合情推理与演绎推理提高课时训练.docx
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合情推理与演绎推理提高课时训练
合情推理与演绎推理
【学习目标】
1.理解合情推理的含义,能利用归纳和类比进行推理,做出猜想。
2.理解演绎推理的含义,掌握演绎推理的基本模式,能利用“三段论”进行简单的推理.
【要点梳理】
要点一、推理的概念及分类
1.推理的概念:
根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫做推理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫做结论.
要点诠释:
(1)任何推理都是由前提和结论两部分组成,前提是推理所依据的命题,它告诉我们已知的知识是什么,推理的前提可以是一个,也可以是几个.结论是根据前提推得的命题,它告诉我们推出的知识是什么.
(2)推理也可以看做是用连结词将前提和结论逻辑的连结,常用的连结词有:
“因为……,所以……”“根据……,可知……”“如果……,那么……”等.
2.推理的分类:
(1)合情推理:
根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等,经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。
其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。
归纳推理是由特殊到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理.
合情推理的推理过程
要点诠释:
由合情推理的过程可以看出,合情推理的结论往往超越了前提所包含的范围,带有猜想的成分,因此推理所得的结论未必正确,但是,合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用.
(2)演绎推理:
从一般性的原理出发,按照严格的逻辑法则,推出某个特殊情况下的结论的推理,叫做演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理.
要点二、归纳推理
1.定义:
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳)。
2.归纳推理的特点
(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理;
(2)归纳推理的前提是部分的、个别的事实,因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然的,而是或然的,所以“前提真而结论假”的情况有可能发生的(如教科书所述的“费马猜想”);
(3)人们在进行归纳推理的时候,总是先搜集一定的事实材料,有了个别性的、特殊性的事实作为前提,然后才能进行归纳推理,因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行;
(4)归纳推理能够发现新事实、获得新结论,是做出科学发现的重要手段.
要点诠释:
归纳推理的结论可真可假
归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始,提出有规律性的猜想;一般地,归纳的个别情况越多,就越具有代表性,推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实,因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然的,而是或然的,所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.
3.运用归纳推理时的一般步骤
(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律);
(2)把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想);
(3)对所得出的一般性命题进行检验.在数学上,检验的标准是能否进行严格的证明.
(2)一般模式:
部分整体,个体一般
(3)一般步骤:
①通过观察个别情况发现某些相同性质;
②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题;
③检验猜想.
4.完全归纳法和不完全归纳法
(1)完全归纳法:
通过对某类事物中的每一个对象或每一子类的考察,从中概括出关于此类事物的一般性结论的推理.由于完全归纳法考察了某类事物的全部情况,因而由正确的前提必然能得到正确的结论,所以完全归纳法可以作为数学严格证明的工具,在数学解题中有着广泛的应用.
(2)不完全归纳法:
通过对某类事物的一部分对象或一部分子类的考察,从中概括出关于该类事物的一般性结论的推理.由于不完全归纳法是对某类事物中的某一部分对象进行考察,因此,前提和结论之间未必有必然的联系,由不完全归纳法得到的结论,结论不一定正确,结论的正确与否,还需要经过严格的逻辑论证和实践检验.
要点三、类比推理
1.定义:
类比推理(以下简称类比)是在两类不同的事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式.
2.类比推理的几个特点
(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中,推测正在研究中的事物的属性,它以旧有认识作基础,类比出新的结果;
(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;
(3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却具有发现的功能.
3.运用类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性.
(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).
(3)检验猜想.
要点诠释:
(1)如果类比的两类事物的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠.
(2)事物之间的各个性质之间,并不是孤立存在的,而是相互联系的,相互制约的,如果两个事物在性质上相同或类似,那么它们在另一些性质上也可能相同或类似.因而类比的结论可能是真的,类比也可能具有必然性.
(3)类比的结论具有偶然性,即可能真,也可能假.
要点四、演绎推理
(1)定义:
从一般性的原理出发,按照严格的逻辑法则,推出某个特殊情况下的结论的推理,叫做演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.
(2)一般模式:
“三段论”是演绎推理的一般模式,常用的一种格式:
①大前提——已知的一般原理;
②小前提——所研究的特殊情况;
③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的结论.
要点诠释:
①如果一个推理规则能用符号表示为“如果ab,bc,则ac”,那么这种推理规则叫做三段论推理.
②三段论推理包含了三个命题,第一个命题称为大前提,它提供了一个一般性的原理;第二个命题称为小前提,它指出了一个特殊对象,两者结合起来,揭示了一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到第三个命题——结论.
(3)用集合的观点理解“三段论”
若集合的所有元素都具有性质,是的子集,那么中所有元素都具有性质.
要点诠释:
演绎推理的结论一定正确
演绎推理是一个必然性的推理,因而只要大前提、小前提及推理形式正确,那么结论一定是正确的,它是完全可靠的推理。
要点五、合情推理与演绎推理的区别与联系
(1)从推理模式看:
①归纳推理是由特殊到一般的推理.
②类比推理是由特殊到特殊的推理.
③演绎推理是由一般到特殊的推理.
(2)从推理的结论看:
①合情推理所得的结论不一定正确,有待证明。
②演绎推理所得的结论一定正确。
(3)总体来说,从推理的形式和推理的正确性上讲,二者有差异;从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑,它们又是紧密联系,相辅相成的。
合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的;演绎推理可以验证合情推理的正确性,合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.
要点诠释:
注意:
在数学中,证明命题的正确性,都是用演绎推理,合情推理不能用作证明.
【典型例题】
类型一、归纳推理
例1.用推理的形式表示数列的前项和的归纳过程.
【思路点拨】依题意,表示数列的前项和,即.为此,我们先根据该公式,算出数列的前几项,通过观察进一步归纳得出与的对应关系式.
【解析】对数列的前项和分别进行计算:
,
,
,
,
.
观察可得,数列{Sn}的前五项都等于1到相应序号的自然数之和的平方,
由此猜想数列的前项和.
【总结升华】】①本题是由部分到整体的推理,先把部分的情况都写出来,然后寻找规律,概括出整体的情况,是典型的归纳推理.
②归纳常常从观察开始,观察、实验、对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的猜想,是数学研究的基本方法之一.
③归纳猜想是一种重要的思维方法,但结果的正确性还需进一步证明.在归纳猜想数列的前项和公式时,要认真观察数列中各项数字间的规律,分析每一项与对应的项数之间的关系.
④虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的,但它所具有的由特殊到一般,由具体到抽象的认知功能,对于数学的发现却是十分有用的.
举一反三:
【变式1】(2014秋台州期末)在数列{an}中,满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=a,a2=b,设Sn=a1+a2+…+an,则合情推理推出a100=________,S100=________。
【答案】由an+1=an―an―1(n≥2),得
an+6=an+5―an+4=an+4―an+3―an+4=―an+3=―(an+2―an+1)=―(an+1―an―an+1)=an,
所以6为数列{an}的周期,
又a3=a2―a1=b―a,a4=a3―a2=―a,a5=a4―a3=―b,a5=a5―a4=a―b,
所以a100=a96+4=a4=―a,
S100=16(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+a1+a2+a3+a4=16×0+a+b+b―a―a=2b―a,
故答案为:
―a,2b-a。
【变式2】用推理的形式表示等差数列1,3,5,…,(2-1),…的前项和的归纳过程.
【答案】对等差数列1,3,5,…,(2-1),…的前1,2,3,4,5,6项的和分别进行计算:
;
;
;
;
;
;
观察可得,前项和等于序号的平方,由此可猜想.
【变式3】
各项均为正数的数列{an},a1=a,a2=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q都有。
当,时,求通项公式an。
【解析】由
得。
将,代入化简得
∴当n=3时,。
当n=4时,。
∴由此归纳出。
(n∈N*)
(归纳猜想出的结论应予以严格证明才可,此处证明略.)
例2.(2014春高要市校级月考)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图。
其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数。
(1)试给出f(4),f(5)的值;
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式;
(3)证明:
。
【答案】
(1)61
(2)f(n)=3n2-3n+1(3)略
【思路点拨】
(1)根据图象的规律可得f(4)和f(5)的值。
(2)根据相邻两项的差的规律可分析出f(n+1)-f(n)=6n,进而根据合并求和的方法求得f(n)的表达式;
(3)根据
(2)中求得的f(n)可得的表达式,进而利用裂项的方法证明原式。
【解析】
(1)f(4)=37,f(5)=61。
(2)由于f
(2)―f
(1)=7―1=6,
f(3)―f
(2)=19―7=2×6,
f(4)―f(3)=37―19=3×6,
f(5)―f(4)=61―37=4×6,
因此,有f(n+1)―f(n)=6n,
所以f(n)=[f(n)―f(n―1)]+[f(n―1)―f(n―2)]+…+[f
(2)―f
(1)]+f
(1)
=6[(n―1)+(n―2)+…+2+1]+1=3n2―3n+1。
又f
(1)=1=3×12-3×1+1,所以f(n)=3n2-3n+1。
(3)证明:
当k≥2时,
所以
。
【总结升华】本题主要考查了数列的求和问题,数列的求和是数列的重要内容之一,除等差数列和等比数列外,大部分的数列求和都需要一定的技巧,如裂项法、倒序相加,错位相减,分组求和解。
举一反三:
【变式1】根据给出的数塔猜测123456×9+7等于
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