压缩机的喘振与失速译文第6章文档格式.docx

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φ

υ∂'

=∂由于连续性：

0duddxdy

υ'

+=以及：

20φ∇=（4）

对于波形扰动的势函数能通过下面公式表示：

1（cos（sinny

b

nnnynyatbte

bbπππφ∞

⎛

⎫=+⎪⎝

⎭∑（5）

这个表达式的傅立叶部分包括了在y方向变化的用于规定随时间变化幅度（傅立叶系数的波形方向的三角函数。

指数函数规定了在x轴方向变化的波形扰动。

方程5对方程4的替换表示了定义的势函数是方程4的解。

Emmons假设在入口角变化和失速通道出口处的有效面积变化间的时间延迟。

出口流量系数定义为：

α＝（流通面积）∕（几何面积）（6）

流量系数被假设为随通道入口角度成线性变化。

在稳定流动条件下，入口气流角为10β（＝arctan/UV，且流量系数为00α。

在1β气流角时均衡值为0α。

然而在达到1β气流角时，不需要面积实际有效。

假定在达到1β时0α和实际值α间的流量系数变化率是线性，且如同下式：

0（t

α

γαα∂=-∂（7）随入口角度变化的流量系数的变被假设为：

1100

0001101（tantan（tanddββαααβββ=⎛⎫

∇=+-

⎪⎝⎭

110tantanxyU

UuU

VV

V

φφββυ-

+-=

-='

+当yVυφ'

>

=且1/（tanddαβα'

=时：

000xyUV

φφααα-

=+（8）将方程8代入方程7中得到：

00（xyUtVVααγαφφα'

∂⎡⎤

=+--⎢⎥∂⎣⎦

（9）根据速度势通过从连续性和α的定义阐明的表达式的替换能表示方程9。

满

足横向叶栅的连续性给出了：

**111（sinsinEEEAUuAVAVAβαβαω'

+===其中*

sinEVωβ=xUφαω+=

xtt

φα

ω∂∂=∂∂

方程9然后变为：

002

1（xxyUUtVVφωααγωγφφγωα'

∂⎛⎫

=--+-⎪∂⎝⎭

（9a）

从连续性：

**

11（sinsinEEEAUuAVAVβαβ'

+==

*

sinEUuVαβ'

+=

由于稳定运行，0u'

=，且Emmons定义00αα=。

因此：

00*

sinEU

Vαβ

（9b）且方程9a变为：

2

1xxyUtVVφωαγωαγφφ'

=--⎪∂⎝⎭

（10）具有这样的形式：

xxyBCt

φφ∂=-∂（11）

其中：

1BVωαγ'

⎛⎫

=-⎪⎝⎭

U

CV

αγω'

方程5代入到11中并且收集正弦和余弦函数的系数给出两种常微分方程：

n

nnn

nndaBaCbdt

dbBbCadt

=-=+（12）

这将一直到Emmons执行完分析。

他指出通过这些方程描述的振荡运动增加或衰减分别取决于当0B>

或0B<

的情况。

为了表示这一点，方程能根据na或nb进行解答。

方程12的算子符号表示为：

（0nnDBaCb-+=

（0nnDBbCa--=应用算子1

（DBC

-到第二个方程，并且在其中加入第一个方程则能给出：

22（0nnDBbCb-+=

假设解的形式为tnnbKeλ=，特征方程为：

22（0BCλ-+=特征方程的根为：

BiCλ=±

因此通解为：

（（1212（BiCtBiCtBtiCiCnnnnnbKeKeeKeKe+-+-=+=+

如果B是正值，运动将随时间增加。

如果B是负值，运动将衰减。

如果B是零：

iCλ=±

通解为：

12cossinnnnbKCtKCt=+（14）传播速度为：

C=

（15）

振荡运动的判断条件为：

10BVωαγ'

=-=⎪⎝⎭

因此，从方程9b和稳定气流入口角10β的使用得到：

00**10

sinsintanEEVVU

VUVααβββ'

==

（16）对于不稳定运动，例如在振荡运动增加的例子中：

00

10

tanααβ'

这意味着不稳定性将被期望发生在沿着α与10tanβ比值的斜率上。

Emmons（1955的文献表示在5种不同叶栅安装角的特殊级联式机组的失速数据内是呈线性关系；

图形表示在图6.2中。

Stenning理论－因为在叶排出口的阻塞被假设为入口气流角的函数，所以由Stenning等人（1955文献中假设的流动模型类似于Emmons的流动模型。

然而代替使用表达式，可根据如同Emmons

所取的速度势对出口流量系数的变化率来建

立运动方程，Stenning通过应用叶片排通道内的动量方程发展了运动方程。

他然后根据边界层的响应时间假设数学模型，并且在有和没有延时模型内形成了运动方程。

在这之后，他获得在有和无时间延迟的传播速度的表达式。

另外，他使用了不定常的入口速度势。

非稳定速度势能从非稳态欧拉方程中获得。

非粘滞、非稳态流动的运动方程是（使用图6.3和附录6－1的符号：

21

2cccxxcptρ⎛⎫∂+∇-∇=-∇⎪∂⎝⎭（17）

对于不可压缩流体的无旋运动：

202c

cptρ⎛⎫∂+∇+=⎪∂⎝⎭

（18）

因为是无旋流动，所以存在如下的速度势：

c∇Φ=（19）

使用连续性方程给出方程4。

方程通过分离变量法求解，因此：

ttt∂∂Φ⎛⎫

∇Φ=∇=∇Φ⎪∂∂⎝⎭

（20）将方程20代入方程18中，给出：

202tcpρ⎛⎫

∇Φ++=⎪⎝

⎭

这给出了非稳定流动的欧拉方程：

22tcp

ρΦ++=constant（21）

由于自定常流动的小扰动：

0tp

ccδϕδρ

++

=（22）在图6.3的叶栅入口处，1－3的距离假设为非常小，如下：

13

tt

ϕϕ=

且：

22

11331113332cpcpccpccpρρδδρδδρ⎫

+=+⎬+=+⎭

（23）在定子1处，方程22为：

（133310ccpϕδδρ++=（24）

运动方程从应用通道内的动量方程发展得到。

在定子3和2间的流体运动被考虑成一维，并且在l方向的动量方程是：

（0ctcctptρ∂∂+∂∂+∂∂=

方程结合了从3到2的相关的l。

同时也假定在3与2间时3cc=，并且从3c到2c的变化发生在通道出口的小段距离上：

22

3232320Lctccppρρ∂∂+-+-=由于根据稳定流动的小扰动并且假设2ρ不变化：

322333（0Lctccccpδδδδρ∂∂+--=（25）消除方程24和25间的333（ccpδδρ+，给出：

3122（

（0tcLcct

δϕδ∂++=∂（26）根据连续性：

3322AcAc=由于小扰动：

332222AcAccAδδδ=+

在出口时，速度和流通面积上存在有小扰动。

对2cδ求解给出：

3223222

AAcccAAδδδ=

-并且：

2

2332

22333222AAAcccccAAAδδδ⎛⎫⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭

（27）

同时根据叶栅入口表面上的连续性，在附录6－1中的符号为：

32cosucβ=

而且，在附录6－1的符号上，方程1和2变为：

xxucϕ=+yycυϕ=+所以因此：

32cosxucδϕδβ==

将3c和3cδ代入到方程27中，并且忽略小的数字乘积，给出：

332

2222

22222

coscosxxxAcAcAccAAAϕδδββ⎛⎫⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭将这个方程代入到方程26中，给出在定子1叶栅入口处的如下方程：

2222222222

0coscoscosxxxtxtccAL

Aϕδϕϕβαβαβ++-=（28）

出口面积扰动与出口面积的比率能根据出口流量系数α写出：

12

11（cot（cotAduAdδδαααδβδααβαυ'

⎛⎫=

==⎪⎝⎭

其中1（cotddα

αβ'

1

cotxyy

cϕϕβαα-'

将最后一个表达式代入到方程28中，给出：

11

22322222cotcot10coscoscosxx

txtxycL

cϕαβαβϕϕϕβαβααβ'

⎡⎤+

+-+=⎢⎥⎣

⎦（29）将方程5代入到方程29中，并集中正弦和余弦函数的系数对傅立叶系数给出两个常微分方程：

211223

222

11223

22（cotcotcos10coscos（cotcotcos10coscosxxnnxxnnccLnnnDabbbbccLnnnDbabbbβααβπ

ππβαβααββααβπππβαβααβ'

⎡⎤⎡⎤'

⎛⎫⎛⎫

++-+=⎢⎥⎢⎥

⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦

⎡⎤

⎡⎤'

⎛⎫⎛⎫++--=⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦

（30）

这些方程具有符号算子的形式为：

（1230nnADAaAb++=（31a）

（1230nnADAbAa+-=（31b）

12cosLnAb

π

β=+（32a）122

2cot1cosxcnAbαβπαβα'

-⎪⎝⎭

（32b）21

33

2cotcosxcnAbαβπαβ'

=（32c）应用算子

123

（ADAA+到方程31b中，并把方程31a加入其中，给出：

123（0nnADAbAb++=（33）假设解的形式为ntnnbBeλ=，ntnnaAeλ=，然后特征方程变为：

123（0nAAAλ++=特征方程的根为：

32

11

nAAiAAλ=-

±

而且把解代入到方程33中，得到：

21331211cossinAtAnnnAAbe

BtBtAA⎛⎫-⎪⎝⎭

⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪⎪⎪⎪

⎝⎭⎝⎭⎝

⎭如果2A为负值，运动放大；

如果2A为正值，运动衰减。

如果20A=，运动为振

荡的，因此：

3

nAiAλ=±

对于nb的解为：

12cossinnnnnnbBtBtλλ=+（34）其中：

1222cotcoscosx

nncLnbπ

βλπαββ=⎛⎫

+⎪

⎝⎭

（35）这是在弧度每秒上波传播的频率。

波的传播速度通过均分周期（或乘以频率）内

的波长获得。

如果假设基本波长2b是有n个谐波构成，第n谐波的波长为2bn。

波形的周期频率是通过均分2π获得。

第n谐波的传播速度为：

22222cotcoscosnpnpn

x

bVn

VLncbλπβπαββ=

=⎛⎫

（36）方程36表示在固定其他参数值时，当入口气流角增加时，单元传播速度减小；

且当出口气流角和出口阻塞增加时，传播速度增加。

单元尺寸的增加将使传播速度增加。

方程同时也表示高次谐波的传播比基波的要快。

Stenning陈述了这和试验不一致，然而在图2.75和5.14中的图形暗示了谐波持续在失速单元内。

在图2.75上，基频谐波的存在将解释单元位置的不稳定，单元的宽度以及暂时出现的新单元。

图5.14表示了在失速单元内的中间波峰，这表明谐波的存在。

根据叶栅静压增量能用公式表示方程36，在叶栅数据中静压增量是比α更为有效的参数。

为了达到这点，Stenning重新定义α为在叶栅出口的时间质量流量与理想质量流量的比值，这就具有出口静压而不是进口总压。

理想流量假设为通过叶栅时总压没有损失。

012actualmassflow

idealmassflowforsameppα=

-

满足越过叶栅入口和出口表面的连续性，对不可压缩流体给出：

（11

noloss2012coscoscos2coscccppββαββρ=

-⎢⎥

⎣⎦

由于没有损失时存在0201pp=：

（（{}11

201121cos2coscppppβαβρ=

---⎢⎥

（

（

22221

coscoscos1cosppcCcCc

ββαββ=

--（37）

（212

2pppC-=

将方程37代入36中，给出：

（1221cos21cosppnx

CVcLnbπββ-=

（38）

时间延迟的效应－对于包括边界层延时的效应，Stenning假设如同图6.4

中所示α的变化指数地滞后于1β的变化。

在1β上单增量变化被假设为如下面在

α中的变化：

（（1tsseδαδα-=-（39）这里（ssδα是与入口气流角不连续变化对应的α内的稳态变化，且τ为延时边界

层的时间常数。

当失速单元通过叶片横截面时，入口气流角是连续的变化。

随时间变化的δα为：

（（tsssset

δατδαδαδα-∂==-∂（40）求解δα并使用算子符号：

1（（cot11

ssDDδααδβδαττ'

==++（41）

对于稳态条件有：

111（（cot（cot（cot

ssddα

δαδβαδββ'

作为在稳定状态的例子，假设在方程28中有：

AAδδαα

使用方程41给出：

1cot（cot11（1

xyyDcDϕϕβαδβδαααατατ-'

++（42）将其代入到方程28中，给出：

2222222cot0coscoscos（1

xyxxxttxtyccLcDϕϕβϕατϕϕβαβαβατ-'

++-=+

用（1Dτ+相乘，并应用算子给出：

223222

coscoscoscotcot10coscosx

ttxtttxt

xxxycL

Lccττϕϕϕϕββαβϕαβαβϕαβααβ⎡⎤+

+++⎢⎥⎣⎦

⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦（43）

将如同方程5定义的ϕ微分介入到方程43中，并分离傅立叶级数中正弦和余弦函数的系数将在na和nb上产生两组二阶常微分方程。

再次假设解的形式为：

ntnnaAeλ=，ntnnbBeλ=于是特征方程为：

（222

12340nnAAAAλλ+++=（44）

121cosLnAbπτβ⎡⎤

=+⎢⎥⎣⎦（45a）

22222coscosxc

LnAbτπβαβ⎡⎤=+⎢⎥

⎣⎦（45b）13222cot1cosxcnAbπαβαβα'

-⎢⎥⎣

⎦（45c）21

4322

cotcosxcnAbαπβαβ'

=（45d）

对于无阻尼振荡运动，两根必须是：

nniλω=±

（46）将正根代入到方程44中，给出：

12340n

nAAiAAωω-+++=将负根代入，则给出：

12340nnAAiAAωω--++=

将一个减轻另外一个，且因式分解得到：

312（40nnAAAiωω-=

为了满足这个方程，适合的非零值2A以及nω为：

31nAAω=

将上述方程代入到方程46中，且将

λ代入方程44中给出其他两个系数的关系：

3

134

A

AiAAA

⎧⎫

⎪⎪

-++=

⎨⎬

⎪

⎩⎭

24

AA

-+=

34

ω

（47）方程47表示的关系一定存在与无阻尼振荡运动的四个系数之间。

方程46和47涉及的根能被用于形成方程44的一个因子。

通过这个因子来划分方程44：

42

λ⎡⎤

+

给出：

2242

121

20

nn

AAA

λλ

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+++=

⎪⎪⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

这个方程的根为：

i

λ==-±

因为这些根是稳定的，所以

AA一定是正值。

因此，

A和

A都是正值或者都是

负值。

由于在方程47中实际的频率值，所以

A都是正值或者都是负值。

因

此

A、

A必须都是正值或者都是负值。

如果频率是具有正号，那么如同其

他系数一样

4

A具有相同的符号。

因此方程44的系数必须都是正值或者都是负值。

Stenning采用了所有系数都为正值的实际例子。

然后根据方程47中对于边界层响应时间延迟的例子在弧度每秒内的振荡频率为：

cot

cos

coscos

c

nL

βα

αβ

τ

βαβ

⎢⎥

（48）由于0

τ=时，方程48产生如同方程35相同的结果。

这能显示在代数操作和检索过程中，由于没有在时间延迟内的振荡运动，方程32必须为零，则：

作为考虑到时间延迟时对于振荡运动，这不是个要求。

然后由于方程45c将为零，且根据方程47，频率将为零。

实际上如果所有的系数为正值，那么对于方程45c

也是正值：

cot1αβα

因此方程48的分子比方程35的小。

随着方程48的分母（由于时间延迟期限增加而耦合，这表示边界层延时具有减少失速单元传播速度的效应。

方程47能用来决定波长。

将方程45a－d代入到方程47中，给出：

2112232222

22222cotcot1coscos11coscoscosxxxccnnbbnLcnLbbαβαβππαβααβπτπτββαβ'

⎛⎫-⎪⎢⎥⎢⎥

⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫+++⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦（49）这能重新改写为：

12224

14222

222cot11coscot1coscoscosxx

nnLbbccnLbππαββαταβτπαββαβ⎡⎤'

⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦='

⎡⎤⎡⎤⎛⎫++⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭⎣

⎦（50）TERMATERMC

当1β变化时根据气动状态能计算TermA。

当失速开始时，由于termC等于termA，决定波长值的要求是可能的。

TermC具有有限范围的值。

当b→∞时，termC0→。

方程50能被改写为：

22cosTERMCcoscosx

LbcLbππβτπβαβ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦