竞赛培训专题5指数函数.docx
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竞赛培训专题5指数函数
竞赛培训专题5---指数函数、对数函数
一、计算:
例1.化简
(1)
(2)
(3)
解:
(1)x的指数是
所以原式=1
(2)x的指数是
=0
所以原式=1
(3)原式=
例2.若,求
解:
因为
所以f(x)+f(1-x)=1
=
例3.已知m,n为正整数,a>0,a¹1,且
求m,n
解:
左边=
原式为loga(m+n)=logamn
得m+n=mn即(m-1)(n-1)=1
因为m,nÎN,所以从而m=n=2
二、比较大小
例1.试比较与的大小
解:
令121995=a>0则
¸=
所以>
例2.已知函数f(x)=logax(a>0,a¹1,xÎR+)若x1,x2ÎR+,试比较与的大小
解:
f(x1)+f(x2)=loga(x1x2)
∵x1,x2ÎR+,∴(当且仅当x1=x2时,取“=”号),
当a>1时,有,∴
即(当且仅当x1=x2时,取“=”号)
当a>1时,有,∴
即(当且仅当x1=x2时,取“=”号)
例3.已知y1=,y2=,当x为何值时
(1)y1=y2
(2)y1>y2 (3)y1 解: 由指数函数y=3x为增函数知 (1)y1=y2的充要条件是: 2x2-3x+1=x2+2x-5解得x1=2,x2=3 (2)y1>y2的充要条件是: 2x2-3x+1>x2+2x-5解得x<2或x>3 (3)y1 2x2-3x+1 三、证明 例1.对于自然数a,b,c(a£b£c)和实数x,y,z,w若ax=by=cz=70w (1) (2) 求证: a+b=c 证明: 由 (1)得: ∴ 把 (2)代入得: abc=70=2´5´7,a£b£c 由于a,b,c均不会等于1,故a=2,b=5,c=7从而a+b=c 例2.已知A=6lgp+lgq,其中p,q为素数,且满足q-p=29,求证: 3 证明: 由于p,q为素数,其差q-p=29为奇数,∴p=2,q=31 A=6lg2+lg31=lg(26×31)=lg1984 1000<1984<10000 故3 例3.设f(x)=logax(a>0,a¹1)且(q为锐角),求证: 1 证明: ∵q是锐角,∴,从而a>1 又f(15)==sinq+cosq =1 故a<15 综合得: 1
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- 竞赛 培训 专题 指数函数
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