人教版高中《数学必修2》精选试题及答案10.docx
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人教版高中《数学必修2》精选试题及答案10
2018-2019年人教版高中《数学必修2》精选试题及答案
单选题(共5道)
1、如图,直线l是平面α的斜线,AB⊥α,B为垂足,如果θ=45°,∠AOC=60°,则∠BOC=( )
A45°
B30°
C60°
D15°
2、在直二面角α-AB-β的棱AB上取一点P,过P分别在α、β两个平面内作与棱成45°的斜线PC、PD,那么∠CPD的大小为( )
A45°
B60°
C120°
D60°或120°
3、已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为( )
A16
B24或
C14
D20
4、正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )
A3:
π
B2:
π
C1:
2π
D1:
3π
5、已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题是真命题的是( )
A若m⊂α,n∥α,则m∥n
B若m∥α,m∥β,则α∥β
C若m⊥α,m⊥n,则n∥α
D若m⊥α,m⊥β,则α∥β
简答题(共5道)
6、(本小题满分12分)
如图,点为圆柱形木块底面的圆心,是底面圆的一条弦,优弧的长为底面圆的周长的.过和母线的平面将木块剖开,得到截面,已知四边形的周长为.
(Ⅰ)设,求⊙的半径(用表示);
(Ⅱ)求这个圆柱形木块剩下部分(如图一)侧面积的最大值.
(剩下部分几何体的侧面积=圆柱侧面余下部分的面积+四
边形的面积)
7、如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
(1)证明:
D1E⊥A1D;
(2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;
8、已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,M,N分别为AD,PB的中点,且PD⊥底面ABCD,其中PD=AD=a.
(1)求证:
MN⊥平面PBC;
(2)求MN与平面ABC所成的角;
(3)求四面体P-MBC的体积.
9、如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1A,B1B的中点.
(1)求直线D1N与平面A1ABB1所成角的大小;
(2)求直线CM与D1N所成角的正弦值;
(3)(理科做)求点N到平面D1MB的距离.
10、.已知圆以为圆心,为半径,过点作直线与圆交于不同两点
(Ⅰ)若求直线的方程;
(Ⅱ)当直线的斜率为时,过直线上一点作圆的切线为切点使求点的坐标;
(Ⅲ)设的中点为试在平面上找一点,使的长为定值.
填空题(共5道)
11、长方体的三条侧棱长的比1:
2:
3,全面积是88,则长方体的体积是
12、已知一个球的表面积为144π,球面上有两点P、Q,且球心O到直线PQ的距离为3,那么此球的半径r=______;P、Q两点间的球面距离为______.
13、二面角α-l-β的平面角为120°,在平面α内,AB⊥l于B,AB=3,在平面β内,CD⊥l于D,CD=4,BD=5,M是棱l上的一个动点,则AM+CM的最小值为______.
14、若直线ρsin(θ+)=与直线3x+ky=1垂直,则常数k=______.
15、正三棱锥P-ABC高为2,侧棱与底面所成角为45°,则点A到侧面PBC的距离是
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1-答案:
tc
解:
作AC⊥OC,垂直为C∵AB⊥α,根据三垂线定理可得,OC⊥BC在Rt△OAB,cos∠AOB==,Rt△AOC中,Rt△OCB中,∴cos∠AOB•cos∠BOC==cos∠AOC∴∴∠BOC=45°故选A.
2-答案:
tc
解:
如图,当两斜线PC,PD同向时,在PC上取点C,过C作CG⊥AB于G,在平面β内过G作GD⊥AB,交PD于D,连结CD.∵二面角α-AB-β为直二面角,∴CG⊥β,则CG⊥GD.在Rt△CGP中,∵∠CPG=45°,设CG=a,则PG=a,∴PC=.在Rt△DGP中,∵∠DPG=45°,∴DG=PG=a,则PD=.在Rt△DGC中,∵CG=DG=a,∴CD=.∴△PCD是等边三角形,∴PC和PD所成角为60°;如图,当两斜线PC,PD异向时,在PC上取点C,过C作CG⊥AB于G,在PD上取点D,使PD=CG,连结CD,∵二面角α-AB-β为直二面角,∴CG⊥β,则CG⊥GD.设CG=a,在Rt△CGP中,∵∠CPG=45°,∴PG=a,则PC=,PD=CG=,∵∠BPD=45°,∴∠DPG=135°.在△DPG中,GD2=PG2+PD2-2PG•PDcos135°==5a2.∴CD2=CG2+GD2=a2+5a2=6a2.在△DPC中,.∴∠DPC=120°.∴PC和PD所成角为120°.所以∠CPD的大小为60°或120°.故选D.
3-答案:
B
4-答案:
B
5-答案:
D
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1-答案:
解:
(Ⅰ)∵优弧的长为底面周长为∴∠AOD=90o∴△AOD为等腰直角三角形∴⊙的半径
(Ⅱ)依题意得,四边形为矩形∵四边形的周长为40∴AB=20-AD=20-x∴所求几何体的侧面积∴当时,即这个圆柱形木块剩下部分(如图一)侧面积的最大值为. 略
2-答案:
以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设AE=x,则A1
(1,0,1),D1
(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0)
(1)证明
(2)解 因为E为AB的中点,则E(1,1,0),从而,,设平面ACD1的法向量为,则也即,得,从而,所以点E到平面AD1C的距离为略
3-答案:
(1)取PC的中点Q,连DQ,NQ,则NQ∥BC且NQ=BC.因为BC∥DM,DM=BC,所以NQ∥DM,且NQ=DM,所以四边形NQDM是平行四边形.所以DQ∥MN,因为PD⊥面ABCS,BC⊂面ABCD,所以PD⊥BC,因为BC⊥DQ.因为PD=AD=a,所以DQ⊥PC,因为PC∩BC=C,所以DQ⊥面PBC,因为DQ∥MN,所以MN⊥面PBC.
(2)由
(1)知,MN∥DQ,所以MN与面ABCD所成角即为DQ与面ABCD所成角的大小,取DC的中点R,连QR,则QR∥PD,所以QR⊥面ABCD,所以∠QDR即为DQ与面ABCD所成的角.所以∠QDR=45°,即MN与面ABCD所成角为45°.
(3)因为MN⊥平面PBC,所以VP-MBC=VM-PBC=MN⋅S△PBC=×a××a⋅a=a3.
4-答案:
(1)以DA为x轴,以DC为y轴,以DD1为z轴,建立空间直角坐标系,∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别是A1A,B1B的中点,∴D1
(0,0,2),N(2,2,1),A(2,0,0),D(0,0,0)∴=(2,2,-1),设直线D1N与平面A1ABB1所成角为θ,∵平面A1ABB1的一个法向量=(2,0,0),∴sinθ=|cos<,>|=||=,∴直线D1N与平面A1ABB1所成角的大小为arcsin.
(2)∵C(0,2,0),M(2,0,1),∴=(2,-2,1),设直线CM与D1N所成角的为α,∵=(2,2,-1),∴cosθ=|cos<,>|=||=,∴sinθ==.直线CM与D1N所成角的正弦值为.
(3)∵M(2,0,1),B(2,2,0),D1
(0,0,2),N(2,2,1),∴=(2,0,-1),=(2,2,-2),=(2,2,-1),设平面D1MB的法向量=(x,y,z),则•=0,•=0,∴,∴=(1,1,2),∴点N到平面D1MB的距离d===.
5-答案:
解:
(Ⅰ)当直线斜率不存在时,;当直线斜率存在时,设其为,则,满足条件的直线方程为或 ……5分
(Ⅱ)知直线方程为,设点,则由得,所求点为; ……10分
(Ⅲ)由图可知定点. ……15分略
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1-答案:
48分析:
由已知中长方体的三条侧棱长的比1:
2:
3,全面积是88cm2,我们分别设三条侧棱长分别为X:
2X:
3X,则我们易求出满足条件的X值,进而写出长方体的体积的表达式,代入即可求出长方体的体积.解:
∵长方体的三条侧棱长的比1:
2:
3,∴设长方体的三条侧棱长分别为X:
2X:
3X,则长方体的全面积S=2(X?
2X+2X?
3X+X?
3X)=22X2,又∵长方体的全面积是88cm2,故X=2cm故长方体的体积V=X?
2X?
3X=6X6=48即长方体的体积是48cm3故答案为:
48cm3
2-答案:
∵球的表面积为S=4πR2=144π∴R2=36∴R=6∴|PQ|=2=6故∠POQ=60°∴P、Q两点间的球面距离为•2π•6=2π故答案为:
6,2π
3-答案:
如图所示,①设点M位于BD之间,令BM=x,则DM=5-x.于是AM=,CM=,∴AM+CM=+≥2,当且仅当=,解得x=3.2时取等号.∴AM+CM的最小值为2=2.②当M位于直线l上除去线段BD时,可得AM+CM>+4,AM+CM>+3,而+4>2,+3>2,∴此时AM+CM>2.综上①②可知:
当点M位于BD之间且BM=3.2时,AM+CM取得最小值2.故答案为2.
4-答案:
把ρsin(θ+)=利用两角和的正弦函数公式化简得:
ρsinθcos+ρcosθsin=,即为x+y=1,直线的斜率为-1;因为该直线与直线3x+ky=1垂直,即斜率乘积为-1,所以由-×(-1)=-1,解得k=-3.故答案为:
-3
5-答案:
分析:
在立体几何中,求点到平面的距离是一个常见的题型,同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离.本题采用的是“找垂面法”:
即找(作)出一个过该点的平面与已知平面垂直,然后过该点作其交线的垂线,则得点到平面的垂线段.设P在底面ABC上的射影为O,则PO=2,且O是三角形ABC的中心,设底面边长为a,?
a=2∴a="2"设侧棱为b,则b="2"斜高h′=.由面积法求A到侧面PBC的距离h==.解:
如图所示:
设P在底面ABC上的射影为O,则PO⊥平面ABC,PO=2,且O是三角形ABC的中心,∴BC⊥AM,BC⊥PO,PO∩AM=0∴BC⊥平面APM又∵BC?
平面ABC,∴平面ABC⊥平面APM,又∵平面ABC∩平面APM=PM,∴A到侧面PBC的距离即为△APM的高设底面边长为a,则?
a=2∴a="2"设侧棱为b,则b=2斜高h′=.由面积法求A到侧面PBC的距离h==故答案为:
点评:
本小题主要考查棱锥,线面关系、直线与平面所成的角、点到面的距离等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.
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- 数学必修2 人教版 高中 数学 必修 精选 试题 答案 10