曲线的切线和法面密切面Word文件下载.docx
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为切线的斜率
②曲线厂f(x),
(x)=(x,f(x)),
切向量7(x)=(1,f(x)),
2=f(X)为切线的斜率。
平面曲线的切线方程和法线方程。
例1、求圆
「=r(=)=acos,asin:
「(0,2)
的切向量。
解:
切向量是rCPCasi^,acos),
rC)rC)=acos(-asin:
)asin=acos:
=0
所以,这表明「C)与rC)垂直。
二、切线方程
曲线r=r(t)在点r(t°
)处的切
线方程为
r-r(t°
)=r(to),
r=r(t。
)r(t°
),(八,:
),
x-x(to),y-y(t°
),z-z(to)=(x(to),y(to),z(to),
x-x(to)=叱to)
y-y(t。
)=y(to)
.z-z(t°
)=心(to)
xx(to)y-y(to)z-z(to)
x(to)y(to)z(to),
这称为切线方程的点向式三、曲线的法平面
经过切点而垂直于切线的平面,称为曲线的法平面或法面。
下面导出曲线的法平面方程。
设曲线r=r(t)上一点P,它所
对应的参数为to,
P点的向径是r(to),
八(X,Y,Z)是法面上的任一点,则由呼。
)一如),
得[T-,(如]r(t°
)=°
,
若设r(top(x(to),y(to),z(to)),
'
(to)=(x(t°
),y(to),z(t°
)),
则得法面方程为
[X-x(to)]x(to)[Y-y(to)]y(to)[Z-z(to)]z(t°
)=o。
四、光滑曲线
定义8.2设曲线r=r(t),
如果r‘(to)=o,则称r(to)是曲线的一个奇点。
如果r(to)=O,称为r(t°
)是曲线的一个正则点(或正常点)。
32
例如r(tp(t,t),
r(t)=(3t2,2t),
r(0p(0,0),
■
7(0)=(0,0)是曲线的一个奇点,其它点为正则点。
由X=t3,y=t2,
2
得厂f(X)=X3,
f(x)在x=0处不可导。
画出曲线图象。
例曲线X「1,
33
x二cost,y=sint,0空t乞2,
4433
r=r(t)二(cost,sint),
-
r(t)=(-3cos21sint,2sin21cost),
当t%,,丁时,
有7(t)=(0,0),
3、
r(0),r(?
),rC),「(?
)均为曲线的
奇点,其它点为正则点
画出曲线图形。
注:
r=r(tp(t,t),(0,0)是
奇点,
r=r(up(u,u),(0,0)不是奇点,
表示同一条曲线,原因是变换U"
不是正则的。
定义如果曲线r=r(t)全由正则点组成,则称这条曲线是一条正则曲线。
设曲线r(t)=(x(t),y(t),z(t)),t[,],如果切向量r(t)的三个分量都是L】上的连续函数,并且
r(t)=o,t(:
:
),贝g称曲线
r=r(t)(t[:
/])是一条光滑曲线。
设曲线r(tp(x(t),y(t),z(t))
(t(,)),
如果r(t)在(:
「)上连续,并且r(t)=o,t(:
),则称曲线r=r(t)(t(:
,:
))是一条光滑曲线。
如果曲线表示式
r(t)=(x(t),y(t),z(t))(t(,))中
的函数是k阶连续可微的函数,则
把这曲线称为ck类曲线。
记号Ck[a,b],Ck(a,b),Cgb)等的涵义。
例如:
圆柱螺线
「二acost,asint,bt,t(-,),(a0,b0)
是一条光滑曲线,且是Ck类曲线(任意正整数k)。
(这种曲线,也称为无穷次光滑曲线。
)
分段光滑的曲线概念。
分段光滑的曲线的图例,出现被使用的场合。
例1.求曲线x=t,y=t2,z=t3在点
M(1,1,1)处的切线和法平面方程.
解因x=1,y=2t,z=3t2,
及点M(1,1,1)对应参数tT,
所以曲线在点M处的切向量为
T=(1,2,3).
于是所求的切线方程为
x-1y_1z-1
123;
法平面方程为
(x-1)2(y-1)3(z-1)=0,
即x2y3z一6=0.
例2、求曲线
x二t1,厂t2-t,z二t3-2t上平行于直线x二y二z的切线方程.
解已知直线的方向向量
「(1,1,1).
x(t)=1,y'
(t)=2t_1,z'
(t)=3t2_2,
由于曲线的切向量
r(t)=(1,2t-1,3t2-2)
平行于向量I,
12t-13t2-2
所以[=「1—,
解得t=1,切点坐标为(2,0,-1),切向量为I,
所以切线方程为
x-2yz1
111,
即x2=y=z1.
例3.设曲线
x=x(t),y=y(t),z=z(t)
在任一点的法平面都过原点,证明此曲线必在以原点为球心的某个球面上.
解任取曲线上一点x(t),y(t),z(t),
曲线过该点的法平面方程为:
X(t)[X-x(t)]y(t)[丫-y(t)]z(t)
【Z-z(t)]=0,
由于法平面过原点,得
x(t)[O-x(t)]y(t)[O-y(t)]z(t)[0-z(t)]7
[x2(t)y2(t)z2(t)]7
222
于是x(t)y(t)Z(t)=C,即曲线在球面上.
例f.设参数曲线段r(t)=(x(t),y(t)),at=b,它的分量X和y在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,并且对t(a,b)有x(t),我们称由(x(a),y(a))
与(x(b),y(b))两点决定的直
线段为这条参数曲线段的弦•求证:
曲线上至少有一点使得曲线在这点上的切线与弦平行•证:
由柯西中值定理,
存在(a,b),使得
y(b)-y(a)x(b)-x(a)
y()
x()
弦的斜率为
y(b)-y(a)x(b)-x(a),
曲线上(x()y(点处的切线斜率
为Ttj,两者相等,
故弦线与(x(),y())点处的切线平行,结果得证•五、空间曲线的密切平面
经过上面的讨论,我们知道,
在C1类曲线的正常点处,总存在一条切线,它是最贴近曲线的直线。
下面我们将指出,对于一条C2类空间曲线而言,过曲线上一点有无数多个切平面,其中有一个最贴近曲线的切平面,它在讨论曲线的性质时起很重要的作用。
定义1过空间曲线上p点的切线和P点邻近一点Q可作一平面「,当Q点沿着曲线趋于P时,平面厂Q的
极限位置兀称为曲线在P点的密切平面。
现在我们找出密切平面的方程。
给出C2类的空间曲线
:
7=,(t)=(x(t),y(t),z(t))。
设曲线上的P和Q点分别对应
参数to和to:
t。
根据泰勒公式,有
T彳4
PQ二r(t°
thr(to)
12
二r魚)t;
(r(to))(t)2
2,
其中;
=(;
1$,¥
;
2(to,讥),;
3(t。
讥)),
lim=0
t-0。
彳T
因为向量r(to)和PQ都在平面%
上,所以它们的线性组合
也在平面%上当Q点沿着曲线趋于P时,,「o,
4片T
这时r(t°
)不动,但」0,
这个线性组合向量就趋于r(to),所以平面■的极限位置是向量?
(to)
和r(to)所确定的平面。
也就是说,如果r(to)和r(to)不平
zI
行,即r(to)r(to)=o,
这两个向量及P点就完全确定了曲线在P点的密切平面。
根据以上的讨论,曲线:
在
P(to)点的密切平面的方程是
斗扌弓4
(―r(to),r(t°
),r(切厂o,
其中(X,Y,Z)表示P(to)点的密切平面上任意一点的向径。
上式也可以用行列式表示为
x-x(t0)
Y-y(t°
z-z(to)
X’(to)
y'
Z〔t。
=o
X^o)
y\to)
Z\to)
定义2给出C2类的空间曲线
r=r(t)=(x(t),y(t),z(t))。
设曲线上的p和Q点分别对应参数to和to"
过p点作由r仇),r(t。
t)张成的
切平面CQ,
当Q点沿着曲线趋于P时,平面^Q的极限位置31称为曲线在P点的密切平面。
现在我们找出密切平面的方程
1的方程为
(一7(t°
);
(to);
(tot))=0,
其法方向为r(to)r魚」t)
平面二Q的法向量的极限为
/(to)'
(to),就是二的法方向,
故曲线:
在P(to)点的密切平面的方程是
44jj
C-r(to),r(to),r(to)^0,其中巴=(X,Y,Z)表示P(to)点的密切平面上任意一点的向径。
密切平面的几何意义:
设曲线|上的P和Q点分别对
应参数to和tot
过P点作一平面二,
考查Q点到平面1的距离的接近情况,彳
设n为平面:
p的单位法向量,
由Q作平面p的垂线,垂足为Q,则QQ=n,其中「从平面到Q点有向距离。
一
由于QQ二QFPQ,QFn二O,TT4
PQ二r(t。
二r(t。
)t;
(r(t。
))(t)2
其中Cl(J。
,*;
2(t。
t),;
t)),
t>
0。
所以有一一
—4dT4
二QQn=(Q,PPQ)n
J)44
二PQn=n[r(t。
t)-r(t。
)]
=n*(to)12(:
(t°
))(t)2],
欲使=oCt),需要n;
(t。
)=0,
此时「可为任一过切线的平面;
欲使一o((t)2),
需要n;
)=。
nr(toP0,
也就是需要二p的法方向为?
(切7(切,此时的平面「是一个切平面,并且与曲线的接近程度较高,
所以称这种平面为曲线的密切平面。
例求螺线
r(t>
(c0s,t上点(1,0,0)的密切
平面。
解把点(1,0,0)代入所给曲线方程,得t=0。
直接计算,得
T
r(t)=(-sint,cost,1),
r(t)=(-cost,-sint,0),把t=0代入,得
r(0p(1,0,0),
r(0p(0,1,1),
r(0^(-1,0,0);
所求密切平面的方程为
X-1Y-0Z-0
011=0
-100
曲线r(t),
r(t),「(t)的物理意义
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