完整版第十八章平行四边形知识点及练习Word文件下载.docx
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AC和BD,共有两条。
注意:
平行四边形的定义既是性质,又是判定。
(1)由定义知平行四边形两组对边分别平行;
(2)由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行,那么这个四边形就是平行四边形。
例:
如图,已知AB//DE,EF//BC,DF//AC,图中有几个平行四边形?
将它们表示出了,并说明理由。
知识点2:
平行四边形的性质
平行四边形的两组对边分别平行且相等。
符号语言:
•••四边形ABCD是平行四边形,•••AD=BC,AD//BC,AB=CD,角:
平行四边形的两组对角分别相等,邻角互补
•••四边形ABCD是平行四边形,
•••
(1)ZBAD=/BCD,/ABC=/ADC。
(2)/ABC+/BAD=180。
,/ABC+/BCD=180。
,/BCD+/ADC=180°
对角线:
平行四边形的对角线互相平行。
•••四边形ABCD是平行四边形,•OA=OC=AC,OB=OD=BD
例1:
如图所示,在平行四边形ABCD中,过AC中点0作直线,分别交AD、
COF。
的周长为10,则口ABCD的周长为
(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等,如图②所示,□ABCD和口EBCF有公共边BC,
则S=S。
例1:
如图所示,已知□ABCD,AB=8cm,BC=10cm,/B=30°
,求口ABCD的面积。
知识点6:
三角形的中位线
(1)三角形中位线的定义:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
几何描述:
如图所示,在△ABC中,点D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点,则线段EF、FD是厶ABC的三条中位线。
(2)三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半。
如图所示,在△ABC中,点D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点,则线段DE、EF、FD是厶ABC的三条中位线,故DF//BC,DF=BC;
DE//AC,DE=AC;
EF//BA,EF=BA。
(3)
三角形中位线定理的作用:
①证位置关系:
可以证明两条直线平行;
②证数量关系:
可以证明线段的线段或倍分关系。
如图所示,口ABCD的周长为36,对角线AC、BD相交于点O,点E是CD的中点,BD=12,则厶DOE
的周长为
能力点1:
运用平行四边形的性质计算
能力点2:
运用平行四边形的性质证明例1:
如图所示,在口ABCD中,AE//CF,AE与BD相交于点P,CF与BD相交于点Q,
求证:
BP=DQ。
例2:
如图所示,在口ABCD中,点E是AB的中点,连接DE并延长,交BC的延长线于点F。
(1)求证:
△ADE◎△BFE
(2)若DF平分/ADC,连接CE,试判断CE与DF的位置关系,并说明理由。
在口ABCD中,/BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F。
(1)如图所示,证明CE=CF
(2)若/ABC=90,G是EF的中点,连接DG(如图2),直接写出/BDG的度数。
例2:
如图所示,四边形ABCD中,AB//CD/ADC=ZABC求证:
AB=AD+CD.
能力6:
三角形的中位线问题
由三角形的中位线定理,可直接得到边边之间的数量关系及位置关系。
在有中点条件时,可考虑利用中位线或构造中位线解决问题。
如图所示,已知四边形ABCD的对角线ACBD相交于点F,MN分别为ABCD的中点,MN分别交BD
AC于点P、Q,且/FPQ=/FQP若BD=1Q求线段AC的长。
如图所示,已知AO>
^ABC中/BAC的平分线,BDLAO的延长线于D,E是BC的中点。
DE=(AB-AC)。
能力点7:
平行四边形探究性问题
平行四边形的探究问题形式多样,要根据题目条件特征及具体的问题来选用判定方法及性质来综合解决问题。
如图所示,在四边形ABCD中,AD//BC且AD>
BQBC=1cm点P,Q分别从点AC同时出发,点P以cm/s的速度由点A向点D运动,点Q以cm/s的速度由点C向点B运动,几秒后四边形ABQP是平行四边形?
知识点4:
直角三角形斜边上的中线的性质
如图所示,BD,。
丘是厶ABC的高,GF分别是BC,DE的中点,试说明GF丄D&
能力点1:
矩形性质的应用
角)相等。
求:
(1)/ACB的度数;
(2)ABBC的长。
如图,矩形ABCD中,ACBD相交于点0,AE平分/BAD交BC于点E,若/CAE=15,求/B0E的度
数。
例3:
如图,在矩形ABCD中,/ABC的平分线交CD于点E,EF丄AE交BC于点F。
AE=EF
能力点2:
直角三角形斜边上的中线的性质应用
根据直角三角形斜边上的中线的性质,快速找到两条线段间的数量关系,为进一步的证明找到切入点。
例:
如图所示,延长矩形的边CB至点E,使CE=CA点F为AE的中点,求证:
BF丄FDb
能力点3:
矩形中的折叠问题
如图所示,在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=6沿EF折叠后,点C落在AB边上的点P处,点D落在点
Q处,AD与PQ相交于点H,/BPE=30。
o
(1)求BE,QF的长;
A_HF,D
P■:
.
(2)求四边形PEFH的面积。
能力点4:
矩形的判定的应用
根据题目中所给的条件的不同,灵活地选用矩形的判定方法进行证明。
在动态问题中,要能判断出隐含
的不变的数量关系或位置关系来
已知:
如图所示,口ABCD勺四个内角的平分线分别相交于点E、F、GH,求证:
四边形EFGH是矩形。
如图,在△ABC中,点0是边AC上一个动点,过0作直线MNBG设MN交/ACB的平分线于点E,交/ACB的外角平分线于点F。
OE=OF
(2)若CE=12,CF=5,求0C的长;
(3)当点0在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?
并说明理由。
A
18.2.2菱形
知识点1:
菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
如图所示,在厶ABC中,CD是/ACB的平分线,DE//AC,DF//BQ四边形DECF是菱形吗?
试说明理由。
知识点2:
菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形,它除了具备平行四边形的所有性质外,还具有以下性质:
(1)菱形的四条边都相等。
(2)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
(3)菱形是轴对称图形,它的对角线所在的直线就是它的对称轴。
拓展:
菱形面积的求法:
(1)菱形的面积等于底乘以高;
(2)菱形被对角线分成了四个全等的直角三角形,因此菱形的面积可以用两条对角线之积的一半来表示,
即菱形ABCD勺面积=4S=4XAOBO=2AOBO=ACBD
例1:
如图,已知菱形ABCD勺对角线ACBD的长分别为6cm、8cmAE丄BC于点E,贝UAE的长是(
A.cmB.cmC.cmD.cm
例2:
如图,四边形ABCD是菱形,对角线ACBD相交于点QDHLAB于点H,
OH求证:
/DHOWDCQ
知识点3:
菱形的判定
(1)(定义法判定)有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(2)判定定理1:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形,这个定理的另一种说法是:
对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
(3)判定定理2:
四边相等的四边形是菱形。
将平行四边形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,使点C与点A重合,点D落到点D'
处,折痕为EF。
△ABE^AADF;
(2)
连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形?
证明你的结论。
18.2.3正方形
正方形的定义
定义:
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
如图所示,在厶ABC中,/ABC=90,BD平分/ABCDE±
BQDF丄AB试说明四边形BEDF是正方形。
正方形的性质
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
归纳:
(1)正方形的四条边相等,四个角都是直角。
(2)正方形的两条对角线互相垂直平分且相等,且每一条对角线平分一组对角。
(3)正方形是轴对称图形,有四条对称轴。
(4)正方形的对角线把它分割为四个全等的等腰直角三角形。
(5)正方形的面积等于对角线平分的一半。
如图,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上的一点,过点M作ME//CD交BC于点E,作MF//BC交
CD于点F,求证:
AM=EF.
知识点3:
正方形的判定
(1)从平行四边形出发:
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
(2)从矩形出发:
有一组邻边相等的矩形是正方形。
(3)从菱形出发:
有一个角是直角的菱形是正方形。
(4)正方形的判定的示意图。
如图,已知矩形ABCD勺各内角的平分线AQDF、BE、CH分别交BCAD于点QF、E、H,求证:
四边
10
形MNP(是正方形。
性质的综合应用
利用菱形的性质与勾股定理相结合,解决与计算有关的问题,与三角形全等相结合,解决推理论证类问题。
在解答过程中,还可以直接应用菱形的轴对称性解决部分问题。
如图,在菱形ABCD中,点F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M过点M作ME!
CD于点E,Z
仁/2。
(1)若CE=1,求BC的长;
(2)求证:
AM=DF+M>
E
菱形的判定的综合应用
根据题目中所给的角、边、对角线等方面的条件,结合其他几何知识,灵活地运用菱形的判定方法进行证明。
如图所示,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE和厶BCE都是等边三角形,中点分别为P,Q,MN,试判断四边形PQMF为怎样的四边形,并证明你的结论。
长线上,并且AF=CE.
四边形ACEF是平行四边形。
(2)当/B的大小满足什么条件时,四边形
能力点5:
正方形性质的综合运用
根据正方形的性质进行证明或计算,要注意结合题目有选择地运用。
如图所示,正方形ABCD勺边长为1,AC是对角线,
如图所示,四边形
OABC与四边形ODEF均为正方形,CF交0A于点P,交DA于点Q。
AD=CF
(2)AD与CF垂直吗?
说明你的理由;
(3)当正方形ODEF绕0点在平面内旋转时,明理由)
能力点6:
根据题目条件,选择适当的判定方法,条理清晰、层次分明地证明一个四边形为正方形。
如图,在△ABC中,/A=45°
ZACB=90,BC的垂直平分线EF交BC于D,交AB于E,且CF=BE
四边形BECF是正方形。
AC
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