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(1-2)
式(1.2)中,
表示传递函数阵的分子阵,其维数是m×
r;
表示传递函数阵的按s降幂排列的分母。
五、实验步骤
1.据所给系统的传递函数或(A、B、C阵),依据系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1-2),采用MATLA的file.m编程。
注意:
ss2tf和tf2ss是互为逆转换的指令;
2.在MATLA界面下调试程序,并检查是否运行正确。
3.已知MIMO系统的系统的传递函数,求系统的空间状态表达式。
系统的传递函数为:
(1-4)
4.从系统的传递函数(1.4)式求状态空间表达式。
程序:
num=[0012;
0153];
%在给num赋值时,在系数前补0,必须使num和den赋值的个数相同;
den=[1234];
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
程序运行结果:
A=
-2-3-4
100
010
B=
1
0
C=
012
153
D=
在已知系统的状态空间表达式可以求得系统的传递函数,现在已知系统的状态空间表达式来求系统的传递函数,对上述结果进行相应的验证。
程序如下:
%首先给A、B、C、D阵赋值;
A=[-2-3-4;
100;
010];
B=[1;
0;
0];
C=[012;
153];
D=[0;
%状态空间表达式转换成传递函数阵的格式为[num,den]=ss2tf(a,b,c,d,u)
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)
程序运行结果:
num=
0-0.00001.00002.0000
01.00005.00003.0000
den=
1.00002.00003.00004.0000
从程序运行结果得到:
实验2多变量系统的能控、能观分析
1.学习多变量系统状态能控性分析的定义及判别方法;
2.学习多变量系统状态能观性分析的定义及判别方法;
3.通过用MATLAB编程、上机调试,掌握多变量系统能控性判别方法。
1.掌握系统的能控性分析方法。
2.掌握能观性分析方法。
1.设系统的状态空间表达式
(2-1)
系统的能控分析是多变量系统设计的基础,包括能控性的定义和能控性的判别。
系统状态能控性的定义的核心是:
对于线性连续定常系统(2-1),若存在一个分段连续的输入函数U(t),在有限的时间(t1-t0)内,能把任意给定的初态x(t0)转移至预期的终端x(t1),则称此状态是能控的。
若系统所有的状态都是能控的,则称该系统是状态完全能控的。
2.能控性判别
状态能控性分为一般判别和直接判别法,直接判别法是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统,判别时不用计算,应用公式直接判断,是一种直接简易法;
前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
输出能控性判别式为:
(2-2)
状态能控性判别式为:
(2-3)
系统的能观分析是多变量系统设计的基础,包括能观性的定义和能观性的判别。
系统状态能观性的定义:
对于线性连续定常系统(2-1),如果对t0时刻存在ta,t0<
ta<
,根据[t0,ta]上的y(t)的测量值,能够唯一地确定S系统在t0时刻的任意初始状态x0,则称系统S在t0时刻是状态完全能观测的,或简称系统在[t0,ta]区间上能观测。
状态能观性分为一般判别和直接判别法,后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统,状态能观性判别时不用计算,应用公式直接判断,是一种直接简易法;
前者状态能观性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
(2-4)
3.只要系统的A的特征根实部为负,系统就是状态稳定的。
式(1-2)又可写成:
(2.5)
当状态方程是系统的最小实现时,
,系统的状态渐近稳定与系统的BIBO(有界输入有界输出)稳定等价;
当
时,若系统状态渐近稳定则系统一定是的BIBO稳定的。
五、实验步骤
1.先调试[例2.1]、[例2.2]系统能控性、能观性程序,然后根据所给系统的系数阵A和输入阵B,依据2.3能控性、能观性判别式,对所给系统采用MATLA的file.m编程;
在MATLA界面下调试程序,并检查是否运行正确。
2.调试[例2.3]系统稳定性分析程序,验证稳定性判据的正确性。
3.按实验要求,判断所给的具有两个输入的四阶系统的能控性。
已知系数阵A和输入阵B分别如下,判断系统的状态能控性
程序:
[3020
0110
1121
0101]
[01
00
01
10]
q1=B;
q2=A*B;
%将AB的结果放在q2中
q3=A^2*B;
%将A2B的结果放在q3中,
q4=A^3*B;
%将A3B的结果放在q4中,
Qc=[q1q2q3q4]%将能控矩阵Qc显示在MATLAB的窗口
Q=rank(Qc)%能控矩阵Qc的秩放在Q
Qc=
01052211287
000114416
01133121050
10101125
Q=
4
从程序运行结果可知,能控矩阵Qc的秩为4=n,所以系统是状态能控性的。
已知系数阵A和输入阵C分别如下,判断系统的状态能观性。
,
C=[1010];
q1=C;
q2=C*A;
%将CA的结果放在q2中
q3=C*A^2;
%将CA2的结果放在q3中,
q4=C*A^3;
%将CA3的结果放在q4中,
Qo=[q1;
q2;
q3;
q4]%将能观矩阵Qo显示在MATLAB的窗口
Q=rank(Qo)%能观矩阵Qo的秩放在Q
Qo=
1010
4141
166175
65287222
从程序运行结果可知,能控矩阵Qo的秩为4=n,由式(2-4)可知,系统是状态完全能观性的。
实验3应用MATLAB计算线性定常系统的矩阵指数
(状态转移矩阵)
实验原理说明
应用MATLAB符号数学工具箱求矩阵指数闭合解析式
基于矩阵指数的拉普拉斯变换求解法,可调用MATLAB符号数学工具箱(SymbolicMathToolbox)中的符号运算函数先算出“预解矩阵”,再对“预解矩阵”进行拉普拉斯反变换即求得
另外,MATLAB符号数学工具箱中有专用于计算矩阵指数的指令expm()可调用。
实验内容及结果
已知A=[41-2;
102;
1-13],应用MATLAB求
实验程序
解MATLABProgram2_1a给出了基于拉普拉斯变换求的MATLAB程序。
%MATLABProgram2_1a
symsst%定义基本符号变量s和t
A=[41-2;
1-13];
FS=inv(s*eye(3)-A);
%求预解矩阵
eAt=ilaplace(FS,s,t);
%求
eAt=simplify(eAt)%化简的表达式
程序MATLABProgram2_1a运行结果如下
eAt=
[(1+t)*exp(3*t),t*exp(3*t),-2*t*exp(3*t)]
[t*exp(3*t),-exp(3*t)+t*exp(3*t)+2*exp(t),-2*t*exp(3*t)-2*exp(t)+2*exp(3*t)]
[t*exp(3*t),t*exp(3*t)+exp(t)-exp(3*t),-exp(t)-2*t*exp(3*t)+2*exp(3*t)]
应用数值矩阵的指数运算函数expm()求对应于t=t1(为某一常数)的值
MATLABProgram2_2给出了调用expm()求题中矩阵A的矩阵指数t=t1=0.1对应于的值的MATLAB程序。
程序
%MATLABProgram2_2
T=0.1;
eAT=expm(A*T)
程序MATLABProgram2_2运行结果如下:
eAT=
1.48480.1350-0.2700
0.13500.99550.2194
0.1350-0.10971.3246
数值矩阵运算函数expm()也可以只进行符号计算,
%MATLABProgram2_2b
symst;
%定义符号变量t
eAT=expm(A*t)
程序MATLABProgram2_2b运行结果如下:
[exp(3*t)+t*exp(3*t),t*exp(3*t),-2*t*exp(3*t)]
[t*exp(3*t),t*exp(3*t)+exp(t)-exp(3*t),-exp(t)-2*t*exp(3*t)+2*exp(3*t)]
和程序MATLABProgram2_1a运行结果相同
实验4应用MATLAB求定常系统时间响应
设双输入双输出系统状态空间矩阵为
A=[-310;
0-30;
00-1],B=[1-1;
00;
20],C=[101;
-110],D=0;
且设u1(t)=1(t),u2(t)=1(t),系统初始状态为零。
1)分别求u1(t)、u2(t)单独作用下系统的输出响应;
2)求u1(t)、u2(t)共同作用下系统的输出响应。
解1)我们调用step()函数求u1(t)、u2(t)单独作用下系统输出响应曲线的程序
A=[-310;
00-1];
B=[1-1;
20];
C=[101;
-110];
D=0;
step(A,B,C,D)
grid
图像
u1(t)、u2(t)单独作用下系统输出响应
2)求u1(t)、u2(t)共同作用下系统输出响应的MATLAB程序
t=0:
0.01:
4;
%生成时间向量t
LT=length(t);
%求时间向量t的维数(长度)
u1=ones(1,LT);
u2=ones(1,LT);
%生成单位阶跃信号对应于向量t的离散序列,u1和u2均为与向量t同维的向量
u=[u1;
u2]'
;
%u1和u2的转置分别构成u的第1和第2列
lsim(A,B,C,D,u,t)
u1(t)、u2(t)共同作用下系统输出响应
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