高一数学函数的定义域与值域的常用方法Word格式文档下载.docx
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O
X)2f(X)
3x24x
与条件式联立,
与条件式联立,消
则得:
本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,
故所求函数的
已知
f(X)是二次函数,且f(0)f(∙一X1)心)
3f(x)
2,f(X1)f(X)X
1,求f(X);
2X,求f(x),f(x1),f(x2)
11亠
2,求
XX
f(X);
(4)
【题意分析】
(1)设法求出a,b,c即可。
若能将X2-X适当变形,用.X
X1
设为一个整体,不妨设为
X,
2f(x)X3,求f(x)。
由已知f(X)是二次函数,所以可设f(X)
ax2bxc(a0),
1的式子表示就容易解决了。
然后用t表示X,代入原表达式求解。
(4)就行了。
【解题过程】
X同时使得f(X)有意义,
X代替X建立关于f(X),f(
X)的两个程
⑴设f(X)
ax2bx
c(a
由f(X1)
f(X)X
1,得恒等式
2aX
0),由f(0)2,得C2,
abX1,得a,b
故所求函数的解析式为
f(x)1X2
J—fi9*I9
(2)f(.x1)X2..X(..X)22、X11('
..X1)21,
又、、XO,.X1
1,
f(x)
X21(x
1)。
(3)设t,则X-
1,t
1,
…,X1
2X
11
122
则f(t)f()
12
1(t1)(t1)tt1
所以f(x)X2X
1(x
(4)因为3f(X)2f(X)X
3①
用X代替X得3f(
X3
②
解①②式得f(X)X3。
【题后思考】求函数解析式常见的题型有:
(1)解析式类型已知的,如本例⑴,一般用待定系数法。
对于二次函数问题要注意一
22
般式yaxbxc(a0),顶点式ya(xh)k和标根式ya(xXI)(XX2)
的选择;
(2)已知f[g(x)]求f(X)的问题,法一是配凑法,法二是换元法,如本例
(2)(3);
(3)函数程问题,需建立关于f(X)的程组,如本例(4)。
若函数程中同时出现f(x),
f(―),则一般将式中的X用一代替,构造另一程。
特别注意:
求函数的解析式时均应格考虑函数的定义域
二:
求函数定义域
1、由函数解析式求函数定义域:
由于解析式中不同的位置决定了变量不同的围,所以解题时要认真分析变量所在的位置;
最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。
y、X2
例3.求
X—3
X4
的定义域。
X2
由题意知:
{x∣x>
—2且x≠±
4}°
例2.求下列函数的定义域:
从而解得:
x>
—2且x≠±
4.故所求定义域为:
(1)f(x)
(2)f(X)
【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值围,应考虑使函数解析式有意义,这里需考虑分母不为零,开偶次被开数为非负数。
(1)要使函数有意义,则
X30,即:
,在数轴上标出,即
3,或3x3,或3X5。
故函数的定义域为(
3)(3,3)(3,5].当然也可
表示为XX3,或3X3,或3X
(2)要使函数有意义,则
1X
0X1
0,即X1,所以X1,从而函数的定义域为
X|X1。
【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题,如果一个函数有几
个限制条件时,那么定义域为解各限制条件所得的X的围的交集,利用数轴可便于解决问
题。
求函数的定义域时不应化简解析式;
定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“”连接。
2、求分段函数的定义域:
对各个区间求并集。
4
6
Y
22
14
35
—6
17
例4.已知函数由下表给出,求其定义域
{1,2,3,4,5,6}。
3、求与复合函数有关的定义域:
由外函数从而解得X∈∣1,又由g(X)定义域可以解得先求出复合函数的表达式后再行求解。
f(U)的定义域可以确定函数g(X)的围,X∈∣2则∣1∩∣2即为该复合函数的定义域。
也可
例8已知f(x).,X3,g(X)
■X2
由f(x)X3
又由于X—4x+3>
0联立*、**两式可解得:
933
X1或3
g(x)
二,求yf(g(χ))的定义域-
4x3
故所求定义域为X
.933
F
例9.若函数f(2χ)的定义域是[—解:
由f(2χ)的定义域是[—1,
93、3
1],求f(log2χ)的定义域。
1]可知:
2—1≤2χ≤2,所以f(x)的定义域为[2—1,
/√2,4
X4,故定义域为。
2],故l0g2χ∈[2—1,2],解得J2
三:
求函数的值域与最值
求函数的值域和最值的法十分丰富,下面通过例题来探究一些常用的法;
随着高中学习的深入,我们将学习到更多的求函数值域与最值的法。
1、分离变量法
2x3
例11.
y
求函数
2x
X1的值域。
2X11
2—
X1,因为
≠2}。
这是一个分式函数,分子、分母均含有自变量现在分母中,再行求解。
2、配法
2例12.求函数y=2χ+4x的值域。
y=2χ+4x=2(X+2χ+1)—2=2(χ+1)
故y≠2,所以值域为{y∣y
可通过等价变形,让变量只出
2≥—2,故值域为{y∣y≥—2}。
这是一个二次函数,可通过配的法来求得函数的值域。
类似的,对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此法求解,如
3、判别式法
y=af(x)+bf(x)+CO
例13.求函数
x:
2χ3的值域。
4x5x6
X22x3
解:
4x5x6可变形为:
(4y—1)X+(5y—2)x+6y—3=0,由Δ≥0可解
得:
266、.3266、.3
71,71
对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解,可以考虑采用此法。
要注意两点:
第一,其定义域一般仅由函数式确定,题中条件不再另外给出;
如果题中条件另外给出了定义域,那么一般情况下就不能用此法求解值域;
第二,用判别式法求解函数值
域的理论依据是函数的定义域为非空数集,所以将原函数变形为一个关于X的一元二次程
后,该程的解集就是原函数的定义域,故Δ≥0。
4、单调性法
例14.求函数y3,X€[4,5]的值域。
y—3
由于函数X为增函数,故当
513
J
所以函数的值域为25。
5、换元法
例15.求函数y2X4斤匸的值域。
X=4时,
ymin=;
当X=5时,
ymax=
13
令t'
-1X0,贝yy=—2t2+4t+2=—(t—1)
+4,t≥0,
故所求值域为
{y∣y
≤4}o
例3.求下列函数的值域:
(1)y2x1,x1,2,3,4,5
(2)y
1X2
3,(5X
2)
(3)y2(4)y
【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点
一是值域的概念,
即对于定义域
A
上的函数y
f(x),其值域就是指集合C
yyf(x),XA;
二是函数的定义域,
对应关系是确定函数值的依据。
(1)将X1,2,3,4,5分别代入y2x1中计算,得出函数的值域为3,5,7,9,11。
(2)XX0,X11,即所求函数的值域为[1,)或用换元法,令
X(t0),yt1(t0)的值域为[1,)。
(3)<
法一>
1X2yΓV
函数的定义域为RO
X21,012x2
2,y
(1,1]o
<法二
“2
一>
y
2y
yx
(1y)x1y
X2J0,得到y(1,1]。
1y
故所求函数的值域为(—1,1]o
(X1)24,5X2,4X1
(4)<构造法>yX2x3
l0g2(IX),X0,则(2009)的值为(
f(X1)f(x2),x0
X24x
2.设函数f(X)
X6,x
习题讲解:
A.-1
B.0
C.1
D.2
答案:
C.
【解析】
由已知得f(
1)log2
21,f(0)0,f
(1)f(0)f(
1)1,
f
(2)
f(0)
1,f(3)
f
(2)f
(1)1
(1)0,
f(4)
f(3)
0
(1)
1,f(5)f(4)f(3)1,f(6)
f(5)W)0
1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=
所以函数f(x)的值以6为期重复性出现•,所以f(2009)=f(5)=1,故选C.【命题立意】:
本题考查归纳推理以及函数的期性和对数的运算
6,X0则不等式f(x)f
(1)的解集是()
A(3,1)(3,)
B(3,1)(2,)
1,1)(3,)
【解析】由已知,
f(x)2f
(1)
D(,3)(1,3)
函数先增后减再增
3令f(X)3,解得X1,x3。
X63,X3故f(X)f
(1)3,解得3X1或X3
【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。
以及一元二次不等式的求解。
3.已知函数
f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数
X都有
Xf(X
1)
(1x)f(x),则f(-)的值是(
A.
B.
C.1
D.-
若X≠0,则有f(x1)
Jf(X)
2,则有:
_2
I)
f(I)
f
(2)(
f(X)是偶函数,
fG
fQ0
f(5)f(3
1_2^^3^
5f(-)5f(11)
3232
211
Z]f$)5f(-)0
4•若f(X)
2X1
a是奇函数,则
解法1f(x)
2X
a,f(
X)f(X)
Xa
a)
2a
12X
5•已知函数f(X)
3X,X
X)X
11若
2,则
答案log32【解析】
本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求X的值•属于基础知识、
基本运算的考查•
由3X2
X∣0g32,
2无解,故应填log32.
6•记f(x)l0g3(X1)的反函数为yf(x),则程f1(x)8的解X.
V11
答案2【解法1】由yf(x)l0g3(x1),得X3,即f(X)3x1,于是由
3x18,解得X2
【解法2】因为f1(x)8,所以Xf(8)log3(81)2
三、知识要点
1、奇偶函数定义:
(1)偶函数:
一般地,对于函数f(x)的定义域的任意一个X,都有f(—x)=f(x),那么f(X)就叫做偶函数•
(2)奇函数:
一般地,对于函数f(X)的定义域的任意一个X,都有f(—x)=—f(x),那么f(X)就叫做奇函数.
注意:
①函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
2奇偶函数的定义域的特征:
关于原点对称。
3由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域的任意一个X,则—X也一定是定义域的一个自变量(即定义域关于原点对称)
4奇函数若在X0时有定义,则f(O)0
2、根据奇偶性可将函数分为四类:
奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
3、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;
奇函数的图象关于原点对称.
一般地,奇函数的图象关于原点对称,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数。
偶函数的图象关于y轴对称,反过来,如果一个函数的图
象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数。
4、判断函数奇偶性的格式步骤:
首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
确定f(-X)与f(X)的关系;
作出相应结论:
若f(—X)=f(X)或f(—X)-f(X)=O,贝Uf(X)是偶函数;
若f(—X)=—f(X)或f(—X)+f(X)=O,则f(X)是奇函数.
5、判断函数的奇偶性也可以用下列性质
在公共定义域,
(1)两个奇函数的和为奇函数;
两个奇函数的积为偶函数.
(2)两个偶函数的和为偶函数;
两个偶函数的积为偶函数.
(3)—个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.
(4)函数f(X)与fX同奇或同偶.
【典型例题】
-、判断函数的奇偶性
例1、判断函数的奇偶性时易犯的错误
(1)因忽视定义域的特征致错
f
1、①
1:
②f
(X)=X+
(X+1)
XX1
fX
错解:
①
∙f
(X)是奇函数
②•••
f(—X)=
=(—X)2+
(—X+1)
0=χ2+(x+1)0=f(X)
∙∙∙f(X)是偶函数.
分析:
一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称.
正解:
①定义域(―汽1)∪(1,+∞)关于原点不对称,f(X)是非奇非偶函数.
②定义域(—8,—1)∪(—1,+∞),∙f(X)为非奇非偶函数.
(2)因缺乏变形意识或法致错.
fX-X_
2、判断512的奇偶性.
错解:
•••5—1≠0,∙x≠0.
0,+∞),关于原点对称.
f(x)的定义域为(一a,0)∪
5x12
15x
f(—X)≠f(X),f(—X)≠—f(X),f(X)是非奇非偶函数.
因演变过程不到位导致错误,所以要注意进行恒等变形.
115x1
正解:
对称.
O)∪(O,+∞)关于原点
512251,定义域为(—
5X
5χ
25χ
21
25χ
•f(x)是奇函数.
(3)因忽视f(x)=O致错.
3、判断函数
44χ2的奇偶性.
X240
由
∙∙∙f(X)
0得X=±
2,
的定义域为{—2,2},关于原点对称.
fXX244X2,X24,4X2fX
∙f(X)为偶函数
f(X)的定义域为{—2,2},此时,f(X)=0,∙∙∙f(X)既是奇函数又是偶函数.
点评:
函数f(x)=O(x≠O)是f(x)既是奇函数又是偶函数的一个必要条件,任一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f(X)=0(x≠0)函数的定义域.
(4)因分段函数意义不清致错
二、函数的奇偶性与单调性的关系
例3、已知:
函数yf(X)在R上是奇函数,而且在(0,)上是增函数,
证明:
yf(X)在(,O)上也是增函数。
设X1
x20,则
x1x2O..
f(X)在(0,)上是增函数。
...f(X1)
f(X2)又
f(X)在R上是奇
函数。
...f(X1)
fX),即
f(xjf(X2)
所以,y
f(X)在(,O)上也是增函数。
规律:
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;
奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致.
例4、
f(X)为R上的奇函数,当
0时,
2x2
3x1,当x<
0时,求f(X)
设X0,由于
f(X)是奇
函数,
故f(X)
f(X)
又
X0,由已知有
2(
X)2
3(X)
12x23x
从而解析式为
例5、
(1)已知f(X)
的定义域为{x|
IX0}
且2f(X)
f(—)X
试判断f(X)的奇
偶性。
(2)函数f(X)的定义域为R,且对于一切实数X,y都有f(xy)f(X)f(y),试判断f(X)的奇偶性。
f(X)的定义域为{x∣x
°
},且
一2f(—)f(X)
令①式中X为X得:
X
解①②得f(X)
2x21
•••定义域为{x|x0}关于原点对称
又•••
3xf(x)
X)21
—3(X)
x)
3x是奇函数。
(2)τ定义域关于原点对称,
y0得f(0)
X得f(0)f(X)f(X),
又•••令X
再令y
•f(X)
f(0)f(0)则f(0)
所以,原函数为奇函数
(一)函数单调性的定义
1•增函数与减函数
般地,设函数y=f(x)的定义域为I,
X1,X2,当X1VX2时,都有f(X1)V
X1,X2,当X1<
X2时,都有f(X1)>
如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量f(X2),那么就说f(X)在区间D上是增函数。
如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量(X2),那么就说f(X)在区间D上是减函数。
注意:
1函数的单调性是在定义域的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
2必须是对于区间D的任意两个自变量X1,X2;
当X1<
X2时,总有f(X1)<
f(X2)或f
(X1)>
f(X2)。
2.函数的单调性的定义
y=f(X)在这一
如果函数y=f(X)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数区间具有(格的)单调性,区间D叫做y=f(X)的单调区间。
3.判断函数单调性的法和步骤
利用定义证明函数f(X)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
1任取X1,X2∈D,且X1<
X2;
2作差f(X1)—f(X2);
3变形(通常是因式分解和配);
4定号(即判断差f(X1)—f(X2)的正负);
5下结论(即指出函数f(X)在给定的区间D上的单调性)。
(二)函数最大(小)值的定义
1.最大值与最小值
一般地,设函数y=f(X)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在xo∈I,使得f(xo)=M那么,称M是函数y=f(X)的最大值。
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;
(2)存在xo∈I,使得f(xo)=M那么,称M是函数y=f(x)的最小值。
1函数的最大(小)值首先应该是某一个函数值,即存在X0∈I,使得f(X0)=M;
2函数的最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈I,都有f
(x)≤M(f(x)≥M)。
2.利用函数的单调性判断函数的最大(小)值的法
1利用二次函数的性质(配法)求函数的最大(小)值
2利用图象(数形结合法)求函数的最大(小)值
3利用函数的单调性判断函数的最大(小)值
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