河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题解析版Word格式.docx
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【详解】因为向量砺=(1,2),砺=(3,4),
则荏=而—况=(2,2).
6.函数/(x)=sin(7LY+2)的最小正周期是().
A.2兀B.兀C.2D.1
【分析】利用最小正周期的公式直接计算即可.
【详解】函数"
X)=sin(⑪+2)的最小正周期是丁=2=2.
7.在等比数列{q}中,q=-8,%=1,则该数列的公比1=().
11
A.2B.—2C.-D.——
22
【答案】D
【分析】根据题中条件,由等比数列的通项公式,即可求出结果.
【详解】因为在等比数列{q}中,[=-8,%=1,
D.
8.若两个单位向量晨B互相垂直,则。
+〃=().
A.-1B.72C.2D.6
【分析】先依题意确定M=M=lgB=o,再利用1+4=,(£
+”展开计算即可.
【详解】两个单位向量31互相垂直,故口卜M=1m4=o,则
a+b=J(++@=yja~+b^+2a-b=Jl+1+0=>
/2•故选:
9.下列函数中,在(O,+e)上是增函数的是().
A.y=e~xB.y=x5C.y=ln-D.y=smx
x
【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断各选项中的函数在区间(0,+。
)上的单调性,由此可得出合适的选项.
【详解】对于A选项,函数在(0,+。
)上是减函数;
对于B选项,函数了=炉在(0、+巧上是增函数:
对于C选项,函数y=hJ=-Inx在(0,+8)上是减函数;
X
对于D选项,函数y=sinx在(0,+8)上不单调.
10.如图,在正方体A5cO—A瓦GR中,E是CQ的中点,则异面直线AE是AR
所成角的余弦值等于().
【答案】c
【分析】以。
点为坐标原点,建立空间直角坐标系,分别求出两异面直线的方向向量,
利用向量夹角公式,即可求出结果.
【详解】以。
点为坐标原点,分别以D4,DC,所在直线为1轴,)'
轴,Z轴,
设正方体ABCD-的极长为2,
由题意,可得4(2,0,0),%(2,0,2),七(0,2,1),"
(0,0,2),
所以港二(-2,2,—1),丽=(-2,0,2),
因此cos<
A]E,A£
\>
=
“•丽_4-2
ADk04+4+Ix"
+46
所以异面直线是AD,所成角的余弦值等于叵.6
【点睛】方法点睛:
求空间角的常用方法:
(1)定义法,由异面直线所成角、线面角、二面角的定义,结合图形,作出所求空间角,再结合题中条件,解对应三角形,即可求出结果;
(2)向量法:
建立适当的空间直角坐标系,通过计算向量夹角(直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量,平面法向量与平面法向量)余弦值,即可求出结果.
11.已知4=logo5=,b=log、逐,C=lg2,则().
3~
A.a<
b<
cB.b<
c<
aC.c<
a<
bD.c<
a
【分析】将。
力,c与特殊值进行比较,即可求出的大小.
4=logo,53=l°
g!
3=log-3>
匕8?
2=1,
/?
=log2>
/2=ilog,2=1,
c=lg2<
lgl02=-,
即a>
/?
>
c.
12.经过坐标原点,且圆心坐标为(T,l)的圆的一般方程是().
A.x2+y2-2x-2y=0B.x2+y2-2x+2y=0
C.x2+y2+2x-2y=0D.x2+y2+2x+2y=0
【分析】根据题意,求出圆的半径,即可得圆的标准方程,变形可得其一般方程.
【详解】根据题意,圆的圆心为(-1,1),且过原点,
且其半径)•=J(_1)2+F=JJ,
则其标准方程为(X+1)2+(y-1)2=2,
变形可得其一般方程是%2++2x-2y=0,
13.已知函数/X=<
.,则//-=().
x-l,x>
0[\?
>
))
A.—B.--C.—D.--
2222
2(2A
【分析】根据函数的解析式求得/-再求——z即为所求.W5\5)
1\1
/w=--i=)3
【分析】利用/
(2)和x>
2时/(x)的符号,可排除错误选项得到结果.
【详解】•."
(2)=1111=0,••.排除BD;
当x>
2时,0<
—!
—<
1,.•./(x)=ln—!
0,排除C.x-1x-l
15.某班从包括2名男生和2名女生的4名候选人中随机选2人加入校学生会,女生均被选中的概率是().
【分析】列举出所有可能的情况,根据古典概型概率公式计算可得结果.
【详解】记2名男生为A8,2名女生为X,〉'
,
挑选2人加入校学生会有(46),(Ax),(Ay),(5,x),(仇y),(x,y),情况;
其中2名女生均被选中的情况仅有(x,y),
•••2名女生均被选中的概率〃=」.6
16.若实数X,y满足丁+4/=1,则肛的最大值是(
【分析】根据题中条件,利用基本不等式,可直接求出结果.
【详解】因为实数X,)‘满足/+4);
=1,为使冲取得最大值,必有X,y同号,
X=
因为丁+4丁=122尸才=44,,当且仅当x=2y,即<)?
号成立,
所以外工;
因此的最大值为1.
44
【点睛】易错点睛:
利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)“一正二定三相等皿一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;
要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
17
.假期中某校50名骨干教师参加社区志愿者活动的次数如图所示,则这50名骨干教师参加社区志愿者活动的人均次数是().
参加人数
A.1.8B.2C.3」D.3
【分析】根据题中条件,确定这50名骨干教师参加社区志愿者活动的总次数,进而可求出平均值.
【详解】由题意可得,这50名骨干教师参加社区志愿者活动的总次数为
10x2+25x3+15x4=155,
■LL
因此这50名骨干教师参加社区志愿者活动的人均次数是二=3.1.
50
18.已知直线〃,,〃和平面。
,则下列命题中正确的是().
A.如果机_La,〃_La,那么加
B.如果mnila,那么〃“/〃
C.如果小〃a,nila»
那么〃7//〃
D.如果机_La,nila,那么〃?
_L〃
【分析】根据空间中线线、线面位置关系,逐项判定,即可得出结果.
【详解】若〃7_La,〃_La,根据线面垂直的性质:
垂直于同一个平面的两条直线相互平行,可得A错;
若mJLa,nila,则存在n<
za,使得n/M,因此〃?
J_n,所以mJ_〃,故B错;
D正确:
若m//a,Mia,则“与〃可能平行、相交或异面,故C错;
故选:
19.如图所示,N分别是6c的边A5,AC上的点,且赤=2耐,
20
1—?
—
c.-AC--AB
33
NC=2AN.则向量=().
1—,?
B.-AB+-AC
1—?
D.-AC+-AB
【分析】根据平面向量基本定理,由平面向量的线性运算,利用题中条件直接计算,即可得出结果.
【详解】因为函7=2砺,NC=2AN
所以砺=丽—国7=」薪—2而.
eg
•tail2450-tail215°
A.®
B.立
23
【分析】化简、拼凑,利用二倍角公式的逆应用计算即可.
[详解]一、tanl_=£
x^tanl^=£
tan3()o=2/3tan2450-tairl5°
21-tan215026
21.如果某正方体的八个顶点都在同一个半径为1的球面上,那么该正方体的体积是().
8&
.~9~
【分析】根据正方体外接球的直径等于体对角线的长,由题中条件,求出正方体的棱长,进而可求出正方体的体积.
因为正方体的八个顶点都在同一个半径为1的球面上,所以该球是正方体的外接球,记该正方体为A5C。
-a4c;
r,其外接球为球。
又因为正方体外接球的直径等于体对角线的长,
设该正方体A5CQ—AdGR的棱长为。
,则体对角线的长为
BQ=yjer+a2+cr=2x1,
解得〃=毡,所以该正方体的体枳为v=/=}叵.39
故选:
22.△A6C的内角A,B,C的对边分别为。
,b,若。
4=60。
,则。
=().
A.2smeB.2sin8C.73sinCD.小smB
【分析】根据正弦定理,由题中条件,可直接得出结果.
【详解】因为在△A6C中,a=5A=60°
由正弦定理可得:
一二=一J,即&
—二」一,
sinAsmCSin60°
sinC
所以c=2sinC.
23.若圆锥的底面半径和高都等于球的半径,则圆锥的体积与球的体积之比是().
【分析】设球的半径为r,根据题中条件,由圆锥和球的体枳公式,分别求出体积,即可得出结果.
4
【详解】设球的半径为广,则该球的体积为匕=§
笈
又圆锥的底面半径和高都等于球的半径,
所以该圆锥的体积为K=(兀/"
=1万〃,
■33
匕
因此圆锥的体积与球的体积之比是y=
【分析】先化简函数,再求〃x)=0的根即得结果.
【详解】依题意,令/(xbsni7cosz+cos^sin:
usin7十7=0得,2626\26;
—+—=k7r.kgZ,解得工=2女兀一四,keZ.
263
25.已知函数〃x)是定义在R上的奇函数,当xNO时,/(x)=log2(x+l),则不等式的解集是().
A.[-3,3]B.[―4、4]
C.(-00,-3]U[3,-Ko)D.(-oo,-4]u[4,+co)
【分析】根据X>
0的解析式,可得/(M在[0,+8)上单调递增,进而判断出了(X)在
R上单调递增,并求出/(3)=2,/(-3)=-2,再根据函数的单调性即可求解不等式.
•.•xNO时,/(x)=log2(x+l),
.•J(x)在[0.+8)上单调递增,
又・・・/(x)是定义在R上的奇函数,
•・J(x)在R上单调递增,
易知/(3)=log2(3+l)=log24=2,/(-3)=-/(3)=-2,
由|/(x)|<
2,
解得:
-2<
/(x)<
由/(x)在H上单调递增,
-3Wx<
3,.•.|/(刈02的解集是[-3,3].
【点睛】关健点点睛:
本题考杳的核心是利用函数的单调性解不等式,解题的关健是利用函数的奇偶性判断出函数的单调性,
26.如图,直四棱柱A6CQ—Aa的底面A68是正方形,且44=245=2,
E,尸分别为4A,CQ的中点,则下列结论正确的是().
G
A.平面截此四楼柱所得截面是菱形,且截面面积为遍
B.平面EF5截此四棱柱所得裁面是矩形,且截面面积为2退
C.直线6。
与平面所成角的正弦值是正
3
D.直线5。
与平面石尸8所成角的余弦值是且
【分析】作出截面并求出截面面枳即可判断A、B:
利用空间向量法求线面角可判断C、D.
【详解】连接。
E、DJ,
则RE//BF,DF//BE,即8,旦。
"
四点共面,
所以平面EF5截此四棱柱所得截面是菱形,
连接6R,则或座”=2•所•82=gxJJxJT^=JL故A、B不正确;
AB
以。
为坐标原点,。
4。
。
,。
2所在的直线为工,)'
,2轴建立空间直角坐标系,
则5(1,1,0),0(0,0,0),£
0,1),尸(0,1」),丽=0,1,0),BE=(0-1,1),BF=(-1,0,1),
设平面EFB的一个法向量为n=(x,y,z),
BEn=0
一,即4
BFn=0
_y+Z=O
,令z=l,则x=l,y=l,
-x+z=0
设直线8。
与平面耳8所成角为8,0<
6>
<
y
一「6万|2J6
所以sing=cosDBm=i,=-,=-/==—,
\DB^n\yj2xyj33
D
27.关于函数/("
=(1-51口力(1+5111刈+285.丫,]£
[一兀,可,有以下四个结论:
①/(X)是偶函数
②“X)在[-兀⑼是增函数,在似兀]是减函数
③/(九)有且仅有1个零点
④/(元)的最小值是-1,最大值是3
其中正确结论的个数是().
A.1B.2C.3D.4
【分析】先化简函数得/(x)=(cosx+l『—l,再利用奇偶性定义和换元法研究及合函数单调性、零点及最值对选项逐一判断即可.
【详解】函数
f(x)=(l-sina)(1+siiix)+2cosx=cos2x+2cosx=(cosa+1)--1,
f(-x)=cos2(-x)+2cos(-x)=cos2x+2cosx=/(x),故是偶函数,①正
确;
令f=cosx在[—兀,0]是增函数,在[0,兀]是减函数,),=/«
)=产+2/=。
+1『一1在上递增,根据复合函数单调性可知"
X)在[—兀,0]是增函数,在[0,可是减
函数,②正确:
y=/(r)=(r+l)2-l,re[-1,1],则f=—1时,最小值为-i,/=1时,最大值为3,
④正确:
令=+-1=0得/=0或1=一2(舍去),即/=(:
05%=0,则
x=^+2k^keZ),/(x)有无数个零点,故③错误.所以有3个正确结论.
乙
【点睛】本题的解题关键是借助换元法进行转化,将三角函数问题转化成二次函数的单调性、零点及最值问题.
28.为了解全年级1180名学生的数学成绩分布情况,在一次数学调研测试后,某教师随机抽取了80份试卷并对试卷得分(满分:
150分)进行了整理,得到如下频率分布表:
分
数
段
[60,70
)[70,80
)[80,90
)[90,10(
)[100,11(
))[110,12(
1)[120,13(
)[130,14(
))[140,150]
频
8
10
15
6
率
0.025
0.050
0.100
0.125
0.250
0.200
0.075
若规定及格分数是90分,则全年级此次数学测试及格率的估计值是().
A.70%B.72.5%C.80%D.82.5%
【分析】根据频率分布表,直接求出分数大于等于90分对应的频率,即可得出结果.
【详解】由频率分布表可得,分数大于等于90分对应的频率为
0.125+0.250+0200+0.100+0.075+0.075=0.825,
则全年级此次数学测试及格率的估计值是82.5%.
29.为了解全年级1180名学生的数学成绩分布情况,在一次数学调研测试后,某教师随机抽取了80份试卷并对试卷得分(满分:
150分)进行了整理,得到如下频率分布表:
))[120,13(
))[130,14(
))[140,15(
16
此次数学测试全年级学生得分的中位数的估计值是().
A.108B.108.5C.109D.109.5
【分析】根据频率分布表,由中位数的概念,可直接得出结果.
【详解】中位数两边的频率之和相等,都等于0.5,
因为0.025+0.050+0.100+0.125=0.300,
又[100,110)对应的频率为0.250,
02所以此次数学测试全年级学生得分的中位数的估计值是100+10xk=l°
8.
0.23
30.为了解全年级1180名学生的数学成绩分布情况,在一次数学调研测试后,某教师
随机抽取了80份试卷并对试卷得分(满分:
若同一组数据用该区间的中点值作代表,则此次数学测试全年级平均分的估计值是().
A.110B.108.5C.105D.102.5
【分析】根据频率分布表,由每组的中点值乘以该组的频率再求和,即可得出结果.
【详解】由题意可得,此次数学测试全年级平均分的估计值是
65x0.025+75x0.050+85x0.100+95x0.125+105x0.250+115x0.200
+125x0」00+135x0.075+145x0.075=108.5.
二、解答题
31.已知函数/(x)=V+2x,g(x)=2ax+4<
/.
(I)解不等式/(x)Ng(x);
(n)用max{〃M}表示P,4中的较大值,当。
0时,求函数
H(x)=max{/(x),g(x)}的最小值.
【答案】
(I)答案见解析;
(II)最小值为0.
【分析】
(【)先化不等式为(x+2)(x—2。
)之0,分别讨论a<
T,。
=-1,a>
-l三种情况,即可得出结果;
/、[x2+2x,xg(-co,-2]<
j[2a,+oo)
(ID根据题中条件,得到"
(x)=<
a/c,根据二次函数
2ax+4a,xe(-2,2a)
以及分段函数性质,即可求出最值.
【详解】
(I)由/(x)Ng(x),得/+(2—2。
)工一4。
之0,
即(x+2)(x—2a)20.
当av-1时,解不等式可得:
.W2«
或x之一2;
当a=—1时,不等式可化为(x+2『N0,显然恒成立,所以解集为R;
当。
一1时,解不等式可得:
xW—2或xN2a;
综上,当”一1时,不等式的解集为(一8,2可。
[—2,+8):
=—1时,不等式的解集为R;
—1时,不等式的解集为(一8,—2]d[2<
7,+8).
当xW—2或x之2a时,"
(x)=f+2x是开口向上的二次函数,且对称轴为x=-l,所以"
(x)=W+2x在(口,一2]上单调递减,在[2a.+s)上单调递增,
又“(—2)=0,//(2(7)=4«
2+4«
=46/(^+1)>
0,
所以"
(x).=0;
当一2cx<
2。
时,H(x)=2av+4«
=2«
(x+2)>
0.
综上,”(x)的最小值为0.
【点睛】思路点睛:
求解含参数一元二次不等式时,一般需要先讨论二次项系数是否为零,当二次项系数为零时,转化为一元一次不等式求解;
当二次项系数不为零时,求出不等式对应的方程的根,比较两根的大小,确定参数的不同范闱,进而即可求解.
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