数字信号处理实验matlab版用双线性变换法设计IIR数字滤波器.docx
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数字信号处理实验matlab版用双线性变换法设计IIR数字滤波器
实验21用双线性变换法设计IIR数字滤波器
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XXXX学号姓名处XXXX
一、实验目的
1.加深对双线性变换法设计IIR数字滤波器基本方法的了解。
2.掌握用双线性变换法设计数字低通、高通、带通、带阻滤波器的方法。
3.了解MATLAB有关双线性变换法的子函数。
二、实验内容
1.双线性变换法的基本知识。
2.用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器。
3.用双线性变换法设计IIR数字高通滤波器。
4.用双线性变换法设计IIR数字带通滤波器。
5.用双线性变换法设计IIR数字带阻滤波器。
三、实验环境
MATLAB7.0
四、实验原理
1.实验涉及的MATLAB子函数
Bilinear
功能:
双线性变换——将s域(模拟域)映射到z域(数字域)的标准方法,将模拟滤波器变换成离散等效滤波器。
调用格式:
[numd,dend]=bilinear(num,den,Fs);将模拟域传递函数变换为数字域传递函数,Fs为取样频率。
[numd,dend]=bilinear(num,den,Fs,Fp);将模拟域传递函数变换为数字域传递函数,Fs为取样频率,Fp为通带截止频率。
[zd,pd,kd]=bilinear(z,p,k,Fs);将模拟域零极点增益系数变换到数字域,Fs为取样频率。
[zd,pd,kd]=bilinear(z,p,k,Fs,Fp);将模拟域零极点增益系数变换到数字域,Fs为取样频率,Fp为通带截止频率。
[Ad,Bd,Cd,Dd]=bilinear(A,B,C,D,Fs);将模拟域状态变量系数变换到数字域,Fs为取样频率。
2.双线性变换法的基本知识
双线性变换法是将整个s平面映射到整个z平面,其映射关系为
或
双线性变换法克服了脉冲响应不变法从s平面到z平面的多值映射的缺点,消除了频谱混叠现象。
但其在变换过程中产生了非线性的畸变,在设计IIR数字滤波器的过程中需要进行一定的预修正。
用MATLAB双线性变换法进行IIR数字滤波器设计的步骤(参见图19-1)与脉冲响应不变法设计的步骤基本相同:
(1)输入给定的数字滤波器设计指标;
(2)根据公式W=2[]Ttan[JB((]w[]2[JB))]进行预修正,将数字滤波器指标转换成模拟滤波器设计指标;
(3)确定模拟滤波器的最小阶数和截止频率;
(4)计算模拟低通原型滤波器的系统传递函数;
(5)利用模拟域频率变换法,求解实际模拟滤波器的系统传递函数;
(6)用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器。
3.用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器
例21-1采用双线性变换法设计一个巴特沃斯数字低通滤波器,要求:
wp=0.25p,Rp=1dB;ws=0.4p,As=15dB,滤波器采样频率Fs=100Hz。
解程序如下:
wp=0.25*pi;
ws=0.4*pi;
Rp=1;As=15;
ripple=10^(-Rp/20);Attn=10^(-As/20);
Fs=100;T=1/Fs;
Omgp=(2/T)*tan(wp/2);
Omgs=(2/T)*tan(ws/2);
[n,Omgc]=buttord(Omgp,Omgs,Rp,As,'s');
[z0,p0,k0]=buttap(n);
ba=k0*real(poly(z0));
aa=real(poly(p0));
[ba1,aa1]=lp2lp(ba,aa,Omgc);
%注意,以上4行求滤波器系数ba1、aa1的程序,可由下一条程序替代
%[ba1,aa1]=butter(n,Omgc,'s');
[bd,ad]=bilinear(ba1,aa1,Fs)
[sos,g]=tf2sos(bd,ad)
[H,w]=freqz(bd,ad);
dbH=20*log10((abs(H)+eps)/max(abs(H)));
subplot(2,2,1),plot(w/pi,abs(H));
ylabel('|H|');title('幅度响应');axis([0,1,0,1.1]);
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,0.25,0.4,1]);
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[0,Attn,ripple,1]);grid
subplot(2,2,2),plot(w/pi,angle(H)/pi);
ylabel('\phi');title('相位响应');axis([0,1,-1,1]);
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,0.25,0.4,1]);
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-1,0,1]);grid
subplot(2,2,3),plot(w/pi,dbH);title('幅度响应(dB)');
ylabel('dB');xlabel('频率(\pi)');axis([0,1,-40,5]);
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,0.25,0.4,1]);
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-50,-15,-1,0]);grid
subplot(2,2,4),zplane(bd,ad);
axis([-1.1,1.1,-1.1,1.1]);title('零极图');
程序运行结果如下:
n=5
Omgc=103.2016
bd=0.00720.03620.07250.07250.03620.0072
ad=1.0000-1.94341.9680-1.07020.3166-0.0392
sos=1.00001.003601.0000-0.31930
1.00002.00221.00221.0000-0.69840.2053
1.00001.99420.99421.0000-0.92570.5976
g=0.0072
频率特性如图21-1所示。
图21-1用双线性变换法设计的巴特沃斯数字低通滤波器特性
由频率特性曲线可知,该设计结果在通阻带截止频率处能满足Rp≤1dB、As≥15dB的设计指标要求,系统的极点全部在单位圆内,是一个稳定的系统。
由n=5可知,设计的巴特沃斯数字低通滤波器是一个5阶的系统,原型Ha(s)在s=-∞处有5个零点,映射到z=-1处。
这个巴特沃斯数字低通滤波器的级联型传递函数应为
4.用双线性变换法设计IIR数字高通滤波器
例21-2采用双线性变换法设计一个椭圆数字高通滤波器,要求通带fp=250Hz,Rp=1dB;阻带fs=150Hz,As=20dB,滤波器采样频率Fs=1000Hz。
解程序如下:
fs=150;fp=250;Fs=1000;T=1/Fs;
wp=fp/Fs*2*pi;
ws=fs/Fs*2*pi;
Rp=1;As=20;
ripple=10^(-Rp/20);
Attn=10^(-As/20);
Omgp=(2/T)*tan(wp/2);
Omgs=(2/T)*tan(ws/2);
[n,Omgc]=ellipord(Omgp,Omgs,Rp,As,'s')
[z0,p0,k0]=ellipap(n,Rp,As);
ba=k0*real(poly(z0));
aa=real(poly(p0));
[ba1,aa1]=lp2hp(ba,aa,Omgc);
[bd,ad]=bilinear(ba1,aa1,Fs)
[H,w]=freqz(bd,ad);
dbH=20*log10((abs(H)+eps)/max(abs(H)));
subplot(2,2,1),plot(w/2/pi*Fs,abs(H),'k');
ylabel('|H|');title('幅度响应');axis([0,Fs/2,0,1.1]);
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,fs,fp,Fs/2]);
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[0,Attn,ripple,1]);grid
subplot(2,2,2),plot(w/2/pi*Fs,angle(H)/pi*180,'k');
ylabel('\phi');title('相位响应');axis([0,Fs/2,-180,180]);
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,fs,fp,Fs/2]);
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-180,0,180]);grid
subplot(2,2,3),plot(w/2/pi*Fs,dbH);
title('幅度响应(dB)');axis([0,Fs/2,-40,5]);
ylabel('dB');xlabel('频率(\pi)');
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,fs,fp,Fs/2]);
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-50,-20,-1,0]);grid
subplot(2,2,4),zplane(bd,ad);
axis([-1.1,1.1,-1.1,1.1]);title('零极图');
运行结果如下:
n=3
Omgc=2.0000e+003
bd=0.2545-0.43220.4322-0.2545
ad=1.00000.18900.71970.1574
频率特性如图21-2所示。
图21-2用双线性变换法设计椭圆高通数字滤波器
由频率特性曲线可知,该设计结果在通阻带截止频率处能满足Rp≤1dB、As≥20dB的设计指标要求。
由n=3可知,设计的椭圆数字高通滤波器是一个3阶的系统,极点全部在Z平面的单位圆内,是一个稳定的系统。
这个高通滤波器的传递函数应为
5.用双线性变换法设计IIR数字带通滤波器
例21-3采用双线性变换法设计一个切比雪夫Ⅰ型数字带通滤波器,要求:
通带wp1=0.3p,wp2=0.7p,Rp=1dB;阻带ws1=0.2p,ws2=0.8p,As=20dB,滤波器采样周期Ts=0.001s。
解程序如下:
wp1=0.3*pi;wp2=0.7*pi;
ws1=0.2*pi;ws2=0.8*pi;
Rp=1;As=20;
T=0.001;Fs=1/T;
Omgp1=(2/T)*tan(wp1/2);Omgp2=(2/T)*tan(wp2/2);
Omgp=[Omgp1,Omgp2];
Omgs1=(2/T)*tan(ws1/2);Omgs2=(2/T)*tan(ws2/2);
Omgs=[Omgs1,Omgs2];
bw=Omgp2-Omgp1;w0=sqrt(Omgp1*Omgp2);
[n,Omgn]=cheb1ord(Omgp,Omgs,Rp,As,'s')
[z0,p0,k0]=cheb1ap(n,Rp);
ba1=k0*real(poly(z0));
aa1=real(poly(p0));
[ba,aa]=lp2bp(ba1,aa1,w0,bw);
[bd,ad]=bilinear(ba,aa,Fs)
[H,w]=freqz(bd,ad);
dbH=20*log10((abs(H)+eps)/max(abs(H)));
subplot(2,2,1),plot(w/2/pi*Fs,abs(H),'k');
ylabel('|H|');title('幅度响应');axis([0,Fs/2,0,1.1]);
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,fs,fp,Fs/2]);
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[0,Attn,ripple,1]);grid
subplot(2,2,2),plot(w/2/pi*Fs,angle(H)/pi*180,'k');
ylabel('\phi');title('相位响应');axis([0,Fs/2,-180,180]);
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,fs,fp,Fs/2]);
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-180,0,180]);grid
subplot(2,2,3),plot(w/2/pi*Fs,dbH);
title('幅度响应(dB)');axis([0,Fs/2,-40,5]);
ylabel('dB');xlabel('频率(\pi)');
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,fs,fp,Fs/2]);
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-50,-20,-1,0]);grid
subplot(2,2,4),zplane(bd,ad);
axis([-1.1,1.1,-1.1,1.1]);title('零极图');
程序运行结果如下:
n=3
Omgn=1.0e+003*1.01913.9252
bd=0.07360.0000-0.22080.00000.2208-0.0000-0.0736
ad=1.00000.00000.97610.00000.85680.00000.2919
频率特性及零极点图形如图21-3所示。
图21-3用双线性变换法设计切比雪夫Ⅰ型带通数字滤波器
由频率特性曲线可知,该设计结果在通阻带截止频率处能满足Rp≤1dB、As≥20dB的设计指标要求。
由n=3可知,由3阶的模拟低通原型用双线性变换法设计出来的切比雪夫Ⅰ型数字带通滤波器是一个6阶的系统,极点全部在Z平面的单位圆内,是一个稳定的系统。
这个滤波器的传递函数应为
注意:
在使用[z0,p0,k0]=cheb1ap(n,Rp)设计模拟低通原型时,需要输入通带衰减Rp,即切比雪夫Ⅰ型模拟低通原型是以通带衰减Rp为主要设计指标的。
因此,由模拟低通原型变为数字带通(或带阻)滤波器时,使用lp2bp(或lp2bs)语句要求输入模拟通带带宽W0和中心频率BW,应采用通带截止频率来计算,即
bw=Omgp2-Omgp1;w0=sqrt(Omgp1*Omgp2);%[ZK(]模拟滤波器通带带
宽和中心频率
如果将例21-3改为:
采用双线性变换法设计一个切比雪夫Ⅱ型数字带通滤波器,其它条件不变,则需要修改下面几句程序:
bw=Omgs2-Omgs1;w0=sqrt(Omgs1*Omgs2);%[ZK(]模拟滤波器阻带带
宽和中心频率
[n,Omgn]=cheb2ord(Omgp,Omgs,Rp,As,'s')%计算阶数n和截止频率
[z0,p0,k0]=cheb2ap(n,As);%设计归一化的模拟原型滤波器
采用阻带截止频率来计算W0和BW,是因为切比雪夫Ⅱ型模拟低通原型是以阻带衰减As为主要设计指标的。
程序运行结果如下:
n=3
Omgn=1.0e+003*
1.66416.0234
bd=0.25370.0000-0.47330.00000.47330.0000-0.2537
ad=1.0000-0.00000.00080.00000.4206-0.0000-0.0343
频率特性及零极点图形如图21-4所示。
图21-4用双线性变换法设计切比雪夫Ⅱ型带通数字滤波器
由程序数据和曲线可知,该设计结果在通阻带截止频率处能满足Rp≤1dB、As≥20dB的设计指标要求。
由n=3可知,由3阶的模拟低通原型用双线性变换法设计出来的切比雪夫Ⅱ型数字带通滤波器是一个6阶的系统,极点全部在z平面的单位圆内,是一个稳定的系统。
这个滤波器的传递函数应为
6.用双线性变换法设计IIR数字带阻滤波器
例21-4采用双线性变换法设计一个切比雪夫Ⅰ型数字带阻滤波器,要求:
下通带wp1=0.2p,上通带wp2=0.8p,Rp=1dB;阻带下限ws1=0.3p,阻带上限ws2=0.7p,As=20dB,滤波器采样频率Fs=1000Hz。
解由题目可知,本例只是将例21-3的条件改为相反,即将原带通滤波器通带的频率区域改为带阻滤波器阻带的频率区域,将原带通滤波器阻带的频率区域改为带阻滤波器通带的频率区域。
程序只需作5句修改:
ws1=0.3*pi;ws2=0.7*pi;
wp1=0.2*pi;wp2=0.8*pi;
[ba,aa]=lp2bs(ba1,aa1,w0,bw);
程序运行结果如下:
n=3
Omgn=1.0e+003*
0.64986.1554
bd=0.0736-0.00000.22080.00000.2208-0.00000.0736
ad=1.00000.0000-0.9761-0.00000.85680.0000-0.2919
频率特性及零极点图形如图21-5所示。
图21-5用双线性变换法设计切比雪夫Ⅰ型带阻数字滤波器
由程序数据和曲线可知,该设计结果在通阻带截止频率处能满足Rp≤1dB、As≥20dB的设计指标要求。
由3阶的模拟低通原型用双线性变换法设计出来的切比雪夫Ⅰ型数字带阻滤波器是一个6阶的系统,极点全部在z平面的单位圆内,是一个稳定的系统。
这个滤波器的传递函数应为
如果将例21-4改为:
采用双线性变换法设计一个切比雪夫Ⅱ型数字带阻滤波器,其它条件不变,则在上面程序的基础上与例21-3一样,修改下面几句程序:
bw=Omgs2-Omgs1;w0=sqrt(Omgs1*Omgs2);%[ZK(]模拟滤波器阻带带宽
和中心频率
[n,Omgn]=cheb2ord(Omgp,Omgs,Rp,As,'s')[KG*2]%计算阶数n和截止
频率
[z0,p0,k0]=cheb2ap(n,As);%设计归一化的模拟原型滤波器
程序运行结果如下:
n=3
Omgn=10.029339.8833
bd=0.25370.00000.4733-0.00000.47330.00000.2537
ad=1.0000-0.0000-0.0008-0.00000.4206-0.00000.0343
频率特性及零极点图形如图21-6所示。
图21-6用双线性变换法设计切比雪夫Ⅱ型带阻数字滤波器
由程序数据和曲线可知,该设计结果在通阻带截止频率处能满足Rp≤1dB、As≥20dB的设计指标要求。
由3阶的模拟低通原型用双线性变换法设计出来的切比雪夫Ⅱ型数字带阻滤波器是一个6阶的系统,极点全部在z平面的单位圆内,是一个稳定的系统。
这个滤波器的传递函数应为
五、实验过程
1.用双线性变换法设计切比雪夫Ⅱ型数字滤波器,列出传递函数并描绘模拟和数字滤波器的幅频响应曲线。
(1)设计一个数字低通,要求:
通带wp=0.2p,Rp=1dB;阻带ws=0.35p,As=15dB,滤波器采样频率Fs=10Hz。
(2)设计一个数字高通,要求:
通带wp=0.35p,Rp=1dB;阻带ws=0.2p,As=15dB,滤波器采样频率Fs=10Hz。
解
(1)MATLAB程序如下:
wp=0.2*pi;
ws=0.35*pi;
Rp=1;As=15;
ripple=10^(-Rp/20);Attn=10^(-As/20);
Fs=10;T=1/Fs;
Omgp=(2/T)*tan(wp/2);
Omgs=(2/T)*tan(ws/2);
[n,Omgc]=cheb2ord(Omgp,Omgs,Rp,As,'s')
[z0,p0,k0]=cheb2ap(n,As);
ba=k0*real(poly(z0));
aa=real(poly(p0));
[ba1,aa1]=lp2lp(ba,aa,Omgc);
[bd,ad]=bilinear(ba1,aa1,Fs)
[sos,g]=tf2sos(bd,ad)
[H,w]=freqz(bd,ad);
dbH=20*log10((abs(H)+eps)/max(abs(H)));
subplot(2,2,1),plot(w/pi,abs(H));
ylabel('|H|');title('幅度响应');axis([0,1,0,1.1]);
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,0.25,0.4,1]);
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[0,Attn,ripple,1]);grid
subplot(2,2,2),plot(w/pi,angle(H)/pi);
ylabel('\phi');title('相位响应');axis([0,1,-1,1]);
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,0.25,0.4,1]);
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-1,0,1]);grid
subplot(2,2,3),plot(w/pi,dbH);title('幅度响应(dB)');
ylabel('dB');xlabel('频率');axis([0,1,-40,5]);
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,0.25,0.4,1]);
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-50,-15,-1,0]);grid
subplot(2,2,4),zplane(bd,ad);
axis([-1.1,1.1,-1.1,1.1]);title('零极图');
运行结果如图1-1所示。
图1-1
(2)MATLAB程序如下:
Fs=1000;T=1/Fs;
wp=0.35*pi;
ws=0.2*pi;
fp=wp/(2*pi)*Fs;
fs=ws/(2*pi)*Fs;
Rp=1;As=15;
ripple=10^(-Rp/20);
Attn=10^(-As/20);
Omgp=(2/T)*tan(wp/2);
Omgs=(2/T)*tan(ws/2);
[n,Omgc]=cheb2ord(Omgp,Omgs,Rp,As,'s')
[z0,p0,k0]=cheb2ap(n,As);
ba=k0*real(poly(z0));
aa=real(poly(p0));
[ba1,aa1]=lp2hp(ba,aa,Omgc);
[bd,ad]=bilinear(ba1,aa1,Fs)
[H,w]=freqz(bd,ad);
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