学年高中数学 第3章 函数的应用 章末复习课章末检测同步精品学案 新人教A版必修1Word下载.docx

学年高中数学 第3章 函数的应用 章末复习课章末检测同步精品学案 新人教A版必修1Word下载.docx

《学年高中数学 第3章 函数的应用 章末复习课章末检测同步精品学案 新人教A版必修1Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学年高中数学 第3章 函数的应用 章末复习课章末检测同步精品学案 新人教A版必修1Word下载.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

解析　抛物线y＝f（x）的开口向上，与x轴可能有两个交点．

例2　设函数f（x）＝ax2＋bx＋c，且f

（1）＝－

，3a>

2c>

2b，求证：

（1）a>

0且－3<

<

－

；

（2）函数f（x）在区间（0,2）内至少有一个零点；

（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，则

≤|x1－x2|<

.

证明　

（1）∵f

（1）＝a＋b＋c＝－

，∴3a＋2b＋2c＝0.

又3a>

2b，∴3a>

0,2b<

0，

∴a>

0，b<

0.又2c＝－3a－2b，

由3a>

－3a－2b>

2b.

∵a>

0，∴－3<

（2）∵f（0）＝c，f

（2）＝4a＋2b＋c＝a－c，

①当c>

0时，∵a>

0，∴f（0）＝c>

且f

（1）＝－

0.

∴函数f（x）在区间（0,1）内至少有一个零点．

②当c≤0时，∵a>

0，∴f

（1）＝－

且f

（2）＝a－c>

∴函数f（x）在区间（1,2）内至少有一个零点．

综合①②得，f（x）在（0,2）内至少有一个零点．

（3）∵x1，x2是函数f（x）的两个零点，

则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．

∴x1＋x2＝－

，x1x2＝

＝－

∴|x1－x2|＝

＝

∵－3<

，∴

　　　　　　二、函数模型及其应用

例3　在某服装批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；

10周后当季节即将过去时，平均每周降价2元，直到16周周末，该服装已不再销售．

（1）试建立价格P（元）与周次t之间的函数关系式；

（2）若此服装每周进价Q（元）与周次t之间的关系式．

Q＝－0.125（t－8）2＋12，t∈[0,16]，t∈N*，试问该服装第几周销售利润最大？

解　

（1）当t∈[0,5]时，P＝10＋2t；

当t∈（5,10]时，P＝20；

当t∈（10,16]时，P＝40－2t.

所以P＝

（2）由于每件销售利润为：

售价－进价，

所以每件销售利润L＝P－Q.

所以，当t∈[0,5]时，L＝10＋2t＋0.125（t－8）2－12

＝0.125t2＋6，当t＝5时，L取得最大值9.125；

当t∈（5,10]时，L＝20＋0.125（t－8）2－12

＝0.125t2－2t＋16，

当t＝5时，L取得最大值9.125；

当t∈（10,16]时，

L＝40－2t＋0.125（t－8）2－12＝0.125t2－4t＋36，

当t＝10时，L取得最大值8.5.

因此，该服装第5周每件销售利润最大．

一、选择题

1．不论m为何值时，函数f（x）＝x2－mx＋m－2的零点有（　　）

A．2个　　　B．1个　　　C．0个　　　D．都有可能

答案　A

解析　∵Δ＝m2－4（m－2）＝（m－2）2＋4>

∴f（x）＝0有两个不等的实根．

2．二次函数y＝x2＋px＋q的零点为1和m，且－1<

m<

0，那么p、q应满足的条件是（　　）

A．p>

0且q<

0B．p>

0且q>

C．p<

0D．p<

答案　D

解析　由已知得f（0）<

0，－

>

0，解得q<

0，p<

3．下列图中图象对应的函数可用二分法确定出零点的是（　　）

答案　B

4．若y＝ax2＋bx＋c（a<

0）中，两个零点x1<

0，x2>

0，且x1＋x2>

0，则（　　）

A．b>

0，c>

0B．b>

0，c<

C．b<

0D．b<

解析　由已知可得f（0）>

0，即c>

0，b>

5．函数f（x）＝2x＋2x－6的零点个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

解析　∵f

（1）<

0，f

（2）>

0，且f（x）单调递增，

∴f（x）只有唯一零点在区间（1,2）内．

二、填空题

6．函数y＝x3－x的零点是________．

答案　1,0，－1

7．某商店将原价2640元的彩电以9折售出后仍可获利20%，则该种彩电每台的进价为________元．

答案　1980

8．函数y＝x2与函数y＝xlnx在（0，＋∞）上增长较快的一个是________．

答案　y＝x2

三、解答题

9．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x－0.4）元成反比例．又当x＝0.65元时，y＝0.8.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？

[收益＝用电量×

（实际电价－成本价）]

解　

（1）∵y与x－0.4成反比例，

∴设y＝

（k≠0）．

把x＝0.65，y＝0.8代入上式，

得0.8＝

，∴k＝0.2.

∴y＝

即y与x之间的函数关系式为y＝

（2）根据题意，得

·

（x－0.3）

＝1×

（0.8－0.3）×

（1＋20%）．

整理，得x2－1.1x＋0.3＝0.解得x1＝0.5，x2＝0.6.

经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根．

因x的取值范围是0.55～0.75之间，故x＝0.5不符合题意，应舍去．

所以，取x＝0.6.

答　当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.

10．已知函数f（x）＝x－ln（x＋2），证明：

函数f（x）在[e－2－2，e4－2]内至少有两个零点．

证明　f（e－2－2）＝e－2>

0，f（e4－2）＝e4－6>

f（0）＝－ln2<

0，又函数f（x）＝x－ln（x＋2）在[e－2－2，e4－2]内的图象是连续的，所以函数f（x）在[e－2－2，e4－2]内至少有两个零点．章末检测

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．若函数y＝f（x）在区间（－2,2）上的图象是连续不断的曲线，且方程f（x）＝0在（－2,2）上仅有一个实数根，则f（－1）·

f

（1）的值（　　）

A．大于0B．小于0

C．无法判断D．等于零

解析　由题意不能断定零点在区间（－1,1）内部还是外部．

2．函数f（x）＝x2－3x－4的零点是（　　）

A．（1，－4）B．（4，－1）

C．1，－4D．4，－1

解析　由x2－3x－4＝0，得x1＝4，x2＝－1.

3．下列给出的四个函数f（x）的图象中能使函数y＝f（x）－1没有零点的是（　　）

解析　把y=f（x）的图象向下平移1个单位后，只有C图中图象与x轴无交点．

4．方程x3＋3x－3＝0的解在区间（　　）

A．（0,1）内B．（1,2）内

C．（2,3）内D．以上均不对

解析　将函数y1＝x3和y2＝3－3x的图象在同一坐标系中画出，可知方程的解在（0,1）内．

5．已知f（x）、g（x）均为[－1,3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f（x）＝g（x）有实数解的区间是（　　）

x

－1

1

2

3

f（x）

－0.677

3.011

5.432

5.980

7.651

g（x）

－0.530

3.451

4.890

5.241

6.892

A.（－1,0）B．（0,1）

C．（1,2）D．（2,3）

解析　令φ（x）＝f（x）－g（x），φ（0）＝f（0）－g（0）<

φ

（1）＝f

（1）－g

（1）>

且f（x），g（x）均为[－1,3]上连续不断的曲线，

所以φ（x）的图象．

在[－1,3]上也连续不断，因此选B.

6．某人从甲地去乙地，一开始跑步前进，后来步行，图中横轴表示走的时间，纵轴表示此人距乙地的距离，则较符合该人走法的图是（　　）

解析　此人距乙地越来越近，故排除A、C，又先跑后步行，因而开始时速率变化大，故选D.

7．据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2008年的湖水量为m，从2008起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为（　　）

A．y＝0.9

B．y＝（1－0.1

）m

C．y＝0.9

mD．y＝（1－0.150x）m

解析　设湖水量每年为上一年的q%，则（q%）50＝0.9，所以q%＝0.9

，即x年后湖水量为y＝0.9

m.

8．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机的价格平均每次降低的百分率是（　　）

A．10%B．15%C．18%D．20%

9．若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（2,16），（2,8），（2,4）内，那么下列命题中正确的是（　　）

A．函数f（x）在区间（2,3）内有零点

B．函数f（x）在区间（2,3）或（3,4）内有零点

C．函数f（x）在（3,16）内无零点

D．函数f（x）在区间（4,16）内无零点

10．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：

每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费；

每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水（　　）

A．10吨B．13吨C．11吨D．9吨

解析　设该职工该月实际用水为x吨，易知x>

8.

则水费y＝16＋2×

2（x－8）＝4x－16＝20，∴x＝9.

11．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f（m）＝1.06×

（0.50×

[m]＋1）给出，其中m>

0，[m]是大于或等于m的最小整数（如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.1]＝6）．则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的通话费为（　　）

A．3.71B．3.97C．4.24D．4.77

解析　∵[5.5]＝6，

∴f（5.5）＝1.06×

6＋1）＝4.24.

12．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：

一种是即时价格曲线y＝f（x），另一种是平均价格曲线y＝g（x），如f

（2）＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；

g

（2）＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y＝f（x），虚线表示y＝g（x），其中可能正确的是（　　）

解析　A选项中即时价格越来越小时，而平均价格在增加，故不对；

而B选项中即时价格在下降，而平均价格不变化，不正确．D选项中平均价格不可能越来越高，排除D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．若函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2－ax－1的零点是________．

答案　－

和－

解析　2和3是方程x2－ax－b＝0的两根，

所以a＝5，b＝－6，

∴g（x）＝－6x2－5x－1.

令g（x）＝0得x1＝－

，x2＝－

14．若一元二次方程f（x）＝ax2＋bx＋c＝0（a>

0）的两根x1、x2满足m<

x1<

n<

x2<

p，则f（m）·

f（n）·

f（p）________0.（填“>

”、“＝”或“<

”）

答案　<

解析　∵a>

0，∴f（x）的图象开口向上，

∴f（m）>

0，f（n）<

0，f（p）>

0，∴f（m）·

f（p）<

15．下表列出了一项试验的统计数据，表示将皮球从高h米处落下，弹跳高度d与下落高度h的关系.

h（米）

50

80

100

150

…

d（米）

25

40

75

写出一个能表示这种关系的式子为________．

答案　d＝

16．我国股市中对股票的股份实行涨、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为10%.某股票连续四个交易中日前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是________．

答案　跌了1.99%

解析　（1＋10%）2·

（1－10%）2＝0.9801，

而0.9801－1＝－0.0199，即跌了1.99%.

三、解答题（本大题共6小题，共74分）

17．（12分）用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解（精确度0.1）．

解　f（0）＝－5，f

（1）＝－1，f

（2）＝9，f（3）＝31.

所以f（x）在区间（1,2）内存在零点x0.

区间

中点m

f（m）的符号

区间长度

（1,2）

1.5

＋

（1,1.5）

1.25

0.5

（1,1.25）

1.125

0.25

（1.125,1.25）

1.1875

0.125

（1.125,1.1875）

0.0625

∵|1.875－1.125|＝0.0625<

0.1，

∴x0可取为1.125（不唯一）．

18．（12分）某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速度返回A地，将汽车离开A地的路程x（km）表示为时间t（h）（从A地出发时开始）的函数，并画出函数的图象；

再将车速v（km/h）表示为时间t（h）的函数，并画出函数的图象．

解　汽车离开A地的距离与时间t（h）之间的关系为

x＝

它的图象如图甲．

车速v（km/h）与时间t（h）的函数关系式为

v＝

它的图象如图乙．

19．（12分）若方程x2－ax＋2＝0有且仅有一个根在区间（0,3）内，求a的取值范围．

解　令f（x）＝x2－ax＋2，则方程x2－ax＋2＝0有且仅有一个根在区间（0,3）内⇔

或f（0）·

f（3）<

0⇔a＝2

或a>

20．（12分）已知函数f（x）＝x－1＋

x2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f（x）有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间（各区间长度不超过1）．

解　

由f（x）=0，得x-1=-_x2+2，令y1=x-1，y2=-_x2+2，

分别画出它们的图象如图，其中抛物线顶点为（0,2），

与x轴交于点（-2,0）、（2,0），y1与y2的图象有3个交点，从而函数y=f（x）有3个零点．

由f（x）的解析式知x≠0，f（x）的图象在（-∞，0）和（0，+∞）上分别是连续不断的曲线，

且f（-3）=

>

0，f（-2）=

f

=

0，f

（1）=

<

0，f

（2）=

即f（－3）·

f（－2）<

0，f

f

（1）<

0，f

（1）·

f

（2）<

∴三个零点分别在区间（－3，－2）、

、（1,2）内．

21．（12分）

某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y=kx+b的关系（如图所示）．

（1）根据图象，求一次函数y=kx+b的表达式；

（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S元．试用销售单价x表示利润S；

并求销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？

最大毛利润是多少？

此时的销售量是多少？

解　

（1）由图象知，当x＝600时，y＝400；

当x＝700时，y＝300，

代入y＝kx＋b中，得

，

解得

∴y＝－x＋1000（500≤x≤800）．

（2）销售总价＝销售单价×

销售量＝xy，

成本总价＝成本单价×

销售量＝500y，

代入求毛利润的公式，得

S＝xy－500y＝x（－x＋1000）－500（－x＋1000）

＝－x2＋1500x－500000

＝－（x－750）2＋62500（500≤x≤800）．

∴当销售单价为750元/件时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件．

22．（14分）某农产品从5月1日起开始上市，通过市场调查，得到该农产品种植成本Q（单位：

元/102kg）与上市时间t（时间：

天）的数据如下表：

时间t

110

250

种植成本Q

108

（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述该农产品种植成本Q与上市时间t的变化关系：

Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝abt，Q＝alogbt；

（2）利用你选取的函数，求该农产品种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．

解　

（1）由表中提供的数据知道，描述该农产品种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝abt，Q＝alogbt中的任一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以，应选取二次函数Q＝at2＋bt＋c（a≠0，当a＝0时，为单调函数）进行描述．

将表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c，

得到：

解上述方程组得a＝

，b＝－

，c＝

所以，描述该农产品种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝

t2－

t＋

（2）当t＝－

＝150（天）时，该农产品种植成本最低为Q＝

×

1502－

150＋

＝100（元/102kg）．

所以，该农产品种植成本最低时的上市时间为150天，最低种植成本为100元/102kg.