y)|xy=0};(4){(x,y)|x,y不同时为0}.
20•若1{x|x2axb0},2{x|x2axb0},求a,b的值.
21.设a,b均为整数,把形如ab...5的一切数构成的集合记作M设x,yM,试判断
x
xy,xy,xy,—是否属于集合M并说明理由
y
c组
22•已知集合A
2一、
a关于x勺方程-一41有惟一解,用列举法表示集合A为.——
23•集合A{x|xZ,2x2},B{y|yx2,xA},用列举法表示集合B.
、2
24•设yxaxb,Axyxa,求a,b.
25.已知集合Axax22x10,xR,a为实数.
(1)若A是空集,求a的取值范围;
(2)若A是单元素集,求a的值;
(3)若A中至多只有一个元素,求a的取值范围.
26.已知集合Axxm2n2,mZ,nZ,求证:
(1)3A;
(2)2k1A,kZ
⑶偶数4k2kZ不属于A
知识点题号注意点
集合的概念
集合的表示
元素与集合、集合与集合的关系
综合题
集合是不定义的原始概念,通过举例进行辨析;会用适当的方法表示集合;分类讨论思想在集合中有重要应用.
注意列举法、描述法、Venn图各自的特占八、、-
分清元素与集合、集合与集合的属于关系和包含关系
用分类讨论思想
四、学习心得
五、拓展视野
罗素悖论
十九世纪下半叶,康托尔创立了著名的集合论,在集合论刚产生时,曾遭到许多人的猛
烈攻击•但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了,并且获得广泛而高度的赞誉•数学
家们发现,从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦.因而集合论成为现代数学
的基石•“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉.1900年,
国际数学家大会上,法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称:
“借助集合论概念,
我们可以建造整个数学大厦……今天,我们可以说绝对的严格性已经达到了……”
可是,好景不长.1903年,一个震惊数学界的消息传出:
集合
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